19 ноември 2018
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Бутилката на Клайн - играчка за математици

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 14 юни 2015 в 10:56151281

Ако търсите къде да си налеете питие, една бутилка на Клайн няма да ви свърши работа. Тя може да ви напомня на бутилка, но няма никакъв обем, което означава, че каквото и да се налива "вътре", ще се окаже навън.

Как да се направи такова странно нещо и защо ни трябва?

Математикът Феликс Клайн , който е открил бутилката през 1882 г., я описва като повърхност, която "може да се визуализира като се обърне парче гумена тръба и да направим възможно да премине през себе си, така че вътрешната и външната повърхности да се срещнат". Бутилката на Клайн е в галерията на най-популярните математически форми, известни на широката публика. 

Бутилката на Клайн се образува като се съединят двете страни на лист, за да стане цилиндър (тръба), а след това се извиват краищата на цилиндъра обратно през самия него по такъв начин, че вътрешната страна (в зелено) и външната (в бяло) на цилиндъра се съединяват. Анимация от Konrad Polthier.

Очевидно е, че бутилката на Клайн, точно като по-познатата ни сфера, е затворена повърхност: тя е ограничена, в смисъл, че може да се вмести в ограничена област на пространството. Една мравка може да се разхожда по нея вечно, без изобщо да се натъкне на граница или да падне от някой ръб. За разлика от сферата, която има вътрешна и външна повърхност, бутилката на Клайн обаче има една страна: разхождайки се нашата мравка може да достигне до двете страни на всяка точка от повърхността.

Бутилката не обхваща обем и нищо не можем да налеем "вътре", защото няма "вътре" или "вън" - повърхността е една.

А това прави бутилката на Клайн е интересна, защото не се срещат често едностранни форми в природата. 

Лентата на Мьобиус е едностранна

Мьобиусовата лента е едностранна. Схема и анимация: Konrad Polthier. 

Ако бутилката е малко объркваща, има един по-прост пример за едностранна повърхност: известният Мьобиусов лист. Можете да направите един, като обърнете един от двата края на лента от хартия и го залепите на другия край. С помощта на хартиена лента, чиито две страни имат различни цветове, да кажем, зелено и оранжево, лесно ще се убедите, че Мьобиусовата лента е едностранна. След като сте усукали краищата и залепили, ще откриете, че може да стигнете до всяка оранжева и всяка зелена точка, без да се налага да пробивате хартията или да се катерите през ръба й.

За разлика от бутилката на Клайн, лентата на Мьобиус има край, има граница - тя се състои от двата отделни слепени краища на оригиналната лента. Но двата края са свързани. Границата на лентата на Мьобиус е единична затворена крива.

Ако имаме две Мьобиусови ленти за да се създаде една затворена форма, като се присъединят техните граници с помощта на обикновена двустранна лента, както е показано по-долу, а това, което се получава е точно бутилката на Клайн.


Двете Мьобиусови ленти се свръзват в бутилка на Клайн чрез обикновена двустранна лента, чиято задна и предна повърхност са оцветени в бяло и синьо, съответно. Анимация от Konrad Polthier.

Друга любопитна особеност на бутилката на Клайн е, че сама се пресича, което означава, че е трудно да се направи от една каучукова тръба както предлага Клайн. Строго погледнато, самопресичащите се обекти показани по-горе, не са бутилка на Клайн, но както посочва Клайн, тя е само въображаем обект в нашето 3D пространство.  Но може да бъде успешно конструирана в 4D пространството, без самопресичане и дупка в повърхнината.

За да разберем защо, първо да разгледаме добре познатия геврек или пояс (известен на математиците като тор). Може да направим тор от квадратен лист от каучук, като първо залепим двете срещуположни страни като цилиндър, а след това залепваме двата края на цилиндъра за да получим тор.

Построяване на тор

Построяване на тор: Първо залепваме противоположните точки на две противоположни страни на квадрата, за да се направи цилиндър и след това залепете двата гранични кръга на цилиндъра съответстващи на залепване противоположни точки на останалите две страни на квадрата за да образуваме тор.

Ако не искате да се занимавате с лепене, можете просто да си представите тора като квадрат като имате предвид, че противоположните точки на противоположните страни се смятат за едни и същи. Така че, когато се плъзга някаква фигура, нарисувана върху "квадрата", към горния ръб, тя ще се появи отново в долния край, а когато я плъзнете към десния край ще се появи отново в левия ръб и обратно.

Пързалка

Когато плъзнете фигура нарисувана върху "квадрата" към горния ръб, тя ще се появи отново в долния край.

За да получите истинска бутилка на Клайн, започнете по същия начин като намерите противоположните точки на двойката противоположни страни на квадрата. За другата двойка страни, обаче, не се идентифицират точки, които са пряко противоположни, а точки, които са по диагонал, както е показано на снимката.

