15 ноември 2019
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Видове симетрия

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 15 март 2015 в 10:19141490

Група на симетрия е съвкупността от всички ортогонални преобразования, при които някаква фигура ( тяло) съвпада сама със себе си. Тези трансформации се наричат симетрия. Елементи на симетрията са: център на симетрияравнина на симетрия; ос на симетрия.

Видове симетрия

Симетрията спрямо равнина (огледална, двустранна, билатерална  симетрия)

огледална симетрия огледална симетрия огледална симетрия

Две точки А и А' са симетрични по отношение на равнината M, ако са разположени на една права, перпендикулярна на M, на едно и също разстояние от нея. Фигури и тела са симетрични спрямо равнината M, ако за всяка точка от тялото, съществува симетрична спрямо равнината друга точка от тялото. Ако се въведе в декартова ос координата Z, перпендикулярна на равнината на симетрия M (XY), всяка характеристика на системата ще се поддържа при промяна на знака на координатите F(x,y,z) = F(x,y,-z). Бележи се най-често с М.

Осева симетрия (ротационно-цилиндрична)

огледална симетрияСнимка: Marine Ecology at Central Missouri State University in Jamaica огледална симетрия

Тялото има ос на симетрия n-ти ред Оn, ако при въртене около тази ос, тялото n пъти  съвпада със себе си, а завъртанията са 360°/n. Самата операция на симетрия се бележи със Cn , където n e порядъкът на симетрия. Ако едно тяло съвпада само със себе си, когато се завърта на какъвто и да е ъгъл, такова тяло се нарича осевосиметрично, а правата, около която се извършва завъртането на произволен ъгъл се нарича ос на симетрия.

В този случай оста на симетрия може да се разглежда като ос на симетрия от безкраен ред O и се превръща в пределна група. Най-простата пространствена фигура, която има ос на симетрия от безкраен ред O, е цилиндърът, затова този тип симетрия се нарича още цилиндрична симетрия.

Симетрия инверсия

Един не толкова познат вид симетрия. Всяка точка се проектира през началото на координатната система, спрямо центъра на симетрията, инверсия в диаметрално противоположна позиция. Всички координати променят знака си: F(x,y,z) = F(-x,-y,-z). Обозначава се с I.
Роторефлекторна симетрия

Роторефлекторна симетрия

Роторефлекторната симетрия е комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, в съчетание с отражение спрямо равнина, перпендикулярна на тази ос. На илюстрацията вдясно гиричката съчетава осева симетрия от 6-ти порядък и огледална симетрия. Според възприетите означения се бележи като S6. Кубът и октаедърът имат роторефлекторна симетрия S4.
Роторефлекторна симетрия

Диедрална симетрия

Диедралната симетрия е също комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, а през всеки лъч минава равнина на отражение. Такава симетрия имат правилните многоъгълници и "звезди". Морските звезди имат диедрална симетрия, защото всеки лъч им е сам по себе си двустранносиметричен, снежинките са също с диедрална симетрия.

снежинки снежинки снежинки снежинки

Снимките са от сайта: SnowCrystals.com

Снежинките, общо взето, имат симетрия от 6-ти порядък като всяка ос от осевата симетрия представлява и ос на огледална симетрия за всеки лъч. Прието е да се бележи с Dn (а понякога и Dih n ) за правилен многоъгълник с n страни Но по какъв начин всеки от 6-те лъча на снежинката "знае" колко и с какви форми са порастнали другите лъчи? Физикът от НАСА Самуел Толански (Samuel Tolansky) изказва предположението,  че падащите снежинки, които преминават през студения въздух и улавят водната пара, вибрират според симетрията на кристалната си структура и тези вибрации определят как и с какви форми ще расте кристалът.

Ротационна симетрия на Платоновите тела

Тетраедър симетрияСхема: websters-online-dictionary.org  Тетраедърът има 4 оси от трети порядък, минаващи през всеки връх и средата на срещуположната страна, а също и 3 оси от втори порядък през средата на всяка двойка перпендикулярни противоположни ръбове

