Този сайт използва бисквитки (cookies). Ако желаете можете да научите повече тукПриемам
21 август 2017
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Разни
FACEBOOK

Денят на "пи": 3.14 е повече от парче пай

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 14 март 2017 в 08:3099510
Визуализация на първите 10000 цифри на числото "пи". Снимка: pikabu.ru

Днес е Световният ден на числото "пи". Денят, в който се чества най-старата математическата константа, е 14 март или 3.14 по американския модел на календарен запис месец/ден. 

Може да се каже, че това е празник на математиката и най-често се празнува с печене на голям брой пайове.

Но "пи" не е само парче пай

Пи (π) е едно от най-важните и интересни числа в математиката. Съотношението на дължината на окръжността към нейния диаметър е еднакво за всички окръжности. Това съотношение се означава с гръцката буква π, която е първата буква от гръцката дума περιμετροη, която означава "окръжност").

Историята на неговото изчисляване започва преди повече от 2 хиляди години, а точността на изчисление варира от 256/81 до 339/108 в древен Египет и в индийските свещени книги Ведите.

  • Архимед изчислява съотношението на дължината на окръжността към диаметъра на дължина или числото π и установява, че е между 3 10/71 и 3 1/7.
  • Дълго време като приблизителна стойност се е използвала 22/7, макар че е открито в Китай още през V век едно по-добро приближение 355/113 = 3.1415929 , което е преоткрито в Европа едва през XVI век. 
  • През 1579 г. френският математик Франсоа Виет изчислява "пи" до 9 знака.
  • Холандският математик Лудолф Ван Цейлен през 1596 г. публикува резултата на своя десетилетен труд – числото "пи", изчислено с 32 знака. И затова преди години числото "пи" е наричано "лудолфово число".

Но всички тези изчисления са правени по методите, посочени от Архимед - кръга се заменя с многоъгълник с нарастващ брой страни. Периметърът на вписания многоъгълник по този начин е по-малък от обиколката на кръга, а периметъра на описания многоъгълник - по-голям.

Но остава неясно дали числото π е рационално, тоест, дали може да се изрази като отношение на две цели числа, или е ирационално.

Едва през 1767 г. немският математик Ламберт доказва, че числото π е ирационално.

А след още сто години през 1882 г. друг немски математик, Ф. Линдеман, доказва неговата трансцендентност, което означава, че е невъзможно да се построи с помощта на пергел и линийка квадрат с равна площ на дадена окръжност.

Случайни ли са цифрите на "пи"?

Още от зората на математиката хората се питат дали цифрите на числото π (= 3.1415926535 ...) са "случайни" - от Архимед до компютърната ера в наши дни. Сегашният рекорд от 10 трилиона цифри след десетичната точка се държи от Александър Йе (Alexander Yee) и Шигуро Кондо (Shiguro Kondo). Преди време бе разпространен един мем за π, който твърди, наред с други неща:

"Пи" е безкрайно неповтарящо се десетично число, което означава, че всяка възможна комбинация на числа съществува някъде в π. Превърнато в ASCII текст, някъде в тази безкрайна поредица от цифри е името на всеки човек, който някога сте обичали, датата, часа и начина на смъртта ви и отговорите на всички големи въпроси на Вселената.

Дали това наистина е вярно? Дали цифрите на π наистина са "случайни"? Дали всяка възможна поредица от цифри в крайна сметка се появява някъде в безкрайната десетична редица на π? Отговорът бе неясен.

След като векове математиците си блъскат главите над този проблем, може би, най-накрая има напредък. Първият голям пробив става през 1996 г., когато Дейвид Бейли (David Bailey), Питър Борвайн (Peter Borwein) и Саймън Плуф (Simon Plouffe) откриват тази невероятна нова формула:

Това е вълнуващо не само защото формулата е нова, но и защото тя дава възможност за лесно изчисление на всяка изолирана шестнадесетична или двоична цифра на π , без да е необходимо да се изчисли всяка от предходните цифри. Постигнато е това, което по-рано се смяташе за невъзможно. (За информация как работи формулата, поместваме готов код на езика на C, изчисляваща 1000000-ия знак в края на статията.)

И макар резултатът да не позволява изчисление в по-познатите ни десетични цифри, формулата изглежда добавя още доказателства, че цифрите на π са случайни. "Ако може да се получат лесно цифрите по този начин, то тогава това е силно доказателство, че цифрите са независими", заяви Борвайн.

Това доказва, че всяка последователност от цифри има равен шанс да се появи в цифрите на π в една и съща дължина последователности. Това е т. нар. свойство нормалност.

"В познатата десетична бройна система на основа 10, всяка една цифра на нормално число се появява в една десета от случаите, а всяко двуцифрена комбинация възниква на всеки един случай на сто и така нататък", обяснява Бейли. "Това е като безкрайно хвърляне на честен десестенен зар и да се преброи колко често се появява всяка страна или комбинация от страни". "Пи" със сигурност изглежда се държи по този начин, поне за първите 10 млрд. десетични цифри. Досега известните цифри от π преминаха всеки статистически тест за нормалност, а което значи и на случайността.

Първите 1000 знака на "пи". Източник: Wikiwand

Тук трябва да си изясним какво се има предвид под "случайни". Ясно е, че "пи" не е "случайно" число в тесния смисъл на думата, защото отделните цифри със сигурност не случайни, а математически определени точно. Под "случайност" се разбира математическия термин "нормалност".

