Ирационалните числа

Както се подразбира от името, ирационалните числа не са рационални и не защото са нещо "неразумно", а защото не могат да бъдат записани като съотношение, като обикновена дроб. 

Ирационалните числа са реални числа.

Примери:

1.5 =3/2 , 0.6666...7=2/3 , 7=7/1 са рационални числа, а π=3.14159... е ирационално число.

Още за ирационалните числа

Някои числа не могат да бъдат записани като съотношение на две числа:

π=3.1415926535897932384626433832795 (и още до безкрай)

Няма начин π да се запише точно като съотношение на две числа. 

Популярното приближение ²² / ₇ = 3,1428571428571 ... е близко, но не точно.

Друг белег е, че при ирационалните числа, цифрите след десетичната точка продължават безкрайно без да се повтарят или да показват някаква периодичност.

Известни ирационални числа

Гръцка математическа трагедия

До понятието ирационални числа интуитивно са стигнали още индийскийските математици от VII век, пр.н.е. Например Манава (ок. 750 г. пр. н. е. — ок. 690 г. пр. н. е.) установил, че корен квадратен от някои положителни числа, като 2 и 61, не може да бъде точно изчислен.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа се приписва Хипас (Хипазос) (ок. 500 г. пр.н.е.) от Метапонт, ученик на Питагор. Питагорейците вярвали, че има единна единица за дължина достатъчно малка и неделима, която цяло число пъти се нанася на всяка отсечка. Хипас доказал, че няма такава единна единица за дължина, защото съществуването й води до противоречие: ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число единични отсечки, то това число трябва да е едновременно и четно, и нечетно. Доказателството на Хипас:

1. отношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник, може да бъде изразено като a:b, където a и b  са избрани възможно най-малки.
2. По теоремата на Питагор имаме: a² = 2b².
3. Тъй като a² е четно, a то трябва да е четно (квадратът на нечетно число е нечетно число).
4. По условие дробта a:b не може да се съкрати, в такъв случай b трябва да бъде нечетно.
5. Тъй като a е четно, може да го означим с a = 2y.
6. Тогава a² = 4y² = 2b².
7. b² = 2y², следователно b² е четное, т.е. b е четно.
8. Но в т.4 беше доказано, че b е нечетно.
9. Това е противоречие.

Гръцките математици нарркли ​​това съотношение на несъизмерими величини Alogos (неописуем), но никак не били доволни от Хипас и не му отдали дължимото уважение. Според легендата, че Хипас направил откритието си по време на морски поход и бил изхвърлен зад борда от другите питагорейци. Обвинението било "за създаване на елемент на вселената, който отрича учението, че всички структури във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните отношения". Откритието на Хипас изправило питагорейците пред сериозен проблем, унищожавайки лежащото в основата на цялата им теория предположение, че цифрите и геометричните обекти са единни и неразделими.

Основни понятия и лексика

• Ирационални числа
• π
•  e число на Ойлер, Неперово число, основа на естествените логаритми
• Златното сечение е ирационално число.
• квадратни, кубични и др. корени
• Питагор
• Хипас (Хипазос) (ок. 500 г. пр.н.е.) от Метапонт

Източници:

Famous Irrational Numbers

Иррациональное число

Още по темата

21/01/2015

Математика

Системи Итеративни Функции (Iterated Functions System - IFS)

27/12/2014

Математика

Алгебрични (динамични, нелинейни) фрактали