Геометрични фрактали

Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани, т.е. определени фрактали. Наричат ги още линейни или класически фрактали, защото математиците са стигнали първо до тях.

ПРОЧЕТЕТЕ ПРЕДИ ТОВА:

Фракталите. Въведение

Самоподобие

Скритите измерения на фракталната размерност

Итерации

Рекурсия

Тези фрактали са лесни за построяване и буквално всеки може да начертае такъв фрактал върху кариран лист. Тези фрактали се образуват с итерации, за които по-подробно е обяснено тук.

В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена основа (генератор). За всяка стъпка от алгоритъма (т.е. за всяка итерация) всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометричния фрактал.

Да разгледане някои по-известни геометрични фрактали:

Снежинка (крива) на Кох

Ако k=BD/AB=1 се получава крива на Кох вариант 1. Ако BD=0 (k=0) се получава кривата на Цезаро (вар.2), а при k=0.2 - вар.3

Вече споменаваната крива на Кох е един от най-типичните детерминирани фрактали. Изучен от шведския математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох през 1904г. Генераторът на фрактала е равностранен триъгълник, страните на който са равни н 1/3 от дължината на голямата отсечка.

Всеки линия, която е ___ се заменя с 4 линии, всяка с дължина от 1/3 от оригинала _/\_. С всяка итерация дължината на кривата се увеличава с 1/3 от дължината на отсечката от предишния етап.

Крива на Кох (вар.1) 1 2 3 4

Манделброт много е експериментирал с кривите на Кох, и получил такива фигури като Островите на Кох, Кръстовете на Кох, Снежинките на Кох и даже тримерни конструкции на кривата на Кох, използвайки тетраедър и прибавяйки по-малки по размер тетраедри към всяка от стените му. Кривата на Кох има размерност ln4/ln3 = 1.261859507.

Крива на Кох (вар.2)-Cesaro 1905) 1 2 3 4 5

Крива на Кох (вар.3) 1 2 3 4

Накрая - самата снежинка на Кох:

1	2	3	4	5	6

Ако направим безкраен брой итерации, ще получим фрактал - снежинка на Кох с безкрайна дължина. Оказва се, обаче, че тази безкрайна крива огражда ограничена площ.

Драконът от книгата "Юрски парк" на Майкъл Крайтън, (Хартер-Хейтуей)

Най-известният "литературен" фрактал. Откровенията на Малкълм в тази книга ми дадоха първия тласък да се занимавам с фракталите. Може да се получи много лесно като последователно се сгъва на две лист хартия и се разтваря докато ъгъла стане 90^о.

Още за "дракона" на Хартер-Хейтуел може да се прочете в темата за IFS

Начупената драконова линия принадлежи е към класа на самоподобните рекурсивно генерирани геометрични структури. Основата е просто прав ъгъл. Фигурата се изгражда за всеки етап от рекурсивни замествания на всяка една от отсечките на фигурата от предишния етап с генератора във формата на прав ъгъл.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Решетката на Серпински

Този знаменит фрактал е наречен на името на откривателя си - полския математик Вацлав Серпински, който го е описал 1915г. Манделброт го прави известен под името "въжето на Серпински" (Sierpinski gasket). Принципът на изграждането му е прост: всеки елемент се заменя с n брой подобни на него елементи. Според размерността си могат да бъдат:

едномерни или гребен на Кантор - описан от Георг Кантор, един от основателите на теорията на множествата, още през 1883. Образува се на основата на премахвания на средната третина на отсечката – повторението на подобната операция до безкрайност води до образуването на т.н. канторовски прашинки, сумата от дължините на които е равна на 0. Фракталната размерност му е ln2/ln3 = 0.63

двумерни

Най-известни са триъгълника и четириъгълника (килима) на Серпински (Sierpinski carpet).

Триъгълник на Серпински Атракторът е: 3 нови подобни фигури, разположени симетрично на 1/2 от страните. Размерност: ln3/ln2 = 1.585

1 2 3 4 5 6

Четириъгълник (килим) на Серпински(Sierpinski carpet) Атракторът е: 8 нови подобни фигури, по 3 на страна и по един на върховете. Размерност: 3ln2/ln3 ~ 1.9 Диагоналите на "килима" представляват множества на Кантор

1 2 3 4 5

Крива на триъгълника на Серпински (arrowhead curves) Една крива, която след няколко итерации клони към фрактала Триъгълник на Серпински.

