10 август 2022
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Задачата за 1 млн долара - хипотезата на Риман - с неочаквано решение от физиката

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 29 ноември 2021 в 00:01 230720

В статията Джузепе Мусардо и Андре Леклер показаха, че вместо това има елегантно обяснение на подравняването на нулите по оста ½ на функцията на Риман (както и на безкрайно много подобни функции, така наречените функции на Дирихле), в крайна сметка поради напълно неочаквана причина: наличието на хаотично движение и законите на вероятността, които ги управляват. Всъщност Мусардо и Леклер доказват съществуването на Брауново движение, скрито зад всички тези безкрайни функции. Кредит: Giuseppe Mussardo

Една загадка на математиката, която остава неразгадана повече от 150 години, може да бъде разгадана благодарение на напълно неочакван подход, идващ от статистическата физика.

Това е важното заключение на Джузепе Мусардо (Giuseppe Mussardo), професор по теоретична физика в Международната школа за напреднали изследвания SISSA (International School of Advanced Studies), и Андре Леклер (Andrè Leclair) от Университета Корнел, докладвани в статия, наскороо публикувана в Journal of Statistical Mechanics (JSTAT).

Двамата учени показват, че не само могат да стигнат до решението на един от най-известните проблеми в математиката, хипотезата на Риман, но и че физиката на хаотичните движения и законите на вероятностите, които ги регулират, осигуряват елегантния ключ към разбирането на тази велика математическа загадка. Изследването, което стои зад тази наскоро публикувана статия, продължава три години и последната част от него, коментират авторите, е „истинско пътешествие в анализа на данните на невероятно голям набор прости числа, основните съставни части на аритметиката, т.е. реални атоми на математиката."

Безкрайни нули по вертикална линия: енигма, която продължава от 1859 г

Фактът, че математиката дава на физиката правилния език за формулиране на законите на природата, се корени в логиката на нещата.

Перспективата физиката да предостави ключа към разбирането на истинска математическа загадка, е, обратно, доста необичаен и необикновен факт.

Такъв е случаят с хипотезата на Риман, един от най-известните проблеми в математиката.

През 1859 г. немският математик Бернхард Риман представя в Берлинската академия на науките статия, която ще промени историята на математиката. Тя се отнася до мистерията на простите числа и възможността да се предвиди тяхното неуловимо разпределение с удивителна точност.

„В основата на аргумента на Риман е предположение, което той не успява да докаже, за местоположението на безкраен брой нули в комплексната равнина на определена функция, известна като функция на Риман. Тези нули изглежда магически се подравняват по вертикална линия с абциса, точно равна на ½ и досега никой никога не е успял да разбере причината за такава невероятна закономерност”, обяснява Джузепе Мусардо. 

Какво е това "магическо подравняване" и изобщо в какво се състои хипотезата на Риман - накратко и опростено - може да прочетете в карето по-долу.

Хипотезата на Риман за лаици

Хипотезата на Риман не е лесно да се формулира по начин, разбираем за нематематици, защото е същността на една трудна за разбиране математическа теория. Ето как звучи хипотезата на Риман:

Всички нетривиални нули на дзета-функцията имат реална част равна на ½

През 1859 г., Бернхард Риман (Bernhard Riemann) публикува статия, в която излага един напълно нов метод за оценка за разпределението на простите числа.

Простите числа

Простите числа са особени с това, че не могат да се представят като произведение на две по-малки числа. Такива са например 2, 3, 5, 7, 11 и т.н. Те играят важна роля в чистата математика, а и в други области, изискващи целочислени решения.

Разпределението на простите числа между всички естествени числа изглежда не следва някаква закономерност.

Немският математик Бернхард Риман забелязва през 1859, че честотата на простите числа е много тясно свързана с поведението на една сложна функция, която е открива Леонард Ойлер, но Риман взема тази идея и я развива по съвсем нов начин, чрез определяне на т.нар. дзета-функция.

Редът на Ойлер

Теоремата за разпределението на простите числа е отговор на евклидовата теоремата, че простите числа отиват в безкрайността и могат да бъдат произволно големи. Друга фундаментална евклидова теорема определя уникалността на разлагането на множители: всяко положително цяло число е произведение на прости числа, при това само с един уникален набор от множители. През 1737 Ойлер разбира, че първата теорема може да бъде преформулирана, а второто твърдение да се превърне в просто следствие на тази формула. Ето как:

Тук р са всички прости числа (р = 2, 3, 5, 7), а s е константа. От лявата страна се умножават безкрайно много членове, които зависят само от прости числа. В дясната събираме безкраен брой членове, които зависят от всички положителни числа. Тази формула изразява връзката между цели и прости числа и уникалността на разлагането на множители. Но за да стане ясно за всички, трябва малко математика.