Намесва се Хаосът

Въпреки това, нормалността е изключително трудно да се докаже. Всъщност, въпреки че математиците смятат, че повечето математически константи са нормални - - те досега не го доказаха за нито една от тях. Вместо това, Бейли и Ричард Крандел (Richard Crandell), неочаквано успяха да свържат нормалността с привидно несвързаната област на хаотичните динамични системи. "Аз не съм наясно каква е връзката между теорията на хаоса и теорията на числата", заяви Бейли. "Едното поле възниква от изчислителната физика, а другото е най-чистата от чистата математика".

През последните години за решаване на проблема са впрегнати някои сложни нови инструменти и вече се появиха обещаващи резултати. Така например в книгата "Разходки с реални числа" (Walking on real numbers) на Борвайн и Франциско Арагон Артачо (Francisco J. Aragon Artacho) се анализират цифрите на математическите константи се представят като случайна разходка. Например, един число, изразено на основа 4 ( т.е. използват се цифрите 0, 1, 2 и 3) може да се визуализира, като се започне от дадена точка, движейки се в полето с една единица ход надясно за 0, една единица нагоре за 1, наляво с една единица за 2 или надолу с една единица за 3, като това продължава за толкова цифри, колкото може да се изчисли.

Когато пи в 4-ната система се нанесе по това правило, се получава тази поразително красива картина:

Тази разпечатка е напълно аналогична на тази от поредица цифри, генерирани от генератор на псевдослучайни числа:

Псевдослучайният генератор на числа използване на изчислителни алгоритми, които връщат като резултат дълги поредици от очевидно случайни числа, които всъщност са напълно определени от друга по-кратка начална стойност или ключ. По този начин една и съща последователност от числа може да бъде възпроизвеждана неограничен брой път, ако се знае началната стойност, която определя алгоритъма.

Точно същият случай имаме при изчисляването на числото "пи".

Така че, с други думи, от тези резултати излиза, че хипотезата, че "пи" е определено "нормално" е правдоподобна.

Но нямаме доказателства. Дали този проблем завинаги ще остане, въпреки яростната атака на световната армия компютърно грамотни математици?

Дотогава ще им се наложи да изядат още много пай.

Eric Sonstroem/Flickr (CC BY 2.0)


/* This program implements the BBP algorithm to generate a few hexadecimal digits beginning immediately after a given position id, or in other words beginning at position id + 1. On most systems using IEEE 64-bit floating- point arithmetic, this code works correctly so long as d is less than approximately 1.18 x 10^7. If 80-bit arithmetic can be employed, this limit is significantly higher. Whatever arithmetic is used, results for a given position id can be checked by repeating with id-1 or id+1, and verifying that the hex digits perfectly overlap with an offset of one, except possibly for a few trailing digits. The resulting fractions are typically accurate to at least 11 decimal digits, and to at least 9 hex digits. */

/* David H. Bailey 2006-09-08 */

#include <stdio.h>

#include <math.h>
int main()

{ double pid, s1, s2, s3, s4;
double series (int m, int n);
void ihex (double x, int m, char c[]);
int id = 1000000;

#define NHX 16 char chx[NHX];

/* id is the digit position. Digits generated follow immediately after id. */ s1 = series (1, id);
s2 = series (4, id);
s3 = series (5, id);
s4 = series (6, id);
pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4;
pid = pid - (int) pid + 1.;
ihex (pid, NHX, chx);
printf (" position = %in fraction = %.15f n hex digits = .10sn", id, pid, chx);
}

void ihex (double x, int nhx, char chx[])
/* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x. */

{ int i;
double y;
char hx[] = "0123456789ABCDEF";
y = fabs (x);
for (i = 0;i < nhx; i++)

{ y = 16. * (y - floor (y));
chx[i] = hx[(int) y];} }

double series (int m, int id)
/* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k;
double ak, eps, p, s, t;
double expm (double x, double y);

#define eps 1e-17 s = 0.;

/* Sum the series up to id. */

for (k = 0; k < id; k++)

{ ak = 8 * k + m;
p = id - k;
t = expm (p, ak);
s = s + t / ak;
s = s - (int) s;
}


/* Compute a few terms where k > = id. */

for (k = id; k < = id + 100; k++)

{ ak = 8 * k + m;
t = pow (16., (double) (id - k)) / ak;

if (t < eps) break;
s = s + t;
s = s - (int) s; }

return s;
}

double expm (double p, double ak)
/* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */

{ int i, j;
double p1, pt, r;

#define ntp 25 static double tp[ntp];
static int tp1 = 0;

/* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */

if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp[0] = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++)

tp[i] = 2. * tp[i-1];}

if (ak == 1.) return 0.;

/* Find the greatest power of two less than or equal to p. */

for (i = 0; i < ntp; i++)

if (tp[i] > p) break;
pt = tp[i-1];
p1 = p;
r = 1.;

/* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */

for (j = 1; j < = i; j++)

{ if (p1 > = pt)

{ r = 16. * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
p1 = p1 - pt; }

pt = 0.5 * pt;
if (pt > = 1.)

{ r = r * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
} } return r;
}

Източници:

Pi not a piece of cake

Are the Digits of Pi Random?

Вычисление N-го знака числа Пи без вычисления предыдущих


Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Математика

Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.