Една от основните формули в Евклидовата геометрия е формулата за разстояние между две точки: S12=(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 , която е инвариантна при произволно въртене и преместване на координатната система. Аналогът й при Лоренцовите трансформации е S12= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 + (u2 - u1 )2, където u2 = i.c.t2 и u1 = i.c.1 , където i2=-1. Тази величина е своеобразно разстояние между две точки в пространството и времето е също инвариантна за Лоренцовите трансформации. Времето тук се представя по същия начин като пространството. Първият, който предлага времето като равноправна координата е един от преподавателят на Айнщайн в Техническия университет в Цюрих, Херман Минковски. През 1908 г. изнася лекция за теорията за относителността с думите:
"Отсега нататък пространството само по себе си и времето само по себе си са обречени да угаснат като сенки и само своеобразното обединение на двете ще запази независима реалност"
Ако на всяка точка приписваме освен трите пространствени координати x , y , z и времето t , умножено по i.c , то получаваме формално точка в четиримерното пространство (пространство на Минковски), в което точките имат вече четири координати: x , y , z , i.c.t или x , y , z , u. Всяка такава "точка" може да се нарече събитие. Интервалът между две събития в четиримерното пространство е инвариантен при преход от една инерциална система в друга.
Пространствено-временни интервали между събитията
Имагинерни интервали
Нека разгледаме две събития с координати x1 , y1 , z1 , u1 и x2 , y2 , z2 , u2 в системата K. Първото събитие е да речем изстрел с оръдие в точка с координати в момент , а второто - падането на снаряда в точка и момент . Тогава за интервала между тези две събития можем да напишем: S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 + (u2 - u1 )2 , или S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - c2(t2 - t1 )2, понеже c2.t2 = x2 + y2 + z2 (по формулата за сфера - (сфера с диаметър разстоянието, което би изминал светлинен лъч за време t ), то x2 + y2 + z2 - c2.t2 = 0 , т.е. за светлинен лъч имаме:
S122светлинен лъч= 0
Да, но както конкретното (изстрел с оръдие), така и повечето събития не стават със скоростта на светлината, тогава S122 ≠ 0 и защото c2(t2 - t1 )2 е много по-голямо от пространственото разстояние между оръдието и попадението: (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2, то тогава
S122 < 0 ., т.е. четиримерното разстояние между двете събития е имагинерна величина.
Ако разгледаме двете събития - изстрела с оръдие и падането на снаряда - спрямо другата инерциална система K' аналогично можем да запишем:
S'122= (x'2 - x'1 )2 + (y'2 - y'1 )2 + (z'2 - z'1 )2 + (u'2 - u'1 )2 , или
S'122= (x'2 - x'1 )2 + (y'2 - y'1 )2 + (z'2 - z'1 )2 - c2(t'2 - t'1 )2,
ако заместим с x'1 , x'2 ... местата на x1 , x2 ... с помощта на лоренцовите трансформации. Тогава има място равенството:
S'122=S122 или S'12=S12.
Това означава, че четиримерното разстояние между две произволни събития е инвариантна величина , неизменна при преход от K към K'. Между две събития от рода на изстрел от оръдие и попадението му, раждане на човека и неговата смърт, т.е. две събития, свързани с причинно- следствена връзка, четиримерното разстоение във всяка координатна система е имагинерна величина: S122 < 0 .
Реални интервали
Възможно ли е това "разстояние" да е реална величина, S122 > 0 ? Да! Да си представим, че на Слънцето в момент t1 се появява петно с координати x1 , y1 , z1. В момент t2 астроном насочва телескопа си към Слънцето в обсерватория с координати: x2 , y2 , z2. Координатите и времето са измерени в една отправна система, да речем Земята. За да достигне светлинен лъч от Слънцето до Земята са необходими 500сек.. Ако t2 - t1 < 500сек., то действието на астронома не може да се смята като следствие от появата на петното, защото когато е насочил телескопа си в момент t2, светлината от петното още не е достигнала Земята.
