Златното сечение в математиката

Въведение

Златното сечение е една от най-ярките и устойчиви прояви на хармония на природата. Докато Фън Шуй е източният подход към хармония и баланс, на Запад се прилага математически и числов подход за измерване за същото - златното сечение. 

Човек харесва някакъв предмет заради формата му. Усещането за красота и хармония най-често произтича от съчетанието на симетрия и златно сечение. Цялото винаги се състои от части и ако те са в "златно" съотношение - помежду си и с цялото, то това винаги е белег на структурно и функционално съвършенство в изкуството, науката, техниката и природата.

Още през Ренесанса художниците открили, че всяка картина има определени точки, които приковават нашето внимание, т. н. зрителни центрове. Те са 4 и са разположени на разстояние 3/8 и 5/8 от краищата на платното. Това откритие те нарекли "златно сечение" на картината. Ако искаме да акцентираме на някой елемент от картината (фотографията) трябва да го сложим в един от зрителните центрове.

Определение

Определение: По-голямата част се отнaся към по-малката, както цялото към по-голямата. Ако по-малката отсечка приемем за единица, то може да запишем пропорцията: (Х+1) / Х = Х / 1, която се свежда до обикновено квадратно уравнение X2 - X - 1 = 0, чието положително решение е:или 1.61803398...

Това число се означава се с главната гръцка буква Ф (фи) - първата буква в името на Фидий.

Любопитно е, че 1/Ф = 0.61803398... Числото Ф е единственото положително число, което се превръща в реципрочното си при изваждане на единица. Може да се представи и като сума от безкрайния ред: Ф=1+1/(1+1/(1+1/(1+ ...

или Ф=√(1+√(1+√(1+√(1+√(1+√(1+...))))))

Ф е границата, към която се стреми отношението на два последователни члена от реда на Фибоначи. 

Златното сечение: 1,61803398874989484820 ... (и т.н.) няма абсолютно точна стойност, то е ирационално число.

В Книга 6, на "Начала" Евклид за първи път формулира задачата за "делене на отсечка в крайно и средно отношение", а терминът "златно сечение" въвежда Леонардо да Винчи, който го използвал като пропорция на "идеалното човешко тяло". По-късно наричат златна пропорция, златен коефициент и даже божествена пропорция. Великият астроном от XVI-ти век Йохан Кеплер нарича златното сечение "едно от съкровищата на геометрията".

Чувство за хармония и красота 

"Златното" съотношение се смята за мерило за красота и хармония от много художници и архитекти. Дали е така и за вас? Пробвайте с плъзгача да установите пропорцията, която ви харесва и проверете после с бутона "=".

Геометрични построения

От "Начала" на Евклид е известен следния начин за геометрично построение на "златно сечение" с използването на линийка и пергел.

1. Дадена е отсечка AB
2. От точка В се издига перпендикуляр, равен на половината АВ. Получената точка С се съединява с точка А.
3. На получената линия се отлага отсечка ВС, завършваща с точка D.
4. Отсечката AD се пренася на АВ.
5. Получената точка Е дели отсечката АВ в златна пропорция.

Ортогоналната (Orthogons) система за дизайн от векове е позволявала на художници и занаятчии да създават хармонични произведения без сложни изчисления.

Auron (Златното сечение) 1/2 + √5/2 =1.618... = Φ	Diagon √2 =1.414... Формати А4, А3 и т.н.	Quadriagon 1/2 + √2/2 =1.207...	Полу diagon √5/2 =1.118...

Златни геометрични фигури

Златни правоъгълници са правоъгълници, чиито страни са в "златно" съотношение. "Златният" правоъгълник има някои интересни свойства.

Ако отрежем от "златния" правоъгълник квадрат, страната на който е равна на по-малката страна на правоъгълника, остатъка ще бъде отново "златен" правоъгълник, но с по-малки размери. Ако продължим да отрязваме квадрати, ще получаваме все по-малки и по-малки "златни" правоъгълници. При това ще са подредени по логаритмична спирала, съвсем същата като тази, която се образува от квадрати със страни, числата на Фибоначи. Полюсът на спиралата лежи на пресечната точка на диагоналите на началния правоъгълник и първия отрязан правоъгълник. При това диагоналите на всички следващи намаляващи "златни" правоъгълници лежат на тези диагонали.

	Ако разположим три "златни" правоъгълници така, че всеки симетрично да се пресича с два други (под прав ъгъл всеки към всеки, ще видим че получената конструкция може да се впише в:
	правилен икосаедър (двайсетостен) като в същото време върховете на "златните" правоъгълници съвпадат с 12 върха на икосаедъра.
	правилен додекаедър (дванадесетостен) като върховете на "златните" правоъгълници ще лежат нае центровете на 12-те страни на тялото.

Златен триъгълник

Златният триъгълник е наричан още "съвършен триъгълник". Той е равнобедрен триъгълник, в който бедрата са в златна пропорция с основата:

Златния триъгълник е определен еднозначно и при съотношение 2:2:1 на вътрешните ъгли на триъгълник или 72°.: 72°: 36°.

Построяване

Има много начини да се построи геометрично златен триъгълник, няколко от тях преминават през построяването на правилен петоъгълник, но са по-сложни, защото изискват предварително да се построи самия петоъгълник.

Най-прекият и прост начин има за основа алгебричните зависимости в златния правоъгълник. За да построите златен триъгълник на дадена отсечка AB, трябва да направите следното:

1. Начертайте перпендикулярни линии спрамо двата края на отсечката AB;
2. Начертайте дъга с център едната от двете крайни точки, в случая С с радиус, равен на половината от AB;
3. С център в C и радиус другия край на отсечката CB, засичате правата, определяйки точка D;
4. С център A и радиус намерената дължина AD, засичате с перпендикуляра от средната точка на отсечката или с дъга със същия радиус с дължина AD и център B. Така определяме третата точка на златния триъгълник.

Геометрични особености 

Златният триъгълник има много свойства, общи с тези на златния правоъгълник. От свойството си за съотношение на ъглите 2:2:1, следва, че ъгълите в основата са по 72 ° и са двойно по-големи от ъгълът на върха. Тогава можете да разделяте последователно единия от тях и ще получите  една безкрайна поредица от златни все по-малки триъгълници. Свързвайки с дъги с център върха на допълнителния тъпоъгълен също "златен" триъгълник, радиус бедрата му и дължина тъпия ъгъл 108° последоателно, ще получим същата спирала на Фибоначи или "Златна спирала", което си е едно и също.

Тази спирала се нарича и логаритмична, като за първи път се споменава от Рене Декарт.  Бернули (1692), който я назовава "чудна спирала" ("spira mirabilis"). 

Интересното на тази красива крива е, че във всяка нейна точка векторът, който я свързва с центъра, сключва с допирателната в тази точка постоянен ъгъл. Тя асимптотично се стреми към центъра и няма определен брой завои - те са безкрайни и тя изглежда по един и същ начин, независимо от мащаба.

Златният триъгълник може да се открие в други геометрични фигури:

Десетоъгълник

Петоъгълник

Пентаграм

Златната петолъчка

Известната ни петолъчка (пентаграм-от гр. "pentagrammon", "pente" - пет и "gramma" - линии) е древен символ, образуван от 5 "златни" триъгълници, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в "златна" пропорция.

Схемата вляво показва как може квадрат и два златни правоъгълници да се построят към пентаграма.

Основни понятия и лексика

• Златно сечение, съотношение, пропорция, златен коефициент, божествена пропорция, Auron
• Ред на Фибоначи
• Diagon
• Quadriagon
• Ирационално число
• Златни правоъгълници
• икосаедър
• додекаедър
• Златен триъгълник
• Златна спирала, логаритмична спирала, spira mirabilis
• Златна петолъчка
• Фидий
• Евклид
• Леонардо да Винчи
• Йохан Кеплер
• Фибоначи
• Рене Декарт
• Бернули

Източници:

Золотое сечение и симметрия

Phi: That Golden Number, Mark Freitag

Golden Ratio

Fibonacci Number, Mathworld Wolfram

Още по темата

07/01/2015

Математика

Ирационалните числа

12/12/2014

Математика

Числовият ред на Фибоначи