Сравнителна таблица на осите на симетрия на Платоновите тела

Оси порядък: Тела:2345
Тетраедър през средата на всяка двойка перпендикулярни на противоположни ръбове минават през всеки връх и средата на срещуположната страна
Куб перпендикулярни на всеки набор от противоположни ръбове по всеки вътрешен диагонал (през противоположни върхове) перпендикулярни на всяка двойка срещуположни квадратни стени
Октаедър перпендикулярни на двойка противоположни ръбове перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени минават през противоположни върхове
Додекаедър перпендикулярни на двойка противоположни ръбове минават през двойка противоположни върхове перпендикулярни на всяка двойка петоъгълни стени
Икосаедър перпендикулярни на двойка противоположни ръбове перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени минават през противоположни върхове

Платоновите тела -  симетрияСхеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia  

Сферична (центра́лна) симетрия

Централна симетрия по отношение на точка О е трансформация в пространството, при която точка X се проектира като точка Х', така че т.О да е в средата на отсечката XX'. Точка О се нарича център на симетрия. В едномерното пространство (права), централната симетрия е равносилна на огледалната симетрия. В двумерното пространство е равносилна на завъртане на 180° около центъра на симетрия.
central symmetry

В 4-мерното пространство централната симетрия може да се представи като композиция от две завъртания на 180° около две взаимно перпендикулярни равнини, перпендикулярни в 4-мерен смисъл, естествено.

central symmetry

Централната симетрия може да се представи в n-мерното пространство като композиция  от n последователни отражения относно взаимно перпендикулярни хиперравнини, минаващи през центъра на симетрия.

Под хиперравнина се разбира такова подпространствено измерение, което е с единица по-малко от околното пространство. Например, в двумерното пространство хиперравнината представлява линия, а в триизмерното - равнина и др.

В четномерните пространства централната симетрия запазва ориентацията си, а в нечетномерните - не. Две последователни преобразувания с централна симетрия са равносилни на транслация central symmetry

central symmetryСхеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia

Всички Платонови тела, с изключение на тетраедърът имат централна симетрия.

Симетрия на сферата

Сферата има и централна, и огледална и ротационна симетрия. Центърът на симетрия е в центъра на сферата, равнината на огледална симетрия е всяка равнина, минаваща през центъра, ос на симетрия - всяка права, минаваща през центъра. Moже да се разглежда като една непрекъсната осева симетрия. Не случайно, древните гърци са смятали кълбото за най-съвършената форма. Описва се от група SO(3).

Локалната централна симетрия на пространството или средата се нарича изотропия. Всяка характеристика на система, имаща сферична симетрия, зависи само от разстоянието й до центъра. По същият начин силата на гравитационно привличане между точкови тела зависи само от разстоянието между телата, затова се казва, че тази сила е сферично симетрична.

Транслационна (периодична) симетрия

Транслационна (периодична) симетрияГравюра "Осем глави", M.C.Esher

При този тип симетрия обектите остават неизменни при дискретни или непрекъснати транслации

Елементите от системата се повтарят по строго определени отмествания. Безкрайна равнина се покрива фигури с транслационна симетрия от начална позиция по формулата:

Транслационна (периодична) симетрия, където kx, ky е кое да е цяло число

Атомната структура на кристалите има транслационна симетрия.

Тя се описва като сбор от повтарящи се в пространството еднакви елементарни клетки, с формата на паралелепипед с ръбове ax, ay, az (периоди на кристалните решетки)

Атомната структура на кристалите

Транслационната симетрия е в основата на мозайките, за които ще има отделна тема. Ако се вгледаме в прочутите мозайки на Ешер ще забележим и транслационната симетрия (тя е в самото определение на патерна, мозайката) и комбинации от всички други симетрии:

Ешер симетрияЕшер симетрияЕшер симетрия
  • Транслационна
  • Огледална
  • Транслационна
  • Транслационна&цветна ротация
  • Ротация(3-ти порядък)
  • Ротация(3-ти порядък)&цветна ротация
  • Ротация(6-ти порядък)&цветна ротация
  • Транслационна тридименсионална симетрия
  • Ротационна & огледална симетрия на куб (октаедър)

Илюстрации: MC Escher

Има и други видове симетрии, които са комбинации от изброените досега като спираловидната (хеликоидална, винтова) симетрия и др.

Източници:

П.Пенчев, Симетрия на молекулите. Част 1., Списание "Коснос", брой 2, 2006 г., kosnos.com
Формы и симметрия Физика 10/6.10, Законы сохранения в механике
Заметки о симметрии, Слободянюк А.И.
Симметрия
Маркъс дю Сотой: Симетрията, загадката на реалността
Повороты в пространстве-времени
The art of M.C. Escher symmetry and physics


Препоръчани материали

Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Математика
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.