Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива

"Математиката е красива" - казват математиците, но мнозина, с лоши спомени от този предмет в училище, не им вярват.

Има наистина математически обекти като фракталите, чиято красота е очевидна и се вижда на илюстрацията горе. Но в последната статия в The Conversation на Вики Нийл (Vicky Neale), преподавател по математика в Университета в Оксфорд, се говори за друг вид красота - красотата на решението. 

Удоволствието от красотата на математиката е мотив на много учени да изучават тази дисциплина, но тя е и водач, когато се решава някоя задача, защото винаги по-елегантното решение е предпочитаното.

Ето един пример.

Триъгълните числа 

Последователността от числата 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... е поредица, която учениците често се сблъскват в училище - това са т.нар. "триъгълни числа". Всяко число от поредицата, съответства на броя на точките в последователност от триъгълници.

^{Шестте първи триъгълни числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21.}

Можем ли да предскажем кое число ще бъде 1000-ното по ред в последователността? Има много начини за справяне с този въпрос, а разборът на приликите и разликите между тези подходи е поучителен. Вики Нийл представя едно решение, което наистина може да се нарече красиво.

Представете си 10-тото число от последователността (защото е по-лесно да се илюстрира, отколкото за 1000-то). Нека да пресметнем колко са точките, без да ги броим. Имаме един триъгълник от точки с 10 точки на най-долния ред и 10 реда от точки, които намаляват с по една точка за всеки следващ ред нагоре

Ако направим още едно копие на тази фигура, завъртим я и я поставим върху началния триъгълник от точки, ще получим правоъгълник. Тази фигура от точки ще има 10 в най-долния ред и 11 реда, така че ще са 10 х 11 = 110 точки общо (виж фигурата горе). Знаем, че половината от тях са от първоначалния ни триъгълник, така че 10-тото триъгълно число е 110/2 = 55.

Намерихме го, без да броим точките.

Силата на този математически аргумент е, че можем без проблем да го обобщим за кое да е число отново без да броим точките и без да ги рисуваме. Да направим един мисловен експеримент. В 1000-ния триъгълник в поредицата ще има 1000 точки в най-долния ред, както и 1000 реда от точки. Ако вземем друго копие на него и го завъртим, получаваме правоъгълник с 1000 точки в най-долния ред и 1001 реда. Половината от тези точки са в първоначалния триъгълник, така че 1000-ното триъгълно число е (1000 х 1001)/2 = 500500.

А кое да е триъгълно число, да речем n-тото по ред, ще бъде равно на n*(n+1)/2. 

Идеята е красива, нали?

Още по темата

23/01/2023

Математика

На 23 януари 1862 роден математикът, който смяташе, че на поетите не им достига въображение за математика

14/11/2016

Физика

Даже физиците се страхуват от математика

07/08/2016

Математика

Математици хвърлиха мост през пропастта между крайно и безкрайно