Математическият институт "Клей" в Кеймбридж дава награда от 1 милион долара за решението на коя да е от Задачите на хилядолетието (Millennium Prize Problems), които представляват седем математически проблема, определени като "важни класически задачи, решението на които не е намерено в течение на много години". От съставянето на списъка, само една от задачите - доказателството на хипотезата на Поанкаре, е успял някой да реши. Това стана неотдавна - 2002г. от руският математик Перелман, който при това отказва наградата, жест, приет твърде драматично от медиите.
Хипотезата
През 1904 г. Анри Поанкаре изказва една хипотеза, която е фундаментална за топологията. Според нея ако се пренебрегнат деформациите, пространството представлява тримерна сфера. Може да се прочете оригиналния текст тук. Тя гласи:
| Всяко едносвързано компактно тримерно многообразие без край е хомеоморфно на тримерна сфера |
За тримерната сфера вече писах, а тук ще се опитам да изясня останалите понятия, които са от областта на топологията.
Що е то топология?
Топология като клон на математиката е плод на въображението на ХХ век. Топологичните идеи са проникнали почти всички области на математиката, както и в съвременната физика и технология. Без топологични знания са невъзможен математическия анализ, решаването на сложни системи на диференциални уравнения (например описание на физическите полета или атмосферни явления) и дори проектирането на печатни платки.
Топологията е наука за непрекъснатостта. В математиката една функция се казва, че е непрекъсната, ако една малка промяна на аргумента, причинява само малка промяна в резултата. Ако това не е така, за функцията се казва, че е прекъсната.
На много места срещнах шегата, че тополозите са такива шемети, които не различават чаша за кафе от геврек - и двете са тела с една дупка. И наистина в топологията формата е без значение - обектите са все едно направени от фантастично еластичен материал, който можем да огъваме, разтегляме и мачкаме колкото си искаме, но без да ги чупим, разрушаваме или им правим дупки. В топологията има много други интересни неща като Мьобисовия лист, бутилката на Клайн, теорията на графите, за които може би в бъдеще ще посветя отделна статия.
Непознати и познати думи:
Някои са лесни, но други са почти невъзможни без да навлизаме дълбоко в тази дял от математиката. Но попаднах на една лекция на Владимир Успенски, която ми помогна изключително.
Да започнем с някои неща от първи клас.
...тримерно...
Размерността се определя от броя на числата, които определят положението на дадена точка.
| Размерност на пространството | Координати на точка А | Геометрично пространство |
|---|---|---|
| 1 едномерно (1D) | А(x) | линия |
| 2 двумерно (2D) | A(x,y) | равнина |
| 3 тримерно (3D) | A(x,y,z) | обем, пространство |
| 4 четиримерно (4D) | A(x,y,z,w) | четиримерно пространство |
Може всички да са наясно, но нека уточним още някои елементарни понятия: Разстоянията между две точки в евклидовото пространство се изчисляват по всеизвестната формула на Питагор:
| Размерност на пространството | Разстояние между т.A1(x1,y1) и т.A2(x2,y2) |
|---|---|
| 1 едномерно (1D) - права | |x1-x2| или √(x1-x2)2 |
| 2 двумерно (2D) - равнина | √((x1-x2)2+(y1-y2)2) |
| 3 тримерно пространство(3D) | √((x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2) |
| 4 четиримерно пространство (4D) | √((x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2+(w1-w2)2) |
Кръг (2D) наричаме плоската област, оградена от окръжност (1D), а сфера (2D) - обвивката на кълбо (3D). А с формули това изглежда така:
| пространство | обвивка | вътрешност (многообразие) | ||
|---|---|---|---|---|
| име | формула | име | формула | |
| двумерно | окръжност | x2+y2=R2 | кръг | x2+y2<R2 |
| тримерно | двумерна сфера | x2+y2+z2=R2 | тримерно кълбо | x2+y2+z2<R2 |
| четиримерно | тримерна сфера | x2+y2+z2+w2=R2 | 4-мерно кълбо | x2+y2+z2+w2<R2 |
...без край...
