В гънките на катастрофите. Маршрути по катастрофичната повърхност

Ваня Милева Последна промяна на 07 юни 2015 в 08:37 19781 1

Вселената ще умре 7 пъти, преди маймуна с клавиатура да напише "Хамлет", показва проучване

Посланието "Знак в космоса" най-накрая е разкодирано.

30/10/2024

Този "извънземен сигнал", изпратен от орбиталния апарат ExoMars миналата година, току-що е декодиран

Въведение

Широкото приложение на методите на теорията на катастрофите започнало след излизането на книгата на един от създателите на тази теория — Рене Том (René Thom), където теорията на катастрофите била приложена за изучаване на морфогенезата (формообразуването) в биологията.

Teoрията на катастрофите става популярна от 1970г, когато в списание "Нюзуик" се съобщава за преврата в математиката, сравним само с изобретеното от Нютон диференциално и интегрално смятане. Твърдяло се, че докато нютоновската теория изследва само плавни, непрекъснати процеси, новата наука-тeoрията на катастрофите дава универсален метод за изследване на всички скокообразни преходи, разриви и внезапни качествени изменения.

Изводите от тeoрията на катастрофите започват да се прилагат в толкова разнообразни обекти като например, изследвания на сърдечния ритъм, геометрична и физическа оптика, икономика, хидродинамика, геология и теория на елементарните частици, лингвистика, моделиране дейността на мозъка, устойчивост на плавателни съдове и дори бунтове на затворници.

На развитието на всяка динамична система са присъщи бифуркациите(раздвоение на пътищата на еволюцията) и катастрофите. Бифуркациите са интересни с това, че не съществуват поединично - те пораждат цикли, т.е. бифуркации в ново фазово пространство.

Катастрофите са неизбежни. При това, ако катастрофите от по-нисък порядък геометрично имат вид на гънка, то катастрофите от по-висш порядък са с по-сложна геометрична форма - те напомнят силно смачкана хартия. Ако се разрежат по време имат вид на сложен квазипериодичен процес. Въпросът е, къде води той. Съгласно работата на М.Фейгенбаум, веднъж възникнали в нелинейна система, бифуркациите имат тенденция неограничено да растат, докато не приведат системата до състояние на пълен хаос.

Да се запознаем с няколко основни понятия от теорията на катастрофите:

Асимптотична устойчивост

Асимптотична устойчивост имат системи, които са привлечени от някакво предпочитано състояние: подобно на топче, търкалящо се към най-ниската точка в чаша или възстановяването на какъвто и да е хомеостазис от физиологическите свойства подобно температурата на тялото.

Хомеостазис:

Илюстрация: Biology 466

Животните (и растенията) имат много физиологични механизми, които са с приблизително постоянна стойност като температура на тялото, pH на кръвта , концентрация на солта, и т.н.

Техният основен принцип на функциониране е, че на измененията се противопоставят двойка механизми, които управляват и балансират в желани граници изменящите се функции подобни на температурата.

Атракторен басейн:

Атрактореният басейн има обикновено само ограничена област от стойности на стабилни променливи, към които системата може да бъде привлечена обратно в своето предпочитано състояние; това е аналогично на границите на долина; зад хребета системата се увлича в други басейни. Смъртта настъпва, когато се окажете зад пределите на хомеостатичните басейни!

Илюстрация: Biology 466

Структурна устойчивост:

Когато асимптотичната устойчивост на системата се задържа даже ако промените са съществени, т.е. състоянието на устойчивост има тип устойчивост по-висш порядък. Думата "структурен" се използва в смисъл на присъщ, вроден.

Илюстрация: Biology 466

Катастрофична група

Катастрофата става обикновено винаги, когато изменяте управляващите променливи така, че в крайна сметка басейнът на атрактора на старата асимптотична устойчивост бъде унищожен. Това е средство системата да прескочи в някакво ново състояние. Скокът се нарича катастрофа, а конкретните комбинации величини, управляващи променливите по границата, където се разбива преградата са наречени катастрофична група .

