Въведение в понятието "итерация"
Изобразяването на фрактали е тясно свързано с програмирането. За хора, които имат дори бегла представа от програмиране, тези понятия са ясни. За другите:
Итерация в програмирането е такава организация на обработката на данни, при която действието се повтаря няколко пъти, без това да доведе до положение, при което функцията да извика сама себе си (това вече е рекурсия).
Когато някои действия трябва да се повторят няколко пъти, се използват цикъл. Най-лесно ще ви стане с някой пример
|
n=1; for i=0 to i<5 step=1 {n=n+i;} |
Този прост фрагмент от неопределен език за програмиране (принципът е един и същ, само синтаксисът е различен) може да се тълкува така: n приема начална стойност 1. После влиза в цикъл, който се определя от параметъра i с начална стойност 0 , като след всяка стъпка увеличава стойността си с 1, докато i остава по-малко от 5, в случая. Действието в тялото на цикъла върху операцията n=n+i, за всяка една стъпка от цикъла се нарича всъщност итерация. Трябва да се отбележи, че изразите в програмирането се извършват от дясно наляво. |
|
Резултатът от този прост пример за n ще е: n=1; n=2; n=3; n=4; |
Най-общо, итерация може да се преведе като "повторение".
Във всеки фрактал има безкрайно повтаряща се форма. При създаване такъв фрактал, най-простият начин се състои в това, да се повторят няколко действия, които създават тази форма. Вместо думата "повторение" използваме "итерация". Фактически всеки фрактал може да бъде създаден с итерации на някакво правило. За да се създаде истински фрактал, трябва да се извърши итерацията безкрайно количество пъти. Но бихме могли да я изпълним краен брой пъти, но достатъчно много, за да си създадем представа за "истинския" фрактал. Естествено с помощта на компютър. Увеличението на броя на итерациите прави фракталите по-точни.
Съществуват три основни вида итерации:
1. Заместваща итерация - създава фрактали, заменяйки едни геометрични фигури с други.
2. Итерация IFS - създава фрактали, прилагайки геометрични преобразувания (тип завъртане и отражение).
3. Итерация с формули — включва няколко начина за създаване на фрактали, повтаряйки някаква математическа формула или няколко формули.
Съществуват и други видове итерации. Например, фрактали може да се създават като се сгъва хартия. Обаче същите тези фрактали могат да се образуват и с някои от изброените стандартни методи.
Заместваща итерация
Започваме с фигура, наречена основа. След това всяка част от основата заместваме с друга фигура, наречена мотив. Извършваме това заместване безкрайно количество пъти, докато завършим фрактала.
| Например, да опитаме да направим фрактал | с тази основа |  |
и мотив: |  |
 |
|||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Започвайки с триъгълник, заменяме всяка негова страна с мотива. Отново заменяме всяка от 12-те отсечки с мотива и продължаваме процеса. Накрая получаваме фрактал, наречен Снежинката на Кох. Може да разгледате развитието на фрактала за всеки етап като минете с мишката по бутоните.
Тази фигура е един от първите фрактали изследвани от учените. Тя се получава от три еднакви криви на Кох:
 |
|||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Кривата на Кох се появява за първи път в статията на шведския математик Нилс Фабиан Хелге фон Кох през 1904. Тази крива е замислена като пример за непрекъсната линия, към която не може да се прекара допирателна във всяка точка. Линии с подобни свойства са били известни и преди (Карл Вайерщрас, 1872 г.), но кривата на Кох е забележителна с простотата си.
С различни основи, мотиви и начини на заместване на мотивите могат да се получат много разнообразни фрактали.
L-системи
Заместващата итерация е много проста. Но за компютър, не е достатъчно да имаш изображението на основата и мотива. Необходим е ясен и точен начин за съхранение на данните за фракталите, който да позволява да се създават прости алгоритми за изчертаване на фрактали.
Един добър и прост начин са L-системите. Разработени са от А. Линденмайер ("L" в думата "L-система" ). Те са съставени от ъгъл, аксиома и поне едно правило. Аксиома наричаме началната форма (основа), която ще се използва в процеса на създаване на фрактала. Правилата указват, какви символи в аксиомата трябва да бъдат заменени с други символи.
| СИМВОЛИ | ||||||
| Общи символи | Сложни символи | Символи за цветяване | ||||
| F | Движение напред, със следа | @n | Да се умножи дължината на отсечката на n | Cn | Да се установи цвят номер n | |
| G | Движение напред, без следа | I | Пред число означава делене вместо умножение | <n | Да се намали номера на цвета с n | |
| + | Завъртане против часовата стрелка | Q | Пред число дава квадратен корен | >n | Да се увеличи номера на цвета с n | |
| - | Завъртане по часовата стрелка | ! | Променя знака от + на - | |||
| | | Завъртане на 180 о | [ | Да се вкара сегашната позицията на курсора в паметта | |||
| ] | Да се извади последната записана позиция на курсора от паметта | |||||
Същността на L-кодирането е проста:
Представете си програмируемо устройство, от писец, контролиращ механизъм и лист хартия. Управляващият механизъм на писеца има набор от няколко команди:
- да смъкне писалката върху хартията
- да начертае отсечка с дадена дължина с направление на текущата ориентация на писалката (команда F).