Ако въведем разстоянието от Слънцето до Земята имаме:
d122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2=(150 000 000km)2
и ако c2(t2 - t1 )2< (150 000 000km)2, то S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - c2(t2 - t1 )2 > 0 , т.е. S122 > 0 , а S12 си е реална величина, а такива може да са много събития, подобни на описаното.
От написаното до тук се вижда колко важна е скоростта на светлината - тя решава кое е следствие и кое - не. И това е така, защото тя е пределната скорост и на взаимодействията, т.е да се извърши някакво изменение, т.е. да се причини някакво следствие. Затова и постигането на скорости над светлинната означава разрушаване на причинно-следствената връзка.
Графично представяне
Лоренцовите трансформации могат да бъдат изобразени графично в пространствено-времева диаграма на Минковски. Макар и четиримерно пространството на Минковски може да се представи и двумерно като на хоризонталната ос се отложат пространствените разстояния, а по вертикалата - времевите интервали. Ако построим правите: d = +cT и d = -cT, всички събития, лежащи върху тези прави са от граничния случай. Тези прави образуват т.н. "светлинен конус"
. Приемаме събитие I за начално в т.0. За събитие II, което лежи вътре в горния конус ТII >0 (t2 < t1), което означава, че събитие II се случва след събитие I. Горната фуния на светлинния конус a0b' е зоната на абсолютното бъдеще. В долния "светлинен конус" се намира събитие III, за което ТIII <0 , тоест t2 < t1, което означава, че събитие III се е случило преди събитие I. Долният "светлинен конус" a'0b е зоната на абсолютното минало.
За всеки две събития трябва да се съставя светлинен конус като едно от тях приемаме за начално и поставяме на върха на конуса.
Обозначените с I, II и III точки, съответстващи на някакви събития , се наричат световни точки.
Последователността от събития, ставащи с една частица на диаграмата на Минковски се съпоставя с непрекъсната линия, наречена световна линия на частицата. Правата I-II е световна линия на равномерно движеща се частица със скорост dII/(cTII). Ако точката се движеше с неравномерна скорост щеше да има криволинейна световна линия. Световната линия на неподвижна частица би имала уравнение d = 0, тоест тя ще съвпада с времевата ос. Съвкупността от точки върху пространствената ос d изобразява всички едновременни събития в пространството
Три групи събития
И така, в зависимост от пространственото разстояние 
и времевото разстояние T = t2 - t1 , съществуват три групи събития:
-
Причинно-следствено обусловени
За да бъде едно събитие причина на друго, трябва да са изпълнени неравенствата:
d2< c2T2 (d< cT), S122 < 0
-
Причинно-следствено необусловени
Две събития са независими едно от друго, ако:
d2 > c2T2 (d > cT), S122 > 0
-
Граничен случай - със скоростта на светлината
d2 = c2T2 (d = cT), S122 = 0
d = cT означава, че пространственото разстояние между две точки е равно на разстоянието, което би изминал светлинен лъч за времето между двете събития.
Времеподобни и пространственоподобни интервали
Ако разгледаме израза: S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - c2(t2 - t1 )2, в зависимост от това кой компонент преобладава в интервала между тези събития - времето c2(t2 - t1 )2 или пространството (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2, има разделение на интервалите на времеподобни и пространственоподобни.
-
Времеподобни
(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 < c2(t2 - t1 )2 ; S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - c2(t2 - t1 )2 < 0 ,
т.е. S122 < 0 , а S12 е имагинерна величина.
-
Пространственоподобни
(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 > c2(t2 - t1 )2 ; S122= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 - c2(t2 - t1 )2 > 0 ,
т.е. S122 > 0 , а S12 е реална величина.
-
Светлинноподобни
(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 = c2(t2 - t1 )2 ; S122=0 ,
Това е граничен случай за частици, движещи се със скоростта на светлината. Ако d=0, т.е. става въпрос за едно и също тяло, от това следва, че S12=ic(t2-t1) е чисто имагинерна величина и зависи само от времето.