Седемте вида катастрофи

Теорията на катастрофите представлява всъщност теория на структурната устойчивост на специален клас диференциални уравнения с произволен брой фазови променливи, когато дясната част на тези уравнения може да бъде представена във вид на градиентна система, т. е. като движение в поле на потенциални сили с потенциал F:

В този случай, когато броя на параметрите не превишава четири, се оказва, че може да се даде обща класификация на всички типове структурни неустойчивости, наречени елементарни катастрофи. Значението на елементарната теория на катастрофите се състои в това, че тя свежда огромното многообразие на ситуации до малък брой стандартни схеми, които може детайлно да се изследват веднъж и завинаги.

Съществуват 7 канонични катастрофи за функции с една или две променливи, с по-малко от 3 оси на поведение.


Гънка (fold)	Лястовича опашка (swallowtail) 1	Хиперболична омбилика	Пеперуда
Витло (cusp)	Лястовича опашка 2	Елиптична омбилика	Параболична омбилика

Параметри на катастрофата

Ключ за разбирането на тeoрията на катастрофите, е един от седемте модела, наречен "витло" на Уитни. Тази повърхност, описваща състоянието на нелинейни системи, представлява нещо като карта, която позволява да се ориентираме в поведението на обекта

Поведението на потенциалната функция:

F _{(x, a, b)} = x⁴/4 - bx²/2 за реални х в зависимост от параметрите а и b е показано вдясно.

Ако отложим в тримерното пространство по вертикалната ос положението на х реалните стационарни точки, а по двете други оси — стойностите на параметрите а и b, ще получим долната картинка.

В точките от повърхността, където има вертикална допирателна, чрез образуване на точки на прегъване става сливане на два стационарни режима, съответстващи на техния минимум и максимум F{x, а, b}. Tяхната проекция на равнината на параметрите а, b дава бифуркационната крива. Параметърът а се нарича нормален фактор, параметърът b — разцепващ фактор, защото при b>0 повърхността на поведение се разцепва на два листа. Осите (a ,b ), завъртяни на 45° в равнината на параметрите, се наричат конфликтни (пунктира).

Тази катастрофа има пет качествени особености, които широко се използват при моделиране на различни явления:

Бимодалност. В областта, лежаща вътре в бифуркационата крива, системата при едни и същи стойности на параметрите може да се намира в две различни състояния (или в едното, или в другото).
Област на недостъпност. На оста на състоянията х съществува област, вътре в която системата не може да се намира при никакви значения на параметрите вътре в бифуркационната област.
Катастрофа (рязък скок). При непрекъснато изменение на параметрите е възможен рязък преход от едно състояние в друго.
Хистерезис. Рязкото изменение в поведението зависи от предисторията на процеса. Например, ако състоянието на системата непрекъснато се изменя по кривата PQ, то скокът от долния лист на горния ще стане от точка Q в точка Р. Ако това състояние се изменя по кривата RT,то скокът на долния лист ще стане не в точка R, а в точка Т.
Дивергенция. Две системи, малко различаващи се по поведение в началото, при еднакъв характер на изменение на параметрите могат да се окажат в резултат на неустойчивост на системата в състояния, много силно различни по поведение.

Маршрути по катастрофичната повърхност

Маршрутът по повърхността на състояние на системата може да мине катастрофичният праг (от P до R) или не (от А до B). Системата може да настъпи точката на пресичане. (точката на бифуркация), след което да следва всяка крива на бифуркация, т.е. да се държи непредсказуемо. Двете точки C и D, които могат да бъдат много близки, но после от тях системата да се отклони драматично в своето развитие (от C към P и от D към R). Съществуват вероятно и други маршрути, някои от включващи катастрофично изменение на системата, други - не. Съдържателен смисъл тези параметри на системата придобива при описание чрез този модел катастрофа на съответен конкретен процес.

- при ясно определени начални позиции

психология

конкуренция

флирт

Ако човек по начало има определена позиция към съперника или към предстоящата задача, то неговото поведение е достатъчно прогнозируемо - в процеса на усилване на напрежението на ситуацията той заема ясно или активна, или пасивна жизнена позиция в съответствие и с началните позиции (А и B). Затова, в частност, е по-добре да си уверен в своите сили, да имаш активна позиция, дори да не се окажеш победител, но все пак така имаш шанс да се окажеш такъв.