Вътрешна точка на геометричен обект е такава точка, когато не само тя принадлежи на обекта, а и всичките й съседните точки също принадлежат на обекта. А при една крайна точка не всички съседни точки принадлежат на обекта. Под край разбираме тези точки от обекта, които не са вътрешни, т.е такава точка, при която не всички нейни съседни точки принадлежат на обекта. Краят на кръга е окръжността, а на кълбото - сферата. Правата няма край.
...многообразие...
Многообразието е математическо понятие, обобщаващо за кое да е измерение понятията за линии, повърхности (а и пространства), не съдържащи особени точки (без точки на самопресечане, крайни точки и др.). За пример за едномерно многообразие може да служи правата, окръжността, елипсата и въобще всяка линия, чиито точки, заедно с околноста си от съседни точки са взаимно еднозначни и непрекъснати или, както казват в топологията, хомеоморфни на интервал Под интервал се разбира в топологията вътрешната част от отсечка, без крайните 2 точки. Ще кажете, ако махнем крайните 2, ще останат други 2 крайни, но случаят, ако се замислим не е такъв. Ако имаме отсечка с крайни точки 0 и 1, кои ще са крайните точки на интервала й? 0.5? 0.001? 0.00000001? За "съседството" в топологията не се определят разстояния, те може да са безкрайно малки. Аналогично пример за двумерно многообразие е кръг, на който сме махнали крайната окръжност, а за тримерно - кълбо, на което сме одрали външната сфера.
... хомеоморфно...
Ако един обект, независимо от каква размерност, плосък, тримерен или n-мерен, може чрез деформация (без разкъсване и слепване) да се превърне в друг, ние ги наричаме хомеоморфни. Хомеоморфни са например кълбото и куба. Но не бихме могли да направим от кълбото геврек, ако спазваме правилата на топологията.
| Ето прочутия пример с чашата за кафе и геврека: |
Интересни примери за хомеоморфия в едномерното пространство (линии) може да се намерят в буквите . А, Б, Д, Я, и Ю са хомеоморфни, друга група са Г, Е, Ж, З, И , а В и 8 са трета група взаимно хомеоморфни. Самото преобразование – непрекъснатата и обратима деформация се нарича хомеоморфизъм. С думата хомеоморфия наричаме явлението два обекта помежду си да са хомеоморфни.
... компактно...
Да вземем едно елементарно двумерно парче, подобно на кръпка, хомеоморфно на кръг. От такива кръпки можем да си съшием калъфка за възглавника. А ако я зашием тя ще бъде хомеоморфна на футболна топка, съшита от 32 кожени парчета. Та компактно двумерно многообразие е това, което може да съшием от краен брой "кръпки".
Компактността на многообразието се изразява в крайния брой на тези елементарни парчета, от които се състои същото това многообразие Сферата, повърхността на тора (геврека) може да се "съшият от краен брой кръпки", всички те са компактни двумерни многообразия без край. Кълбото има край, това е сферата, но сферата няма край Кръгът също има край - окръжността, но окръжността няма край. Окръжността също можем да разглеждаме като съставена от краен брой "парчета" и тя представлява компактно едномерно многообразие без край. Окръжността е единственото компактно едномерно многообразие без край. А в нашето тримерно пространство двумерните компактние многообразия без край са безбройни.
Освен сфера, повърхността на тора, това са всички други гладки крайни повърхности на тела с 2 и повече дупки като шайбата на старите телефони например. Но телата вътре в тях са крайни. А какво можем да наречем компактно тримерно многообразие? Всяко тяло, което може да съставим от краен брой "късчета", хомеоморфни на кълбо, направено от силно пластичен материал, както е в топологията. Такова компактно тримерно многообразие е и тора и рамките за очила, да речем. Всички те са компактни тримерни многообразия с край. Краищата им са повърхностите им. Както флатлендерите не могат да видят компактно двумерно многообразие без край, така и ние, в нашия тримерен свят не можем да видим компактно тримерно многообразие без край.
Не е изключено, самите ние да в свят, който да представлява компактно тримерно многообразие без край. Тримерната сфера от четвъртото измерение, за която говорихме в предишната публикация е компактно тримерно многообразие без край.