Редове - сходящи и несходящи

Ред, според математиците е неограничено продължаващо сумиране на членове, всеки от които се задава с някакъв общ закон. Да вземем например реда на естествените числа:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...

Ако съберем произволен брой членове на този ред, ще получим произволно голям резултат.

Да вземем например членовете на реда 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, …  - това са обратните (реципрочните) стойности на обикновените естествени числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Редът 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ….. играе важна роля математиката и си има свое име - хармоничен ред.


И макар че членовете на хармоничния ред намаляват, все пак сумата расте и също може да получим произволно голям резултат, което се вижда от горните сметки.

Тази сума няма ограничение. Хармоничният ред е разходящ или несходящ, както и редът на естествените числа.

Но ако повдигнем на квадрат знаменателите на хармоничния ред, полученият ред е сходящ:

 Нека да разгледаме последователността на частичните суми:

Резултатите, които се получават, ще бъдат все по-близки до числото π2/6=1.644934..., но никога няма да го надскочат. Казано по математически: редът клони към π2/6, или сумата на реда е равна на π2/6.

Сега нека да видим какво ще стане, ако вместо да повдигаме естествените числа в знаменателя на квадрат, да ги повдигнем на каква да е друга степен? Оказва се, че съответната сума

е сходяща, ако степента x е число, по-голямо от 1. има определена крайна стойност. 

S(x) е точно това, което се нарича дзета-функция, формулирана от Леонард Ойлер, велик математик на XVII век. Точно за нея се споменава в хипотезата на Риман.

Дзета-функцията

До тук добре - за всяко x > 1 редът на Ойлер е сходящ. 

Но какво ще стане, ако разгледаме числата, по-малки от 1 ? Например, ако  x = - 1

Така стигаме до реда на естествените числа, който знаем е несходящ. Същото важи и за други стойности по-малки от x или равни на 1. Сумата е разходяща.

Продължение на дзета-функцията на Ойлер

Излезе, че разглежданата дзета-функция на Ойлер S(x) е определена за реални числа x по-големи от 1. Реалните числа са част от по-голяма група числа, наречени комплексни числа. И докато реалните числа съответстват на всички точки на числовата ос, комплексните числа съответстват на всички точки на равнината, съдържаща реалната числова права. Тази равнина се нарича комплексна равнина. И точно както функцията се определя от аргументи, които са реални числа, точно така може да дефинираме функцията като аргументи са й комплексни числа.

Един интересен факт, свързан с функциите на комплексните променливи е, че ако знаете стойностите на функцията за някакво множество данни, то може да се научат стойностите на функцията във всяка точка в комплексната равнина.

Този метод за разширяване на областта на функцията е известен като аналитично продължение. Дзета-функцията на Ойлер е определена за реални числа по-големи от 1. Тъй като реалните числа са комплексни числа, можем да считаме тази функция като комплексна функция, а след това да използваме аналитичното продължаване, за да получим нова функция, дефинирана за цялата равнина, но съгласувана с дзета-функцията на Ойлер за реални числа по-големи от 1.

Риман разбира, че дзета-функцията е ключът към теоремата за разпределението на простите числа, но за да се приложи този подход, трябва да се разшири, да се определи дзета-функцията не само за реални, но и за комплексни променливи.

Има още едно нещо, което може да се направи. С помощта на комплексния математичен анализ, може да се разшири областта на определение на дзета-функцията на Ойлер така, че за числа по-малки или равни на 1 функцията да приема крайни стойности. С други думи, има начин да се определи нова функция, която ще наречем ζ (x) :

ζ(x) = S(x) = 1/1x + 1/2x + 1/3x + 1/4x + … .

За x > 1 и за  x < 1 функцията ζ(x) ще приема определени крайни стойности. Този метод се нарича аналитично продължение и новата функция, която се получава, се нарича дзета-функцията на Риман. Създаването на тази нова функция приемаща крайни стойности и за  x < 1 се състои в изваждането от несходящия ред на друг несходящ ред. Така от безкрайността, получаваща се от първата разходяща сума минус безкрайността, която дава втората разходяща сума, се получава нещо крайно.

Риман разбира, че дзета-функцията е ключът към теоремата за разпределението на простите числа, но за да се приложи този подход, трябва да се разшири: да се определи дзета-функцията не само за реални, но и за комплексни променливи.

Риман разширява определението на ζ (x) за всички комплексни числа освен 1. Единицата е изключена, защото за x = 1, стойността на дзета-функцията става безкрайна.

През 1859 г. Риман представя идеите си за дзета-функцията в статия със заглавие "За количеството на простите числа, ненадвишаващи определена стойност". В нея представя пълната и точна функция на разпределение на простите числа. 

