Пространствено-времеви трансформации и закони за запазване. Теорема на Ньотер.

Търсенето на симетрия и единство на законите на природата е основна насока на съвременната физика. Концепцията за симетрия в науката непрекъснато се развива, открива се цял един нов свят с неизвестни досега симетрии, впечатляващи със своята сложност и богатство - пространствени и вътрешни симетрии, глобални и локални. Свързани със симетрията са и въпросите за възможността за антисветове, търсенето за нови частици, самата същност на фундаменталните взаимодействия и материята

Симетрия на всяка цена

Понятията за най-простите симетрии са се появили в зората на човешката история. Тогава хората са забелязали, че Слънцето и Луната се движат всеки ден от изток на запад с видимо непроменящи се размери. И решили, че небесните тела се движат в кръг - ако завъртите тяло около някакъв център, видимите му размери не се променят, това означава, че и разстоянието между Слънцето и Земята се запазва. Затова древните решили, че Вселената трябва да има този тип симетрия и били дълго време силно привързани към тази идея.

Снимка: startswithabang.com

Търсенето на симетрия на всяка цена довела Кеплер до един супер симетричен модел на Слънчевата система: орбитата на всяка се вписва последователно в петте съвършени Платонови тела, разделени от сфери.

По-късно самият Кеплер разбира, че този модел, макар и симетричен, не е верен - орбитите на планетите са елипси, една не толкова симетрична фигура. Защото това, което прави физиката наука, а не философия или изкуство е, че нейните теории трябва да се съгласуват с експериментите.

Симетрията като инвариантност

Физиците наричат симетрията (виж Симетрията) "инвариантност", като под това понятие разбират неизменност на някаква величина при промяна на физическите условия или по отношение на някакви трансформации.

Инвариантни са такива величини, които са независими от условията или системата на наблюдение - например скоростта на светлината във вакуум е инвариантна за наблюдател от всяка точка, независимо с каква скорост се движи самият наблюдател.Физичните закони, които откриват учените на Земята работят и в най-отдалечените кътчета на Вселената. Тази симетрия е известна като транслационна симетрия или транслационна инвариантност. Законите, които управляват резултатите от експериментите, са нечувствителни както към мястото, където се извършват (транслационна симетрия) и така и спрямо ориентацията в пространството - ротационна симетрия. Ключов момент за симетриите, залегнали в основата на физичните закони е: какви трансформации могат да се извършат върху техни параметри или върху средата, в която действат, без да има абсолютно никакъв ефект върху законите, които обясняват физични явления.

Земя Луна Камъкът тежи различно на Земята и на Луната, но тази разлика не означава, че законът за гравитацията се променя за всяко място.

Глобални непрекъснати симетрии

Непрекъснати трансформации могат да доведат до закони за запазване в класическата механика, а прекъснати, дискретни трансформации водят до закони за запазване в квантовата механика.

За седемте групи с пределна симетрия, включващи тела с непрекъсната симетрия,  говорихме в темата за Групите на симетрия (конус, цилиндър и кълбо).

Математически непрекъснатите симетрии се описват от непрекъснати (функции, които за малки промени на аргумента дават малки промени в резултата) и гладки функции, т.е. диференцируема функция - функция, която има непрекъсната производна за всяка стойност.

Теорема на Ньотер

През 1918 г. Амалия Еми Ньотер (Amalie Emmy Noether) доказва една от най-полезните теореми за физиката. Тя е математик в момент, когато за жените в родната й Германия все още им е необходимо специално разрешение да присъстват университетите и да преподават. Тази жена с обширен и фундаментален принос в много области на математиката е била принудена да преподава от името на някой мъж-колега.

Опитите на Давид Хилберт да я направи доцент в Гьотинген се провалили заради предразсъдъците на ръководството на университета. Той заявил:

Не разбирам защо пола на кандидата е аргумент срещу избирането й за преподавател. Все пак тук е университет, а не мъжка баня!

Огромна част от работата на Еми Ньотер е свързана с алгебрата, където тя е допринесла за създаването на ново направление, известно като абстрактна алгебра, но тази талантлива математичка остава в историята с т.н. теорема на Ньотер: за всяка непрекъсната симетрия на физична система има съответен закон за съхранение. Това е казано опростено, защото в оригиналния си вид самата теорема и доказателството й са по-сложни - може да се разберат само от поне напреднал студент по математика и физика, но който желае - тук може да прочете.

Снимка: learn-math.info

Тук прилагам една обща таблица на глобалните непрекъснати трансформации, като по-долу ще разгледаме всяка една от тях.

Връзка между непрекъснатите пространствено-времеви преобразувания на симетрия и физичните закони за запазване:

Законите на природата не са инвариантни спрямо, например, преобразуването подобие, т.е. трансформации, свързани с промяната в пространствения мащаб. Принципът на подобие не е приложим към физичните закони. 

Хомогенност и изотропност

Понятията хомогенност и изотропност не са еквивалентни. Изотропност означава, че няма специални посоки, а хомогенност - че няма специални области. В първият пример има хомогенно запълване, но с определено направление, а във втория всички посоки са равноправни, но има градиент на концентрацията.

3D хомогенен, но не изотропен	3D изотропен, но не хомогенен	2D хомогенен, но не изотропен	2D изотропен, но не хомогенен

Нашата Вселена е изотропна и хомогенна, ако се разглежда в големи мащаби, от порядъка на милион светлинни години и такава е била винаги. Изотропността на Вселената означава, че не съществува "център" на Вселената. Това е важен момент, имайки предвид произхода на Вселената, известен като Големия взрив. Поради изотропността, няма "място", където е бил Големия взрив, няма централна точка. Емпедокъл го е казал най-добре "Бог е безкрайна сфера, чийто център е навсякъде, а обиколката е никъде..

Транслация във времето-Закон за запазване на енергията

Законът за запазване на механичната енергия е свързан с еднородността на времето. Еднородността на време се проявява във факта, че законите на физиката са инвариантни спрямо избора на началото на отчитането на времето.Ако тяло свободно пада в гравитационно поле, то неговата скорост и изминатото разстояние зависят само от началната скорост и продължителността на свободното падане на тялото, а не от това, кога тялото е започнало да пада.

Доказателството за връзката между запазването на енергията и еднородността на времето е сложно, затова ще си послужим с пример: Ако силата на привличане на телата към Земята се променя с течение на времето (т.е. не всички моменти във времето са хомогенни), енергията нямаше да се запазва. Може да повдигаме тялото в такива моменти от времето, когато силата на гравитацията е минимална и да го смъкваме когато се увеличава силата на гравитацията. Щяхме да печелим енергия, а и може да се създаде вечен двигател.Теоремата на Ньотер ни дава напълно нов поглед за границите на приложимост на законите за съхранение. Трудно е да се приеме, че равномерността на времето и еднородността на пространството са универсални, без никакви изключения.

t t + Δt E=const

Науката отдавна се отказала от идеята, че в природата съществува единно, независимо и абсолютно пространство и време, играещо ролята на един безкрайно голям съд, в който са потопени всички тела. Може да се очаква радикална промяна във възгледите ни за обичайните свойства на пространството и времето в квантов мащаб, където възникват спонтанни квантови флуктуации на време-пространството. В момента на  "Големия взрив" пък не е имало нито време, нито пространство или са били объркани в пространственно-времева пяна.

Снимка: jonathanturley.org

Всичко това подсказва, че при определени условия, законът за запазване на енергията може да не се изпълнява, което ще е следствие от нарушаването на еднородността на времето и пространството.Дават ли тези примери надежда за построяване на вечен двигател? За съжаление, не. За земните мащаби разширението на Вселената е напълно назабележимо и законът за запазването на енергия на Земята се спазва с голяма точност.

Транслация в пространството-Закон за запазване на импулса

Покоят и движението на едно тяло са относителни, скоростта на движение зависи от избора на отправна система. Тя е едно от основните понятия в теорията на относителността. Според втория закон на Нютон, независимо дали тялото е в покой или се движи равномерно и праволинейно, промяна на скоростта му на движение може да стане само под действието на сила, т.е. в резултат от взаимодействие с други тела.

Импулсът е физична величина, равна на произведението от масата на тялото и скоростта му, той е количествена характеристика на постъпателното движение на тялото: p = m . v. Система от тела, които не взаимодействат с други тела, извън системата, се нарича затворена. В една затворена система геометричната сума от импулсите на телата остава постоянна - това е законът за запазване на импулса. Транслацията на координатната система не променя пространствените координати на физичните закони. Това означава равнопоставеност на всички точки в пространството (еднородност на пространството).

Бялата топка губи инерция и жълтата топка набира скорост. Общият импулс на двете топки е един и същ преди и след удара. Този закон навсякъде по масата и по всички маси на Земята, че и а Сириус. Снимка: physics.tutorvista.com

Транслацията в пространството на една затворена физичната система не влияе на процесите в нея, не променя механичните свойства на системата. От тази симетрия следва запазването на импулса. Ако пространството не беше еднородно, то при преместване на тяло то би се задвижвало от само себе си, без въздействие на външни сили.

Ротация в пространството-Закон за запазване на момента на импулса

Завъртането на пространствените координати оставя неизменни физическите закони. Това говори за изотропността на пространството, за еднаквостта на неговите свойства във всички посоки. От тази симетрия следва закона за запазването на момента на импулса. Еднаквостта трябва да се разбира в смисъл, че завъртането на една затворена система, като цяло, не се отразява на нейните механични свойства.

Схема: uoregon.edu

Пример за действието на закона за запазване на момента на импулса е това, което правят балерините и кънкьорите при перует - те прибират ръцете си близо до тялото си и така, намалявайки диаметъра си, увеличават скороста на въртене. Когато един обект се движи по елиптична орбита, то той ще се движи толкова по-бързо, колкото е по-близо до оста на въртене (за Слънчевата система, това означава колкото са по-близо до Слънцето). Това е вторият закон на Кеплер за движението на планетите. Той е проява на закона за запазване на ъгловия момент: p1 . r1 = p2 . r2

Една добра илюстрация за връзката между изотропността на пространството и закона за запазване на ъгловия момент е гравитационната сила на слънцето. През XVII век. Кеплер открива, че Слънцето се върти около центъра си, но това няма ефект върху орбитата на Земята. Гравитационното поле на Слънцето е симетрично, то е сферично и следователно формата му не се променя от просто завъртане. На тази геометрична симетрия съответства физичен резултат: моментът на импулса на Земята не се променя.

Лоренцовите трансформации са част от една по-голяма тема: "Теорията на относителността". Тук само ще спомена, че тези преобразувания оставят инвариантен интервала между две събития в четиримерното времепространство на Минковски.

Източници:

Emmy Noether, en.wikipedia
Концепции современного естествознания.
Лекция 23. Принципы симметрии в научной картине мира
Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles, Hooft G.—
Scientific American, June 1980
Характер физических законов, ЛЕКЦИЯ 4, СИММЕТРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ, Pичард Фейнман
Законы сохранения — строгое следствие симметрии, акад. Мигдал
Законы сохранения и симметрия пространства и времени – дисипативни
Симметрия и законы сохранения
Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени. Однородность пространства.
Фейнмановские лекции, Г52. Симметрия законов физики, Симметрия и законы сохранения,, Pичард Фейнман
Симметрия в пространстве и времени,  Фейнмановские лекции по физике
Слабое взаимодействие и элементы теории электрослабого взаимодействия, Е.С.КОСОЛАПОВА, К.А.КОХАНОВ,
Conceptual Physics, Benjamin Crowell
Как законы сохранения подняли престиж неизменного в природе
Symmetry and conservation, Professor Leonard Susskind
Cosmological Principle
Ned Wright’s Cosmology Tutorial
Emmy Noether and Symmetry, Matthew R. Francis
Бозон Хиггса и Наделение Массой
Simetría en física, es.wikipedia
Symmetry (physics), en.wikipedia
Symmetrie_(Physik), de.wikipedia
Noether’s theorem
Симметрия физических явлений, академик А.Б. Мигдал
Симметрия (в физике)
Суперсила. Поиски единой теории природи, 4. Симметрия и красота . Математика как язык природы, П.Девис
Симметрия и ее сохранение, автор ger
Problems you can solve just by looking at them: The meaning of Noether’s Theorem, gravityandlevity

Още по темата

15/03/2015

Математика

Видове симетрия

24/03/2015

Математика

Симетриите като групи