1 2 3 4 5 6 7 8

Триъгълник на Серпински със завъртане

Ако след след всяка итерация генераторът се завърта с определен ъгъл. например 1. в левия долен ъгъл по посока, обратно на часовата стрелка

2. в левия долен ъгъл, обратно на часовата стрелка, а десния долен ъгъл - по часовата стрелка едновременно с един и същ ъгъл

Триизмерни Най-известен в триизмерен вид е "килима" на Серпински, известен още като " на Серпински-Менгер (Карл Менгер 1902 - 1985 -амер. математик). Атракторът е: 20 нови подобни тела, центрирани по 3 към всеки ръб. Размерност: ln20/ln3 ~ 2.7. Наподобява костна структура. След безброй итерации ще се превърне в "прах" на Кантор, както впрочем и нашите кости.

и още един един вариант на тетраедър по Серпински:

1 2 3 4 5 6

Алгебрични фрактали

Това е другата основна група фрактали. Наричат се алгебрични, защото те са изградени на базата на алгебрични формули. За геометричните фрактали не са нужни формули или уравнения, затова всеки може да начертае решетката на Серпински до 3 или 4 итерация без никакви затруднения, но да се направи това, например, с множеството на Жулиа е толкова невъзможно колкото да се измери дължината на бреговата линия на Англия.

Алгебричните фрактали изглеждат безкрайно сложни в сравнение с геометричните, но могат да бъдат генерирани с много проста формула. Има няколко начина за получаване на алгебрични фрактали.

Първият метод е на базата на многократно итерационно пресмятане на функцията:

z_n+1= f(z_n), където z е комплексно число, а f е някаква функция.

Изчисляването на тази функция продължава докато не бъдат изпълнени определени условия и когато това условие се изпълни, на екрана се появява точка. Функцията може да има различно поведение:за различни точки в комплексната равнина.

Построяването на алгебричните фрактали е свързано с комплексните числа, за тях и по-известните фрактали ще прочетете в отделна тема.

Стохастични (случайни) фрактали

Природните явления не протичат в стерилна, изолирана среда, а в комплексни условия, съчетание от множество преплетени случайни влияния от външни фактори, затова в природата фракталите не изглеждат така изчистени както илюстрациите досега. За моделирането им се използват стохастични (случайни) фрактали.

Стохастичен фрактал е траекторията на Брауново движение. Такива фрактали са рандомизирани, т.е. при построяването им, за всяка рекурсивна стъпка да се въвеждат случайни величини.

Фракталът "плазма" от компютърната графика е типичен представител на стохастичен фрактал.

За построяването му да вземем правоъгълник и за всеки негов ъгъл да определим цвят. Намираме централната точка на правоъгълника и я оцветяваме в цвят равен на средно аритметичното от цветовете по ъглите на правоъгълника плюс някакво случайно число. Колкото е по-голямо случайното число - толкова по-"накъсана" ще бъде картинката. И сега, ако речем, че цветът определя надморска височина - ще получим вместо плазма - планински масив. Именно на този принцип се моделира релеф от повечето програми.

Продължение:

Системи Итеративни Функции (Iterated Functions System - IFS)

Алгебрични (динамични, нелинейни) фрактали

Основни понятия и лексика

• Фрактали
  • Геометрични фрактали
  • итерации
  • основа (генератор)
  • снежинка на Кох
  • крива на Кох
  • крива на Cesaro
  • дракон на Хартер-Хейтуел
  • гребен на Кантор
  • триъгълник на Серпински
  • четириъгълник (килим) на Серпински
  • крива на триъгълника на Серпински
  • едномерни
  • двумерни
  • триизмерни
  • Алгебрични фрактали
    • комплексно число
  • Стохастични (случайни) фрактали
  • рандомизация
  • фракталът "плазма"
• Нилс Фабиан Хелге фон Кох
• Вацлав Франциск Серпински
• Беноа Манделброт

Източници:

Фрактальная геометрия природы, Мандельброт Б.

Fractal Geometry, Yale University, Michael Frame, Benoit Mandelbrot (1924-2010), and Nial Neger

Введение во фракталы, Шабаршин А.А.

Геометрические фракталы, Евгений Епифанов