Как да изчислим времето, за което се удвояват случаите на Омикрон

Ваня Милева Последна промяна на 21 декември 2021 в 00:00 13463 0

Научно точен атомен модел на вируса SARS-CoV-2. Кредит: Alexey Solodovnikov и Valeria Arkhipova , CC BY-SA 4.0 .

Експерти обсъждат физиката и математиката в сериала "Задачата за трите тела"

11/04/2024

Някои пробиви в най-трудната задача в теорията на числата. "Периодични таблици" на простите числа

С появата на варианта на Омикрон и рязкото покачване в много европейски страни на случаите на COVID-19 стават отново актуални концепции, за които мнозина се надяваха, че сме изоставили - експоненциален растеж, темпове на растеж и времето, за което се удвояват случаите.

Представяме ви още една статия от цикъла "Математика на пандемията", която обяснява някои математически концепции на разпространението на инфекциозните заболявания.

Може да предположите, че ако знаете скоростта на разпространението на болестта, лесно може да се изчисли времето, необходимо за удвояване на броя на случаите, но връзката е малко по-фина.

Например за темп на нарастване от 0,33 (приблизително това, което се наблюдава в Южна Африка в момента) може да предположите, че трябва да се изчакат три дни, за да се увеличи броят на случаите със 100%, т.е. очакваме удвояване на всеки три дни.

Но това не е вярно. Всъщност времето за удвояване е много по-кратко - малко повече от два дни. Причината за това по същество е същата като причината, поради която, ако не сте внимателни, сложната лихва ви вкарва в дългове по-бързо, отколкото сте предполагали, когато сте теглили заема.

Малко за скоростта на нарастване

Темпът на нарастване на болестта отразява колко бързо броя на инфекциите се променят с всеки изминал ден. Той се моделира с помощта на експоненциална крива:

$N(t) = ce^{\lambda t}$

Тук N е броят на случаите, който зависи от времето, t е измерено в дни, и l е темпът на нарастване на заболяването на ден. Числото c е броят на случаите в t = 0 , тоест моментът от време, от който се опитваме да проектираме напред.

Числото e е математическа константа, приблизително равна на 2,719. Причината да се появи тук e, че е тясно свързано с растежа, който непрекъснато се усложнява.

Когато за първи път чуете термина „темп на растеж“, може да си помислите, че l ви дава увеличение на случаите на ден, особено след като може да се изрази и като процент. Но това не е съвсем правилно. Увеличението от ден на ден според формулата по-горе е

$N(t+1)-N(t) = ce^{\lambda (t+1)}-ce^{\lambda t},$

което се опростява до

$ce^{\lambda t}\left(e^\lambda -1\right).$

Като процент от N(t) това е

$\frac{ce^{\lambda t}\left(e^\lambda -1\right)}{ce^{\lambda t}}\times 100 = 100(e^\lambda -1).$

Връщайки се към нашия пример за l = 0.33, виждаме, че процентният ръст на ден не е 33%, както може би си мислите, а

$100(e^{0.33}-1)=39\% ,$

което е доста повече. Само когато l е малко (да речем около l<0,1), можем да приемем стойността l сама по себе си като оценка на увеличението от ден на ден (това е така, защото за тези малки стойности l е добро приближение на e^l- 1).

Изчисляване на времето за удвояване от скоростта на нарастване

Сега нека изчислим времето за удвояване от нашия модел на темп на нарастване. Бихме искали да намерим продължителността d на периода от време, необходим за удвояване на случаите. Математически трябва да решим d от израза

$N(t+d)=2N(t).$

Използването на формулата по-горе означава, че трябва да решим d от израза

$ce^{\lambda (t+d)}=2 ce^{\lambda t}.$

Логаритмуването от двете страни на уравнението дава

$\ln {c}+\lambda (t+d) = \ln {2}+\ln {c}+\lambda t.$

Решаването на уравнението за d дава

$d=\frac{\ln {2}}{\lambda }.$

Това ни показва как времето за удвояване d зависи от скоростта на нарастване l. Ето сюжета на връзката. Това показва, че времето за удвояване не се увеличава линейно с темпа на растеж, а вместо това пада доста драматично с увеличаването на l.

^{Времето за удвояване по отношение на темпа на растеж, както е дадено от формулата.}

Връщайки се към нашия пример по-горе, за темп на растеж от l =0,33, нашата формула ни казва, че съответното време за удвояване е

$d=\frac{\ln {2}}{0,33} = 2,1,$

което е малко повече от два дни.

Авторът на тази статия е Джулия Гог (Julia Gog), професор по математическа биология в Университета в Кеймбридж, като част от сътрудничество JUNIPER, съвместен университетски консорциум за моделиране на пандемията и реакцията на епидемии. JUNIPER включва учени от университетите в Кеймбридж, Уоруик, Бристол, Ексетър, Оксфорд, Манчестър и Ланкастър, които използват набор от математически и статистически техники за справяне с неотложния въпрос за контрола на COVID-19. Можете да видите повече съдържание, произведено от JUNIPER тук.

Гог е член и на SPI-M, група за моделиране, която предава резултатите си на Научната консултативна група за извънредни ситуации (SAGE) и на управителния комитет на национален консорциум, ръководен от Кралското общество, за справяне с пандемията от COVID-19.

Източник: How to work out doubling time, Plus magazine, University of Cambridge
под редакцията на Мариан Фрайбергер (Marianne Freiberger)

Още по темата

20/12/2021
Математика

Математиката зад "R нула", стадният имунитет и ефективността на ваксините

13/04/2020
Животът

Как се моделира математически епидемията?