Тривиални и нетривиални нули

Риман успял да покаже, че разпределението на простите числа зависи от това къде дзета-функцията се нулира. Тя има така наречените тривиални нули в четните отрицателни числа (–2, –4, –6, …).  Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение).

Всички останали нули се наричат нетривиални. Задачата се състои в това, да се опишат всички останали нули на дзета-функцията. А всички нетривиални нули на дзета-функцията се получават за комплексни числа. Те лежат на критичната линия, а реалната им част, равна на 1/2. Това е и забележителната хипотеза на Риман.

 

Нулите на дзета-функцията, критичната линия и критичната ивица

150 години нерешима

Доказателството на хипотезата на Риман е проблемът, който вече 150 години измъчва най-талантливите математици на Земята. Местоположението на нулите на дзета-функцията е от огромна важност за теорията на числата. Информацията за нетривиалните нули дава отговори и на други въпроси извън математиката.

Никой досега не я е доказал, но малцина са тези, които се съмняват, че хипотезата на Риман е вярна. И да напомним, че Институтът Клей дава 1 млн долара за доказателството.

Джузепе Мусардо и Андре Леклер показват, че вместо това изключително елегантно обяснение на подравняването на нулите по оста ½ на функцията на Риман (както и на безкрайно много подобни функции, така наречените функции на Дирихле), в крайна сметка поради напълно неочаквана причина: наличието на хаотично движение и законите на вероятностите, които го управляват. Всъщност Мусардо и Леклер доказват съществуването на Брауново движение, скрито зад всички тези безкрайни функции.

*функции на Дирихле - функции над множеството на реалните числа, приемащи стойност 1 за всички рационални числа и стойност 0 за всички ирационални числа

Брауновото движение зад хипотезата на Риман

Брауновото движение, ключов феномен в статистическата механика, разбрано за първи път от Алберт Айнщайн през 1906 г., е хаотичното и неупорядочено движение на атомите на газ поради много високата честота на техните сблъсъци.

В Брауновото движение ½ е универсалният степенен показател, който управлява как атомите се разпространяват с течение на времето, невероятно силен експонент поради вероятностните закони, открити от великия Гаус и влизащ в неговата известна централна гранична теорема*.

В теорията на вероятностите централната гранична теорема (CLT - Central limit theorem) установява, че в много ситуации, когато са обобщени независими случайни величини, тяхното правилно нормализирана сума се стреми към по-нормално разпределение (неформално - крива с форма на камбана - т.е. Гаусово разпределение), дори ако оригиналните променливи не са нормално разпределени. Теоремата е ключово понятие в теорията на вероятностите, защото предполага, че вероятностните и статистически методи, които работят за нормални разпределения, могат да бъдат приложими към много проблеми, включващи други видове разпределения.

Брауновото движение е много близко до функцията на Мертенс.

"Функцията на Риман е пряко свързана с нарастването на функцията на Мертенс $M(x)enspace =enspace {sum }_{k=1}^{x}mu (k)$, където μ ( k ) е коефициентът на Мьобиус на цялото число k ; Хипотезата на Риман наистина е вярна, ако функцията на Мертенс върви асимптотично като M ( x ) ∼ x 1/2+ε , където ε (епсилон) е произволна строго положителна величина", обясняват авторите.

Учените търсят разпределения на различни поредици от числа и проверяват колко добре ги описва функцията на Мертенс. Оказа се, че "брауновото" описание е много подходящо за прости числа.

„Нашата хипотеза за Брауновия характер на хипотезата на Риман, подкрепена от поредица от вероятностни резултати, които доказахме в теорията на числата, е придружена от масивен и изключително прецизен статистически анализ, направен по безкрайната последователност от прости числа, един истински триумф, за който полагахме усилия около три години”, обяснява Джузепе Мусардо.

„Фактът, че обяснението на хипотезата на Риман идва от физиката, т.е. от статистическата механика и изненадващите връзки на тази област с една истинска математическа тема като теорията на числата, разкрива едновременно голямото единство на научното познание и в същото време, увеличава нашето удивление, изправяйки се пред този дълбок факт”, е последният коментар на двамата автори.

Справка:

Giuseppe Mussardo et al, Randomness of Möbius coefficients and Brownian motion: growth of the Mertens function and the Riemann hypothesis, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (2021). DOI: 10.1088/1742-5468/ac22fb

Generalized Riemann Hypothesis and Stochastic Time Series, Giuseppe Mussardo, Andre LeClairhttps://arxiv.org/abs/1803.10223

Източник: The Riemann conjecture unveiled by Physics, Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati https://www.sissa.it/sites/default/files/SISSA%20press%20release_2.pdf


Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Физика
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.