- да промени ориентацията на писалка спрямо текущата на даден относителен ъгъл спрямо часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка (команда + и -).
- да запомни (вкарва в стека) текущото състояние (команда [) и да си спомни (да извади от стека) предварително запаметено състояние (команда ]).
Под състояние се разбират трите числа (x, y, a), където x и y са координатите на писалката, а a е ъгълът, който определя посоката на ориентация на писалката. По този начин, задавайки някаква първоначална посока a0 , ъгъл на относително завъртане от 900 и дължината на отсечката, като се използва последователността от команди, F + F + F + F, можем да начертаем квадрат. Ако определим относителния ъгъл на завъртане на 600, използвайки серията от команди F ++ F ++ F ще начертаем един равностранен триъгълник.
| Ето още един пример, Снежинката на Кох, Тя използва следната | основа | |
и мотив: | |
Използвайки L-система, можем да запишем Снежинката на Кох по следния начин:
|
Koch { Angle 60 |
L-системата започва с названието, следва скоба ; това е ъгъла, на който се отклонява линията на фрактала; три страни с две завъртания по часовата стрелка на 120 градуса; всяка страна се заменя с мотива (F +F- -F + F); скобата означава повторение |
Повечето фрактали с фрактална размерност от 0 до 2 могат да бъдат изразени като се използват L-системи. С комбинация от няколко символа и правила могат да се създадат много сложни фрактали. Такива L-системи се използват, за да се създават реалистични модели на растения.
 |
 |
 |
| F = FF-[-F+F+F]+[+F-F-F] |
X -> F-[[X]+X]+F[+FX]-X |
F= G[+F][-F]GF |
Възможно е да се постигне и по-голям реализъм като се внесе параметър, добавящ случайни числа. Колкото е по-голям диапазона им, толкова формите ще изглеждат по-естествени и далече от симетрията.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Системи Итеративни Функции (Iterated Functions System - IFS)
IFS (итеративни функционални системи) представят още един начин за създаване на фрактали. Този метод е основан на точка или фигура, която се заменя с няколко по-малки фигури.
Например, съществува много прост начин за изчертаване на Триъгълника на Серпински. Започвайки с триъгълник, заменяме го с три малки триъгълници: Продължавайки този процес на итерация, ние заменяме всеки от тези три триъгълника с други триъгълници и продължаваме много пъти:
докато стигнем до:
Замяната на една форма с друга форма се нарича геометрично преобразование .
В горния пример има два вида преобразувания: транслация (движение на триъгълниците) и изменение на размера на триъгълниците.
Третият вид преобразование е въртенето. То може да се използва за създаване на фрактали, в които самоподобните части са разместени под различни ъгли. Например, за да се създаде реалистичен модел на дърво, има нужда от въртенето за клоните.
Другите видове преобразувания, тип огледално отражение и инверсия могат да се използват за създаване на огромно разнообразие от фрактали. IFS значително облекчават алгоритмите за изчертаване на фракталите. За двумерни фрактали всичко, което трябва да сложите в паметта на компютъра, е списък с всички преобразувания с 6 параметри за всяко.
X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F
- Хоризонтално движение
- Вертикално движение
- Въртене около вертикалната ос на изображението
- Въртене около хоризонталната ос на изображението
- Мащабиране по вертикалната ос на изображението
- Мащабиране по хоризонталната ос на изображението.
За 3-мерните фрактали са необходими допълнително още 3 параметъра за третата ос.
Повече подробности - в темата: Системи Итеративни Функции (Iterated Functions System - IFS)
Формулна итерация
Формулната итерация е най-простия вид итерация, но е най-важния и дава най-сложни резултати. Алгебричните фрактали се построяват чрез формулна итерация, т.е. чрез математически формули. Ще ги разгледаме в темата за Алгебричните фрактали.
Продължение:
Основни понятия и лексика
- Фрактали
- дърво на Питагор
- снежинка на Кох
- крива на Кох
- триъгълник на Серпински
- Итерация
- в програмирането
- в построяването на фрактали
- Заместваща итерация
- L-системи
- Итерация IFS
- Итерация с формули
- Нилс Фабиан Хелге фон Кох
- Вацлав Франциск Серпински
- Беноа Манделброт
Източници:
Фрактальная геометрия природы, Мандельброт Б.
Фрактальный рост, Л.М. Сандер (doc)
Принцип Кюри и ограниченная диффузией агрегация © Л.М. Мартюшев, Л.Г. Горбич
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари
Прост Човек
Последната теорема на Стивън Хокинг преобръща времето и причинността
Прост Човек
Разрязването на фотон на две създава безкраен рояк от частици
zlatkov
Учени сканират 74 милиона радиосигнала от междузвезден обект за признаци на извънземни технологии
Джендо Джедев
За срещата на Земята с Халеевата комета през 1910 г. някои са пили "противокометни хапчета"