Ако t2=t1 или събитията стават едновременно S12= d и имаме чисто пространственоподобен интервал. Но d е винаги реална, от там и S12 , следователно не може да имаме причинно-следствено обусловени събития. Изводът е, че две едновременни събития не може да са причинно-следствено обусловени в никоя координата система.
| На диаграмата вдясно са изобразени видовете събития. Поради особения начин, по който избираме осите на K и K' , y=y' и z=z' което означава че хоризонталната ос може да е (x2 - x1). |  |
Ляво и дясно са относителни, но причината винаги е преди следствието
Ако (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 = (y'2 - y'1 )2 + (z'2 - z'1 )2 следва, че ако S122=S'122 може да запишем (x2 - x1)2 - c2(t2 - t1)2 = (x'2 - x'1)2 - c2(t'2 - t'1)2.
Съгласно Лоренцовите трансформации:
Нека в системата K, (t2 - t1) >0 и (x2 - x1 )>0 от първата формула може да направим следните изводи:
- Ако (x2 - x1 )/(t2 - t1) > V , тогава (x'2 - x'1) >0, тоест и в K' двете събития имат подобно разположение
- Ако (x2 - x1 )/(t2 - t1) = V , то (x'2 - x'1) =0 или двете събития стават на едно и също място, тоест K' е свързана с тялото, движещо се със скорост V
- Ако (x2 - x1 )/(t2 - t1) < V , тогава (x'2 - x'1) <0. Сега първото събитие е отдясно, докато в K беше отляво, а второто е отляво, докато в K беше отдясно. В този случай ляво и дясно зависят от координатната система и са относителни.
Ако разгледаме при (t2 - t1) >0 и (x2 - x1 )>0 изводите са:
- Ако (t2 - t1) > V2/c2(x2 - x1 ), то винаги (t'2 - t'1) >0, тоест и в K' първото събитие си остава първо
- Ако (t2 - t1) = V2/c2(x2 - x1 ), тогава (t'2 - t'1) =0 или в K' двете събития стават едновременно. За да е изпълнено обаче трябва (x2 - x1)/(t2 - t1).V=c2 , но V<c, (x2 - x1)/(t2 - t1)>c , т.е. x2 - x1> c(t2 - t1). Тъй като разглеждаме времеподобни интервали, за които (x2 - x1)2 - c2(t2 - t1)2< 0 , равенството t'2 = t'1 не се изпълнява.
- Ако (t2 - t1) < V2/c2(x2 - x1 ), то (t'2 - t'1) <0, тоест и в K' първото събитие остава второ. Тогава обаче трябва да е изпълнено (x2 - x1)/(t2 - t1)>c , което за времеподобни интервали не е в сила
Какво следва: Причинно-следствено обусловените събития, разделени от времеподобен интервал си остават причинно-следствени зая всяка координатна система - t2 > t1 се запазва винаги. Обаче (x2 - x1 )>0 не винаги се запазва и понятията ляво и дясно са относителни.
Особености на диаграмата на Минковски. Равните интервали
Трябва да ви обърна внимание, че геометрията на пространство-времето на Минковски не е евклидова. и много наши геометрични представи тук не важат.
Едно от нещата, което прави впечатление е фактът, че квадрата на интервала може да бъде както положителен, така и отрицателен. В зависимост от това, интервалите се разделят на пространственоподобни и времеподобни. Освен това, за всяка точка има безкраен брой точки, разстоянието до които е нула. Ако вземем, например, две точки с координати (0, 0) и (1, 1) и изчислим разстоянието между тях, получаваме 0.
|
На диаграмата вдясно, в зелено са показани времеподобни интервали, в червено - пространственоподобни, черният диагонал под 45 градуса е линията на "светлинния конус". Тъй като интервалът се изчислява по необичаен начин, могат да бъдат равни отсечки, които на пръв поглед не са равни. На диаграмата, зелените отсечки са равни помежду си: за "късата" S2=32-02=9, за "дългата" S2=52-42=9. Червените също са равни една на друга и S2=-9. |
 Илюстрация: michurin.net |
Източници:
Теория на Айнщайн, Дочо Г. Факиров, София, 1961г, ДИ "Народна просвета"
Четырехмерный мир Минковского, Герман А. Розман
How do light cones limit time travel?
Vector product homes for the imaginary..., University of Missouri
Пространство и время, Г. Минковский
Релятивистские представления в курсе общей физики, Е.И.Бутиков
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари