Видове симетрия

Ваня Милева Последна промяна на 15 март 2015 в 10:19 123546 0

Вселената ще умре 7 пъти, преди маймуна с клавиатура да напише "Хамлет", показва проучване

Посланието "Знак в космоса" най-накрая е разкодирано.

30/10/2024

Този "извънземен сигнал", изпратен от орбиталния апарат ExoMars миналата година, току-що е декодиран

Група на симетрия е съвкупността от всички ортогонални преобразования, при които някаква фигура ( тяло) съвпада сама със себе си. Тези трансформации се наричат симетрия. Елементи на симетрията са: център на симетрия; равнина на симетрия; ос на симетрия.

Видове симетрия

Симетрията спрямо равнина (огледална, двустранна, билатерална симетрия)

Две точки А и А' са симетрични по отношение на равнината M, ако са разположени на една права, перпендикулярна на M, на едно и също разстояние от нея. Фигури и тела са симетрични спрямо равнината M, ако за всяка точка от тялото, съществува симетрична спрямо равнината друга точка от тялото. Ако се въведе в декартова ос координата Z, перпендикулярна на равнината на симетрия M (XY), всяка характеристика на системата ще се поддържа при промяна на знака на координатите F(x,y,z) = F(x,y,-z). Бележи се най-често с М.

Осева симетрия (ротационно-цилиндрична)

Снимка: Marine Ecology at Central Missouri State University in Jamaica

Тялото има ос на симетрия n-ти ред О_n, ако при въртене около тази ос, тялото n пъти съвпада със себе си, а завъртанията са 360°/n. Самата операция на симетрия се бележи със C_n , където n e порядъкът на симетрия. Ако едно тяло съвпада само със себе си, когато се завърта на какъвто и да е ъгъл, такова тяло се нарича осевосиметрично, а правата, около която се извършва завъртането на произволен ъгъл се нарича ос на симетрия.

В този случай оста на симетрия може да се разглежда като ос на симетрия от безкраен ред O_∞ и се превръща в пределна група. Най-простата пространствена фигура, която има ос на симетрия от безкраен ред O_∞, е цилиндърът, затова този тип симетрия се нарича още цилиндрична симетрия.

Симетрия инверсия

Един не толкова познат вид симетрия. Всяка точка се проектира през началото на координатната система, спрямо центъра на симетрията, инверсия в диаметрално противоположна позиция. Всички координати променят знака си: F(x,y,z) = F(-x,-y,-z). Обозначава се с I.

Роторефлекторна симетрия

Роторефлекторната симетрия е комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, в съчетание с отражение спрямо равнина, перпендикулярна на тази ос. На илюстрацията вдясно гиричката съчетава осева симетрия от 6-ти порядък и огледална симетрия. Според възприетите означения се бележи като S₆. Кубът и октаедърът имат роторефлекторна симетрия S₄.

Диедрална симетрия

Диедралната симетрия е също комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, а през всеки лъч минава равнина на отражение. Такава симетрия имат правилните многоъгълници и "звезди". Морските звезди имат диедрална симетрия, защото всеки лъч им е сам по себе си двустранносиметричен, снежинките са също с диедрална симетрия.

Снимките са от сайта: SnowCrystals.com

Снежинките, общо взето, имат симетрия от 6-ти порядък като всяка ос от осевата симетрия представлява и ос на огледална симетрия за всеки лъч. Прието е да се бележи с D_n (а понякога и Dih _n ) за правилен многоъгълник с n страни Но по какъв начин всеки от 6-те лъча на снежинката "знае" колко и с какви форми са порастнали другите лъчи? Физикът от НАСА Самуел Толански (Samuel Tolansky) изказва предположението, че падащите снежинки, които преминават през студения въздух и улавят водната пара, вибрират според симетрията на кристалната си структура и тези вибрации определят как и с какви форми ще расте кристалът.

Ротационна симетрия на Платоновите тела

Схема: websters-online-dictionary.org

Тетраедърът има 4 оси от трети порядък, минаващи през всеки връх и средата на срещуположната страна, а също и 3 оси от втори порядък през средата на всяка двойка перпендикулярни противоположни ръбове

Сравнителна таблица на осите на симетрия на Платоновите тела

Оси порядък: Тела:	2	3	4	5
Тетраедър	през средата на всяка двойка перпендикулярни на противоположни ръбове	минават през всеки връх и средата на срещуположната страна
Куб	перпендикулярни на всеки набор от противоположни ръбове	по всеки вътрешен диагонал (през противоположни върхове)	перпендикулярни на всяка двойка срещуположни квадратни стени
Октаедър	перпендикулярни на двойка противоположни ръбове	перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени	минават през противоположни върхове
Додекаедър	перпендикулярни на двойка противоположни ръбове	минават през двойка противоположни върхове		перпендикулярни на всяка двойка петоъгълни стени
Икосаедър	перпендикулярни на двойка противоположни ръбове	перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени		минават през противоположни върхове

Схеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia

Сферична (центра́лна) симетрия

Централна симетрия по отношение на точка О е трансформация в пространството, при която точка X се проектира като точка Х', така че т.О да е в средата на отсечката XX'. Точка О се нарича център на симетрия. В едномерното пространство (права), централната симетрия е равносилна на огледалната симетрия. В двумерното пространство е равносилна на завъртане на 180° около центъра на симетрия.

В 4-мерното пространство централната симетрия може да се представи като композиция от две завъртания на 180° около две взаимно перпендикулярни равнини, перпендикулярни в 4-мерен смисъл, естествено.

Централната симетрия може да се представи в n-мерното пространство като композиция от n последователни отражения относно n взаимно перпендикулярни хиперравнини, минаващи през центъра на симетрия.

Под хиперравнина се разбира такова подпространствено измерение, което е с единица по-малко от околното пространство. Например, в двумерното пространство хиперравнината представлява линия, а в триизмерното - равнина и др.

В четномерните пространства централната симетрия запазва ориентацията си, а в нечетномерните - не. Две последователни преобразувания с централна симетрия са равносилни на транслация

Схеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia

Всички Платонови тела, с изключение на тетраедърът имат централна симетрия.

Симетрия на сферата

Сферата има и централна, и огледална и ротационна симетрия. Центърът на симетрия е в центъра на сферата, равнината на огледална симетрия е всяка равнина, минаваща през центъра, ос на симетрия - всяка права, минаваща през центъра. Moже да се разглежда като една непрекъсната осева симетрия. Не случайно, древните гърци са смятали кълбото за най-съвършената форма. Описва се от група SO(3).

Локалната централна симетрия на пространството или средата се нарича изотропия. Всяка характеристика на система, имаща сферична симетрия, зависи само от разстоянието й до центъра. По същият начин силата на гравитационно привличане между точкови тела зависи само от разстоянието между телата, затова се казва, че тази сила е сферично симетрична.

Транслационна (периодична) симетрия

Гравюра "Осем глави", M.C.Esher

При този тип симетрия обектите остават неизменни при дискретни или непрекъснати транслации.

Елементите от системата се повтарят по строго определени отмествания. Безкрайна равнина се покрива фигури с транслационна симетрия от начална позиция по формулата:

$Транслационна (периодична) симетрия$ , където k_x, k_yе кое да е цяло число

Атомната структура на кристалите има транслационна симетрия.

Тя се описва като сбор от повтарящи се в пространството еднакви елементарни клетки, с формата на паралелепипед с ръбове a_x, a_y, a_z (периоди на кристалните решетки)

Транслационната симетрия е в основата на мозайките, за които ще има отделна тема. Ако се вгледаме в прочутите мозайки на Ешер ще забележим и транслационната симетрия (тя е в самото определение на патерна, мозайката) и комбинации от всички други симетрии:


Транслационна Огледална	Транслационна Транслационна&цветна ротация Ротация(3-ти порядък) Ротация(3-ти порядък)&цветна ротация Ротация(6-ти порядък)&цветна ротация	Транслационна тридименсионална симетрия Ротационна & огледална симетрия на куб (октаедър)