23 април 2019
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Ирационалните числа

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 07 януари 2015 в 17:38131740

Както се подразбира от името, ирационалните числа не са рационални и не защото са нещо "неразумно", а защото не могат да бъдат записани като съотношение, като обикновена дроб. 

Ирационалните числа са реални числа.

Примери:

1.5 =3/2 , 0.6666...7=2/3 , 7=7/1 са рационални числа, а π=3.14159... е ирационално число.

Още за ирационалните числа

Някои числа не могат да бъдат записани като съотношение на две числа:

π=3.1415926535897932384626433832795 (и още до безкрай)

Няма начин π да се запише точно като съотношение на две числа. 

Популярното приближение 22 / 7 = 3,1428571428571 ... е близко, но не точно.

Друг белег е, че при ирационалните числа, цифрите след десетичната точка продължават безкрайно без да се повтарят или да показват някаква периодичност.

Известни ирационални числа

π

π е известно ирационално число - отношението на обиколката на кръга към диаметъра му. Вече са изчислени над един квадрилион знака след десетичната точка. >Първите няколко цифри изглеждат така:

3,1415926535897932384626433832795 (и още ...)

e

Числото e ( число на Ойлер, Неперово число) е друго известно ирационално число, основа на естествените логаритми/ Първите няколко цифри изглеждат така:

2,7182818284590452353602874713527 (и още ...)

F

Златното сечение е ирационално число. Първите няколко цифри изглеждат така:

1,61803398874989484820 ... (и още ...)

Много квадратни, кубични и др. корени също са ирационални числа. но не всички корени са ирационални. Примери:

√3 1,7320508075688772935274463415059 (т.н.)
√99 9,9498743710661995473447982100121 (т.н.)

√4 = 2 (рационално), и √9 = 3 (рационално)

Гръцка математическа трагедия

До понятието ирационални числа интуитивно са стигнали още индийскийските математици от VII век, пр.н.е. Например Манава (ок. 750 г. пр. н. е. — ок. 690 г. пр. н. е.) установил, че корен квадратен от някои положителни числа, като 2 и 61, не може да бъде точно изчислен.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа се приписва Хипас (Хипазос) (ок. 500 г. пр.н.е.) от Метапонт, ученик на Питагор. Питагорейците вярвали, че има единна единица за дължина достатъчно малка и неделима, която цяло число пъти се нанася на всяка отсечка. Хипас доказал, че няма такава единна единица за дължина, защото съществуването й води до противоречие: ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число единични отсечки, то това число трябва да е едновременно и четно, и нечетно. Доказателството на Хипас:

  1. отношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник, може да бъде изразено като a:b, където a и b  са избрани възможно най-малки.
  2. По теоремата на Питагор имаме: a² = 2b².
  3. Тъй като е четно, a то трябва да е четно (квадратът на нечетно число е нечетно число).
  4. По условие дробта a:b не може да се съкрати, в такъв случай b трябва да бъде нечетно.
  5. Тъй като a е четно, може да го означим с a = 2y.
  6. Тогава a² = 4y² = 2b².
  7. b² = 2y², следователно е четное, т.е. b е четно.
  8. Но в т.4 беше доказано, че b е нечетно.
  9. Това е противоречие.

Гръцките математици нарркли ​​това съотношение на несъизмерими величини Alogos (неописуем), но никак не били доволни от Хипас и не му отдали дължимото уважение. Според легендата, че Хипас направил откритието си по време на морски поход и бил изхвърлен зад борда от другите питагорейци. Обвинението било "за създаване на елемент на вселената, който отрича учението, че всички структури във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните отношения". Откритието на Хипас изправило питагорейците пред сериозен проблем, унищожавайки лежащото в основата на цялата им теория предположение, че цифрите и геометричните обекти са единни и неразделими.

Основни понятия и лексика

  • Ирационални числа
  • π
  •  число на Ойлер, Неперово число, основа на естествените логаритми
  • Златното сечение е ирационално число.
  • квадратни, кубични и др. корени
  • Питагор
  • Хипас (Хипазос) (ок. 500 г. пр.н.е.) от Метапонт

Източници:

Famous Irrational Numbers

Иррациональное число


Препоръчани материали

Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Математика
Ако P = NP, човек ще бъде Бог
18 септември 2017 в 00:001
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.