Най-интересните събития стават когато обектът не заема някаква определена позиция - не изпитва нито увереност, нито страх. При нагнетяване на напрежението отначало поведението остава известно време уравновесено - нито нападение, нито бягство. Обаче при достигане на някакъв критичен момент, съвсем незначително събитие може да го тласне или в едната или в другата крайност.

-при начална неутрална позиция

психология

конкуренция

флирт

Ситуацията е пълна изненади, когато си съперничат равни по сила конкуренти. Оказва се, че до определен момент всички конкуренти, както и да се опитват да изпреварят съперника си, ще съществуват при приблизително равни позиции. Състоянието е устойчиво до определен момент. И този момент се оказва съдбоносен. С увеличаване на разходите (ожесточаване ситуацията на пазара) внезапно ситуацията се изменя кардинално.

Подобно на стълб, който при критично натоварване изведнъж се изкълчва - при доста малки, но своевременни (може би даже неосъзнати усилия), този, който първи почувства момента (или, на който просто му провърви), ще достигне успех и ще може бързо да измести конкурента си от пазара. Тежко на предприемача, който не съумее навреме да разпознае назрялата опасност! За него събитията ще приемат форма на внезапно връхлитаща лавина - изведнъж, заради някаква дреболия, за миг ще се окаже зад борда на деловия живот Другият, "късметлията", неочаквано за себе си, въпреки че е работил така, както винаги, и изведнъж като от небето - нечуван успех! Малко изменил опаковката или дал нова реклама - и такъв неочакван огромен ефект.

Колко битки са били решавани от "решителната намеса" на някакъв малък отряд, дошъл обаче навреме! Естествено, една жена не може спокойно да възприеме дълго равнодушното отношение от страна на мъжа, това засяга нейното достойнство, лишава я от душевно равновесие и може да я доведе до точката, когато неутралното й досега отношение към партньора става неустойчиво. За мъжа е много важно да хване този момент и даже съвсем малка проява на внимание може да я накара страстно да се влюби, в същото време - съвсем малки причини могат да я направят ваш враг. А жените? Те, на свой ред, обичат да водят своите партньори по напречните маршрути по катастрофичната повърхност. Спомнете си "Кармен" - жената ту приближава към мъжа, ту надсмивайки му се го прогонва, и отново - същия цикъл. Хвърля нещастника от състояние на пламенна любов в отчаяна ненавист и обратно. И така, докато не го докара до изстъпление (и престъпление).

-при напречен маршрут

психология

конкуренция

флирт

Любовта и омразата са устойчиви психологически състояния. Ако човекът Ви обича, то той ще го прави дори и да не се държите много добре с него. Но само до определен момент - Вашето лошо поведение може рязко да го направи Ваш враг - и вече както и да се държите и всякакви молби и прочие няма да помогнат. Връщане назад след скока от повърхността просто не съществува!

Много важен момент е устойчивостта на нашите представи. Ако човек е вече заел активна позиция, то не ще бъде изведен от нея, даже при възникнал лек страх пред действителната сложност на проблема. Обаче, ако увереността му в своите сили намалее до опасен предел, той рязко ще смени модела си на поведения: нападащия се обръща в бягство, атакуващият ще заеме отбранителна позиция. Сега - обратно, даже появила се увереност в своите сили не позволява на човека да излезе от пасивното поведение. Затова е толкова трудно да се обърне резултата, когато футболният отбор губи. Само значителни приливи на решителност могат да доведат до това, че отбраняващия се да се хвърли напред.

Управление на риска

Управлението на риска е една от най-важните технологии на нашата цивилизация. Въобще, това е магистралния път на прогреса: да заменяме едни заплахи и опасности с други. Например, опасността да гладуваме и измръзваме с риска да пожънем плодовете от заразяването на водите, земята, въздуха, свързано с традиционните ни начини за добиване на енергия.