бутилка на Клайн

Построяване на бутилка на Клайн: съединявват се противоположните точки на две противоположни страни (вертикалните в тази схема), а след това се съединявват  диагонално противоположните точки на останалите две страни. Ако квадраттът е [0,1] × [0,1] отъждествяваме точките (x, -1) с (-x, 1) и (-1, y) с (1, y) . Така отъждествяването на страните на квадрата по x става „с усукване“, а по y - „без усукване“.

Полученият обект е бутилката Клайн. Отново може да си я представите като квадрат като имате предвид кои гранични точки се смятат за едни и същи. Ако плъзнете фигурата над един от ръбовете, които имат противоположни точки (вертикалните страни в нашия случай), тя се появява отново на противоположната страна, като преди. Ако обаче я плъзнете над един от ръбовете, чиито точки са били идентифицирани по диагонал (хоризонталните страни), тя се появява на противоположната страна, но изместена и като огледален образ на оригиналния си.

Пързалка

Ако плъзнете форма над горния край, тя се появява през долния ръб от другата страна и като огледален образ на оригиналния си.

Единственият начин да се изгради тази форма в триизмерното пространство е да се даде възможност тя да се пресича. Това се равнява на идентифициране на двойки от точки във вътрешността на оригиналния квадрат, така че строго погледнато получената фигура не е точно същата като бутилката на Клайни. Това е просто един начин за представяне на бутилката в триизмерното пространство (има и други).

Ориентируемост и едностранност

Най-важните свойства на лентата на Мьобиус и бутилката на Клайн са тяхната ориентируемост и едностранност. Една повърхност е едностранна, ако може да се разходите прав по повърхността като стигнете до двете страни на всяка точка от повърхността. Повечето повърхности в природата са двустранни . Например, кръгла сфера е двустранна, което е гаранция, че винаги ще ходим върху Земята и никога с глава в скалите. По същия начин и по повърхността на тора (геврека) и въобще по всички повърхности, които покриват твърд обем, са двустранни.

В природата не може да се видят едностранни повърхнини. Първата едностранна повърхност, открита от Мьобиус, е абстрактно математическо построение. Перпендикулярните стрелички (по математически - нормални вектори ), които видяхме по-горе върху лентата на Мьобиус, в горната илюстрация на бутилката на Клайн показват нейната едностранност:  непрекъснато движейки се, стреличките обхождат двете страни на повърхността на една точка, което означава, че няма разлика между горно и долно (предно и задно, вътре и вън).

Любопитното е, че понятията за "вътре", "отвън" и "едностранчивост" зависят от околното пространство, в което обектът се намира. Например, една затворена крива (контур), нарисувана върху лист хартия (т.е. в двумерното пространство) има добре дефинирани "вътре" и "отвън", то при същият контур, поставен в тримерното пространство, тези понятия губят смисъл. Ето защо не можем да говорим за едностранчивост, освен ако първо не се определи как се вгражда тази повърхнина в пространството. Има обаче по-тясно свързани свойства, присъщи на една повърхнината, които не зависят от околното пространство.

За една повърхност се казва, че е ориентируема, ако фигура, нарисувана върху нея, не може да се трансформира в своя огледален образ, колкото и да се плъзга по повърхността.

Ориентируемост. Анимация от Konrad Polthier

Както можете да видите в анимацията горе, ако придвижите изображението на лице около лентата на Мьобиус, то се завръща като своя огледален образ ( с главата надолу). Това означава, че лентата на Мьобиус е неориентируема. А от примера с плъзгащото се усмихнато лице по-горе, се вижда, че и бутилката на Клайн не е ориентируема.

Понятието ориентируемост важи и за тримерни пространства. Например в една неориентируема тримерна вселена можем така да подхвърлим дясната си ръкавица, че да се върне като лява ръкавица!

Ако трябва да отговорим на въпроса в заглавието - да, може да се напълни в нашия тримерен свят бутилка на Клайн, но е много трудно. Течността създава допълнително налягане върху въздуха вътре, а той няма къде да се измъкне. И изливането на течността е проблем. Освен това течността в бутилката на Клайн не се изпарява, а и да се почистят стените отвътре е практически невъзможно. Но така или иначе, математиците не я ценят заради качествата й на сервиз за вино.

Източници:

Introducing the Klein bottle, Marianne Freiberger

Imaging maths - Inside the Klein bottle, Konrad Polthier


Препоръчани материали
Поп Дръвчо 14.06 2015 в 18:55 1
+ 1
- 0
За да напълните бутилка на Клайн просто трябва да подберете правилното и представяне в 3Д пространството.

Особено практична за целта е ето тази:
http://www.kleinbottle.com/drinking_mug_klein_bottle.htm

Дедо поп все се кани да си поръча.
 
Още от : Математика
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.