Един въпрос към всички фенове на математиката: ако имате набор от положителни числа, можете ли да изберете тези, чиито реципрочни числа имат сбор единица?

Ето един пример: да кажем, че имаме множеството {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Можем да изберем 2, 4, 6 и 12 от този набор и ще установим, че:

12 + 14 + 16 + 112 = 1

Това не е съвсем лесна задача, но и не изглежда твърде трудна, нали? Въпреки това, това е версия на точно този въпрос, който някои математици смятат, че „може да би е най-старата задача“.

Сега, математикът Томас Блум (Thomas Bloom) от Оксфордския университет, отговаря на въпрос с корени, които се простират чак до древен Египет.

В задачата участват дроби, които имат 1 в числителя си, напр.  $// <![CDATA[ \frac{1}{2} // ]]>$ , 17     или  $// <![CDATA[ \frac{1}{122} // ]]>$ . Тези „единични дроби“ са били особено важни за древните египтяни, тъй като те са били единствените видове дроби, които тяхната бройна система съдържа: с изключение на един единствен символ за  $// <![CDATA[ \frac{2}{3} // ]]>$ , те са могли да изразяват по-сложни дроби (като  $// <![CDATA[ \frac{3}{4} // ]]>$ ) като суми от единични дроби ( $// <![CDATA[ \frac{1}{2} // ]]>$ +  $// <![CDATA[ \frac{1}{4} // ]]>$ ).

_{Математическият свитък, известен като Папирусът на Ринд, който датира от около 1650 г. пр. н. е., показва как древните египтяни са представяли рационалните числа като суми от единични дроби. Кредит: Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)}

Съвременният интерес към такива суми се засилва през 70-те години на миналия век, когато Пол Ердош (Paul Erdős) и Роналд Греъм (Ronald Graham) се опитват колко трудно може да е да се проектират набори от цели числа, които не съдържат подмножество, чиито реципрочни числа имат сбор 1. Например наборът {2, 3, 6, 9, 13} се проваля на този тест: съдържа подмножеството {2, 3, 6}, чиито реципрочни числа са единичните дроби  $// <![CDATA[ \frac{1}{2} // ]]>$ ,  $// <![CDATA[ \frac{1}{3} // ]]>$ и  $// <![CDATA[ \frac{1}{6} // ]]>$ - която сума е 1.

По-точно, Ердош и Греъм са предположили, че всеки набор, който представлява достатъчно голяма извадка от положителни цели числа и в себе си може да съдържа 20% или 1% или 0,001% подмножество, чиито реципрочни числа имат сбор 1. Ако първоначалният набор удовлетворява това просто условие за извадка на достатъчно цели числа (известни като „положителна плътност“), тогава дори ако неговите членове са умишлено избрани, за да затруднят намирането на това подмножество, това подмножество все пак трябва да съществува.

Версията за плътност на задачата на Ердош-Греъм математически се записва по следния начин:

Ако A ⊂ N има положителна плътност, тогава има крайно множество S ⊂ A такова, че

Това по същество е същият въпрос, зададен в началото, но с една важна разлика: наборът, с който започваме, сега е безкрайно голям. 

Ето например едно множество А, множеството от всички нечетни числа, по-големи от две.

A={3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Това е определено подмножество от естествените числа - или изразено математически: A ⊂ N

Но това също е набор с положителна плътност. Това е доста сложна математическа идея, но можем да я осмислим по следния начин: без значение до колко голямо число ще стигнем броейки, има ненулева вероятност, че ще стигнем до число от множеството A – с други думи, нечетно число, по-голямо от 1. Дори и да сме стигнали до трилиони, все още ще има нечетни числа, нали?

Така че имаме нашия набор A ⊂ N с положителна плътност, какво трябва да направим с него? Както преди, предизвикателството е да се намери група от числа в набора, чиито реципрочни стойности имат сбор единица.

13 + 15 + 17 + 111 + 133 + 135 + 145 + 155 + 177 + 1105  = 1

Добре изглежда, но не е достатъчно: ако искаме да докажем твърдението, трябва да можем да намерим тези реципрочни числа във всеки набор A, който евентуално би могъл да бъде избран – а това е много по-обширна задача.

„Помислих си, че това е невъзможна задача, която никой не би могъл да реши“, коментира Андрю Гранвил (Andrew Granville), математик от университета в Монреал, пред Quanta magazine. "Не видях никакъв очевиден инструмент, който да го атакува."

Колкото и трудна да е тази задача, почти случайно Блум намира решението. Всично започва миналия септември, когато е помолен да представи статия, написана преди 20 година.

Тази статия, от математик на име Ърни Крут (Ernie Croot), решава така наречената оцветяваща версия на задачата на Ердош-Греъм. Там целите числа са сортирани на случаен принцип в различни кофи, обозначени с цветове: някои отиват в синята кофа, други в червената и т.н. Ердош и Греъм прогнозират, че без значение колко различни кофи се използват при това сортиране, поне една кофа трябва да съдържа подмножество от цели числа, чиито реципрочни числа са равни на 1.

Крут представя мощни нови методи от хармоничния анализ - клон на математиката, тясно свързан с математическия анализ - за да потвърди хипотезата на Ердош-Греъм. Статията му е публикувана в Annals of Mathematics, най-доброто списание в тази област.

Задачата с оцветяването е много подобна на задачата с плътността – и двете изискват да се намери подмножество от числа, чиито реципрочни числа събрани дават 1 – но е различен по един много важен начин.

В задачата с оцветяването цялото множество A е разделено на кошчета. Не се знае как точно е разделено, но това всъщност няма значение – всичко, което трябва да се докажете, е, че има поне една кофа с числа, сборът на чиито реципрочни числа е 1. Точно това направи Крут в своята статия: той изгражда доказателство, за да покаже, че поне един контейнер винаги ще има достатъчно от тези т.нар. "гладки" числа. 

В теорията на числата положително цяло число се нарича B-гладко, ако нито един от неговите прости множители не е по-голям от B. Например 1620 може да се разложи на прости множители 2 ² × 3 ⁴ × 5. Следователно 1620 е 5-гладко, тъй като нито един от неговите прости множители не е по-голям от 5. Тази дефиниция включва числа, при които липсват някои от по-малките прости множители, например и 10, и 12 са 5-гладки, въпреки че пропускат множителите 3 и 5, съответно. Всички 5-гладки числа са от вида 2 ^a × 3 ^b × 5 ^c, където a, b и c са цели неотрицателни числа.

Но с версията на задачата за плътността този пряк път не е наличен. Не можете просто да изберете най-удобната кофа – може да получите подмножество S с наистина неподходящи.

„Това беше нещо, което не можех да заобиколя“, обяснява Крут пред Quanta magazine.

Но докато чете статията, Блум осъзнава, че с малко работа може да използва идеите, изложени от Крут, за да разреши проблема с плътността.

„Помислих си, чакай, методът на Крут всъщност е по-силен, отколкото изглежда отначало“, коментира Блум. "Така че си поиграх няколко седмици и от това излезе този по-силен резултат."

Блум разбира, че задачата с оцветяването и задачата с плътността са всъщност едно и също – когато Кроут доказва, че една кофа съдържа набор от достатъчно гладки числа, за да удовлетвори теоремата, той всъщност просто доказва частен случай на проблема с плътността. Всичко, което Блум трябва да направи, бе да покаже, че резултатът ще бъде същият, дори ако тези числа са малко по-малко гладки и проблемът с плътността ще бъде напълно решен.

Доказателството на Крут се основава на вид интеграл, наречен тригонометрична сума. Това е израз, който може да открие колко целочислени решения има дадена задача - в този случай колко подмножества съдържат сума от единични дроби, която е равна на 1. Но има една уловка: почти винаги е невъзможно да се решат точно тези тригонометрични суми. Дори оценяването им може да стане непосилно трудно.

Оценката на Крут му позволява да докаже, че интегралът, с който е работил, е положителен, свойство, което означава, че в първоначалния му набор съществува поне едно решение.

Блум адаптира стратегията на Крут, така че да работи за числа с големи прости множители. Но това изисква преодоляване на поредица от препятствия, които затрудняват доказването, че тригонометричната сума е по-голяма от нула (и следователно, че предположението на Ердош-Грам е вярно).

И Крут, и Блум разбиват интеграла на части и доказват, че основното събираемо е голямо и положително, а всички други събираеми (които понякога могат да бъдат отрицателни) са твърде малки, за да направят значима разлика.

Но докато Крут пренебрегва цели числа с големи прости множители, за да докаже, че тези събираеми са достатъчно малки, методът на Блум му дава по-добър контрол върху тези части от тригонометричната сума - и в резултат на това повече свобода за работа с числата, които иначе биха могли да доведат до проблеми. Такива нарушители все още можеха да попречат да се покаже, че дадено събираемо е малко, но Блум доказва, че има сравнително малко места, където това би се случило.

Вместо да използва този метод за търсене на набори от числа, чиито реципрочни числа имат сбор 1, Блум си улеснява работата като търси суми не до 1, а до по-малки съставни дроби. След това ги използва като градивни елементи, за да постигне желания резултат.

„Не получавате 1“, обяснява Блум. „Намирате може би 1/3, но ако направите това три пъти по три различни начина, просто ги добавяте един към друг и ще получите 1.”

Докато наборът съдържа малко, но достатъчно голям участък от числовата ос - без значение как изглежда този отрязък - е невъзможно да не се  намерят тези акуратни суми от единични дроби.

С новото си доказателство Блум решава задача с корени чак в Древен Египет – но това е краят на проблема за множествата и сумите.

Това оставя на математиците и нов въпрос за решаване, този път за множества, в които не е възможно да се намери сбор от единични дроби, равен на 1. Простите числа са един такъв пример - няма подмножество от прости числа, чиито реципрочни числа дават сбор 1 - но това свойство може да важи и за други безкрайни множества, които са „по-големи“, в смисъл, че сумата от техните реципрочни числа се доближава до безкрайността дори по-бързо, отколкото реципрочните числа на простите числа. Колко бързо могат да нараснат тези суми, преди скритата структура да се появи отново и някои от техните реципрочни стойности неизбежно да съставят 1?

„Предположението на Ердош-Грам беше много естествен въпрос, но не е пълният отговор“, коментира Георгис Петридис (Giorgis Petridis) от Университета на Джорджия пред Quanta.

Справка: On a density conjecture about unit fractions
Thomas F. Bloom, 
https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.03726

Източници:

Math’s ‘Oldest Problem Ever’ Gets a New Answer, Quanta magazine

Math Problem 3,500 Years In The Making Finally Gets A Solution, IFLScience

Още по темата

07/09/2020

Математика

Реална ли е математиката? Дали древните са възприемали математиката като нас?

16/09/2019

Математика

Този храст представя математическа хипотеза, недоказана 82 години. Сега е почти решена

28/03/2019

Математика

Как може да се получи 33 от три куба (видео)

08/08/2016

Математика

Българинът, който се зае да провери доказателството на abc-хипотезата