Възможността да знаем и видим ставащото на хиляди километри, се оказва свързана с живот сред информационен шум, сред рекламно-информационно бунище и океан от лъжи. Не трябва да мислим, че "няма алтернатива", както ни казват нашите политици. Има алтернатива. Дълбоката връзка между идеите на нелинейната динамика и управлението на риска станала ясна сравнително неотдавно.

За да се осъзнае помогнала парадоксалната статистика на авариите да си спомним "Титаник", "Челенджър", Чернобил, Тримайл, Бхопал... Всяка от тези най-крупни катастрофи на XX век са свързани с дълга верига от случайни причинноследствени връзки. А в нас остава чувството, че просто не ни върви.

Обърнете внимание на двете диаграми горе. Вляво по ординатата е отложен логаритъма на изменението на индекса Доу-Джонс, по абсцисата е времето. Показан е периода пред Великата депресия от 1929 г. Индекс Доу-Джонс е един от главните индикатори на състояния на икономиката - характеризира средната пазарна стойност на една акция.

Вдясно е графика на концентрацията на хлорните йони в изворите в навечерието на земетресението в Кобе 1995 г. Двете криви са много сходни и двете се описват с висока точност от една формула. И явно зад това сходство се крие аналогия между механизмите и на двете явления и възможност да се пренесат методите за прогноза от една област в друга. Това, че най-различни катастрофични събития могат да се развиват по едни и същи закони, е надежда за тяхното разгадаване.

Справка: Сравнителна таблица на видовете катастрофи

Катастрофи / уравнение	Брой оси на поведение	Брой параметри (Управляващо пространство)	Бележки
Гънка (fold) x³ + ax	1	1 (едномерно)	Бифуркационна група от една точка. Този модел е аналогичен на закона "всичко или нищо".Няма точка на пресичане.
Витло (cusp) x⁴ + ax² + bx	1	2 (двумерно)	Бифуркационна група от двете линии на сгъване и една островърха точка на сливане на двете линии.
Лястовича опашка (swallowtail) x⁵ + ax³ + bx² + cx	1	3 (тримерно)	Бифуркационна група от три повърхности на точките на сгъване (линиите на изрязване в управляващото пространство), които се срещат в две линии точки на пресичане, които се самозасичат в лястовича опашка.
Хиперболична омбиликаx³ + y³ + axy + bx + cy	2	3 (тримерно)	Нулевата точка на хиперболичната група катастрофи може да се разглежда като колапс на един минимум, един максимум и две седла.
Елиптична омбилика x³/3 - xy² + a(x² + y²) + bx + cy	2	3 (тримерно)	Нулевата точка на елиптичната група катастрофи може да се разглежда като колапс на един минимума или един максимум и три седла. при c<- 1 имаме два седла, които с увеличаването на c се движат по линията y=- 1 едно срещу друго ; при c=- 1 в точката x= 0, y= 1 се ражда минимум и седло ; при -1< c< 3 тези седло и минимум се раздалечават по оста x в противоположни страни, а двете изходни седла продължава да се сближават; при c= 3 двете седла и минимум се сливат в точка x= 0, y=- 1; при c> 3 остават два седла, които се раздалечават по оста x със стойност c.
Пеперуда x⁶ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx	1	4	Управляващото пространство е четиримерно. Има три точки на пресичане. Бифуркационна група от прегънати хиперповърхности (линиите на изрязване в управляващото пространство), които се срещат на повърхност от точки на пресичане, които се самозасичат в линии на лястовича опашка. Накрая тези линии на лястовича опашка срещат заедно в точка във вид на пеперуда. В тази точка в управляващото пространство, потенциалната крива има само един минимум, който съответства на унищожаването на три минимума и два максимума.
Параболична омбилика x²y + y⁴ + ax² + by² + cx + dy	2	4	Нулевата точка на параболичнната група катастрофи може да се разглежда като колапс на два минимума или два максимума или един максимум и един минимум и три седла. Параболична омбилика е най-сложната сред 7-те елементарни катастрофи. Линията с уравнение - b = -6a2, c = 0, d = -8a3 e наречена "омбилика".