...едносвързано...
Едносвързано пространство е такова топологическо пространство, в което всеки затворен път може безпрепятствено да се свие на точка. Можем да си представим изключително еластичен затворен ластик, от тези, които слагат на връзките магданоз. За да имаме свойството "едносвързаност", ще трябва такъв ластик, където и да го поставим на повърхността на едно тяло, без да го отлепваме от нея, да може да се свие до точка. Една повърхност е k-свързана, ако върху нея може да се прекара k-1 затворена крива, която не я дели на две части. Сферата е едносвързана: винаги се разрязва на две; но повърхността на тора е двусвързана - можем да го разрежем напряко, ще се превърне в цилиндър, но ще запази целостта си (но при повторно разрязване вече ще се разпадне на 2 части).
 |
Това би могло лесно да стане върху сфера, което може да наблюдавате на тази анимация. Може да я задвижите с "play". | |
|
| Но върху тор това не става- "гуменият" пръстен никога не може да се събере в точка |  |
 |
А дали тяло със форма на пясъчен часовник е едносвързано? Може ли пръстенът на шийката да се свие на точка? Пуснете анимацията с "play" и ще видите отговора.. | |
| А какво представлява едносвързано тримерно тяло? В този случай гуменият пръстен може да се движи безпрепятствено както си иска вътре в тялото, но не може да излиза извън границите на тялото. Кълбото, естествено, е едносвързано. Ако има мехурче вътре, също ще бъде едносвързано, защото това мехурче лесно може да се заобиколи. | ||
|
Да се върнем към хипотезата на Поанкаре: Всяко едносвързано компактно тримерно многообразие без край е хомеоморфно на тримерна сфера. Да си припомним: едносвързано означава, че както и да разположим гуменият пръстен вътре в многообразието, той ще може да се свие до точка, а тримерно компактно означава, че многообразието се слепено от краен брой парчета-хомеоморфи на кълбо.
Ако понижим размерността, хипотезата на Поанкаре ще бъде: всяко едносвързано двумерно компактно многообразие без край е хомеоморфно на двумерна сфера. На това условие отговаря само повърхността на кълбото и това е било съвършено ясно и на самия Поанкаре още в края на 19-ти век.
Досега хипотезата е потвърдена за други размерности на пространството, като при всяко доказателство са използвани най-разнообразни методи. През 1982 година например, бе решена задачата за четиримерните пространства, но нито една от предложените стратегии не е валидна за тримерното пространство.
За тримерния случай доказателството 100 години е било огромен проблем, докато не е бил решен от скромният, но обявен за съвременният Айнщайн, математик Григорий Перелман.
Този факт има огромно значение за развитието на чистата математика. Използвал е диференциална геометрия, потока Ричи. Ценността на работата на Перелман е не само в доказването на хипотезата на Поанкаре, а и в новите методи за анализ. Освен това, уравненията от общата теория на относителността, които описват гравитацията и крупномащабната структура на Вселената са тясно свързани с уравнението на потока Ричи.
Крупномащабната геометрия на Вселената е фундаментален проблем на космологията, особено важни са пространствената й кривина и топология. Уравненията на Айнщайн за гравитационното поле определят само локалните свойства на пространство-времето, но и не глобалната структура на Вселената като цяло.
В исторически контекст великите теоретически открития в математиката по правило имат последствия, които ще наблюдаваме тепърва в бъдеще. Не е изключено, в изследванията на руския математик учените да намерят още много полезна информация не само за абстрактните тримерни многообразия, но и за пространството, в което живеем.
Основни понятия и лексика
- Хипотеза на Поанкаре "Всяко едносвързано компактно тримерно многообразие без край е хомеоморфно на тримерна сфера"
- без край
- едносвързано
- компактно
- тримерно
- многообразие
- хомеоморфно
- тримерна сфера
- Топология
- Поток Ричи
- Анри Поанкаре
- Григорий Перелман
Източници:
Занимателна математика“ на М.Гарднер
Формы пространства Visualizing the N-Sphere
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари