Природа срещу геометрията на Евклид
Мнозина не харесват математиката. Намират я за твърде отвлечена и абстрактна, дори и най-нагледната й част - геометрията. Нима формата на планините, дърветата, облаците или морето може да се опише с паралелепипеди, пирамиди, сфери и призми? Нима можем в тези изчистени, гладки, прости геометрични форми да вместим цялата красота на природата?
От ствола на дървото се разперват дебели клони, от тях - по-малки клончета, докато стигнем до най-малките вейки. Кръвоносната ни система е устроена по същия начин - артериите се разклоняват в по-малки съдове и така до най-малките капиляри.
Ако се вгледате в подобни обекти като цяло, а след това в една част от тях, увеличавайки мащаба, а след това в част от тази част и т. н., ще установите, че те изглеждат почти еднакво.
Това свойство на обектите се нарича фракталност, а самите обекти - фрактали.
Кой е измислил фракталите?
Макар че понятието "фрактал" да се появява сравнително отскоро, първите идеи на фракталната геометрия, са възникнали още през 19 век.
През 1883г. Георг Кантор, един от основателите на теорията на множествата, описва как с помощта на проста, повтаряща се процедура, превръща линия в несвързани точки - фрактал, наречен прах на Кантор или гребен на Кантор. Образува се като последователно се премахва последователно средната третина на една отсечка. Повторението на тази операция до безкрайност води до образуването на т.н. канторови прашинки, сумата от дължините на които е равна на 0.
 |
|||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Може да се каже, че първия фрактал е описан в “Мозайки, формирани от петоъгълници” от “Ръководство на живописеца” (1525г) от Албрехт Дюрер. Това е т.н. петоъгълник на Албрехт Дюрер – пет петоъгълници се подреждат около идентичен петоъгълник. Тази група от шест петоъгълника има формата на петоъгълник, на който са отстрани пет триъгълни клинове. Така, с последователно изрязване на клинове се образува всяка следваща итерация.
Изучаването на фракталите в края на XIX и XX век е било по-скоро епизодично, а не систематично занимание, защото тогавашните математици са предпочитали обекти, които се описват с класическите методи и теории. Но дори и да се захванат с тази тема, те не са могли да съставят изображения на този математически модел, защото са били необходими огромно количество изчисления, които било възможно да се извършат ръчно.
С възхода на компютърната техника става възможно да се видят фракталите в целият им блясък и многообразие. Първият, който използва компютър за тази цел е математикът от компанията на IBM Беноа Б. Манделброт (Benoit B. Mandelbrot).
Манделброт е роден във Варшава през 1924 г., но семейството му емигрира в Париж, където 12-годинишният Манделброт попада под влиянието на чичо си Шолем Манделбройт, известен парижки математик. Малкият Беноа нямал особен интерес към училище, но у него се разкрил необичаен математически талант, който му дава възможност веднага след края на войната, за да стане студент в Ecole Polytechnique в Париж. Беноа притежавал отлично пространствено въображение. Дори алгебрични проблеми той решавал геометрично. След дипломирането си в парижкия университете, Манделброт отива в САЩ, където завършва и Калифорнийския технологичен институт. Връща се във Франция, където получава докторска степен в Университета на Париж през 1952. През 1955 г. се премества в Женева.
През 1958 г. Манделброт се установява в САЩ, където започва да работи в изследователския център на IBM в Йорктаун, защото в IBM по това време са се занимавали с интересни за Беноа Манделброт области на математиката.
Изследвайки на пръв поглед случайни колебания в цените, Манделброт открил, че те следват скрит математически ред във времето, който не се описва със стандартни криви.
Беноа Манделброт проучвал цените на памука в продължение на дълъг период от време (повече от сто години). Колебанията на цените изглеждали произволни, но Манделброт открил симетрия между дългосрочните и краткосрочните колебания в цените. Така Беноа Манделброт полага основите на своя рекурсивен (фрактален) метод.
През 1975 г. Манделброт въвежда термина "фрактал" (от лат. Fractus, което означава "счупено") за описване на структури и публикува за първи път идеите си изследването, Фракталите: Форма, вероятност и размерност. (Fractals: Form, Chance and Dimension). Математикът Стивън Волфрам по-късно го нарича "бащата на фракталите".
През 1977г. Беноа Манделброт публикува “Фракталната геометрия на природата” (“The Fractal Geometry of Nature”).
Манделброт използва научните резултати на други учени, работещи в периода 1875-1925 г. в тази област (Поанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Пеано).
Манделброт обединява техните работи в единна система. По неговите думи: ”... между неконтролируемия хаос и строгия ред на Евклид вече има нова зона – тази на фракталите”.
Какво е фрактал?
Самият Манделброт е взел думата фрактал от латинската дума fractus, което означава, счупен, разбит, разделен на части (фрактура, фракция имат същия корен). Едно от определенията за фрактал е геометрична фигура, състояща се от части и всяка от които представлява по-малко, поне приблизително копие на цялото. Фракталът е такъв обект, за който няма значение под какъв мащаб го разглеждаме - структурата му остава същата.
В основата на това явление е много проста идея: безкрайната красота и разнообразие на многожество форми може да бъдат получени от сравнително прост модел само с две операции - копиране и мащабиране.
Тъй като няма строга математическа дефиниция за фрактали, обикновено под "фрактал" се разбира геометричен модел, който има едно или повече от едно от следните свойства:
- има сложна структура при каквото и да е увеличение;
- е точно или приблизително самоподобен;
- има дробна (фрактална) размерност, която е по-голяма от топологичната;
- може да се построи от прост итерационен и рекурсивен цикъл. Този начин на създаване определя свойствата на фракталите самоподобие и дробна размерност.
Основни понятия и лексика
- Фрактали
- прах на Кантор
- петоъгълник (пентагон) на Албрехт Дюрер
- Беноа Манделброт
- самоподобие
- дробна (фрактална) размерност
- итерация
- рекурсия
Източници:
Фрактальная геометрия природы, Мандельброт Б.
Fractal Geometry, Yale University, Michael Frame, Benoit Mandelbrot (1924-2010), and Nial Neger
Что такое фракталы, Евгений Епифанов
ХАОС, ФРАКТАЛЫ И ИНФОРМАЦИЯ Доктор физико-математических наук А. ДМИТРИЕВ,
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
02.02 2015 в 09:24
02.02 2015 в 08:44
15.01 2015 в 16:28
Последни коментари