Да предположим, че имате просто число p и някакво друго естествено число x . След това, без значение каква е стойността на x , само да е естествено число, ще откриете, че

x ^р - x

  е кратно на p

Този резултат е известен като малката теорема на Ферма. ( да не се бърка с последната теорема на Ферма).

Нека опитаме малката теорема с няколко примера. За p = 2 и x = 5 имаме

5 ² - 5 = 25 - 5 = 20 = 10 × 2.

 
За p = 3 и x = 2 имаме

2 ³ - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 × 3.

 
И за p = 7 и x = 11 имаме

11 ⁷-11 = 19 487 171 - 11 = 19 487 160 = 2 783 880 × 7.

  Можете да изпробвате и други стойности на p и x .

Ферма споменава за първи път една версия на тази теорема в писмо от 1640. Както и при последната си теорема, той е малко загадъчен, когато стане въпрос за доказателство:

"... Доказателството биx ви изпратил, ако не се страхувах, че ще бъде твърде дълго."

Но за разлика от последната теорема на Ферма, доказателството е публикувано сравнително скоро, през 1736 от Леонард Ойлер .

Но дали малката теорема на Ферма работи на обратно? Ако имаме естествено число p , така че за всички други естествени числа x

x ^р - x

е кратно на р, означава ли това, че р е просто число?

Ако това беше вярно, тогава биxме могли да използваме малката теорема на Ферма, за да проверяваме дали дадено число р е просто: да вземем други числа x на случаен принцип и за всяко от тяx да проверим дали

x ^р - x

е кратно на р. Ако намерите x , за които това не е вярно, тогава ще знаем със сигурност, че р не е просто. Ако не се намери нито едно и при условие, че сте проверили достатъчно много x, можете да бъдете сигурни, че р е просто. Този метод се нарича проверка на Ферма за прости числа.

Уви, това не работи толкова добре. През 1885 г. чешкият математик Вацлав Шимерка (Václav Šimerka) открил непрости числа, които се "преструват" на прости числа, когато става въпрос за малката теорема на Ферма. Числото 561 е най-малкото от тяx. То не е просто, но за всички други естествени числа x имаме, че

x ⁵⁶¹ - x

е кратно на 561.

Шимерка открил, че 1105, 1729, 2465, 2821, 6601 и 8911 се държат по същия начин. Естествени числа, които не са прости числа, но удовлетворяват отношенията, посочени в малката теорема на Ферма, понякога се наричат псевдопрости, защото се държат като прости числа или числа на Кармайкъл , след като американският математик Робърт Кармайкъл самостоятелно намира първото число 561 през 1910 година.

Може да предположите от първите седем посочени по-горе, че броят на числата на Кармайкъл не са прекалено много. Има безкрайно много от тяx, факт, доказан през 1994 г., но те ​​са много редки. Всъщност стават още по-редки при по-големите числа. Числата на Кармайкъл между 1 и 10 ²¹ са около 1 на 50 трилиона.

Числата на Кармайкъл затрудняват проверката на Ферма за прости числа донякъде, но не толкова много, че да я направят неизползваема.

Още по темата

31/05/2015

Математика

5 странни числа, които трябва да знаете

07/01/2015

Математика

Ирационалните числа