Звукови вълни, снежинки и въртящи се игли. За какво бе даден медалът "Фийлдс" 2026

Една от най-големите и престижни конференции по математика, международният конгрес на математиците (ICM) се провежда във Филаделфия, САЩ, от 23 до 30 юли 2026 г. ICM се провежда на всеки четири години на различни места по целия свят.

Голяма атракция са присъжданите множество награди. Сред тях са известните медали "Фийлдс", присъждани на до четирима математици до 40-годишна възраст.

За 2026 година лауреатите са:

• Ю Дън (Yu Deng) за работа, която е насочена към "осъществяването на една велика математическа мечта" в областта на диференциалните уравнения с частни производни.
• Джош Пардън (John Pardon) за "работа в областта на геометрията, която хвърля светлина върху природата на нашата Вселена".
• Джейкъб Цимерман (Jacob Tsimerman) за "опитомяването на дивите математически структури в алгебричната геометрия".
• Хун Уан (Hong Wang) за работата си в областта на хармоничния анализ и геометричната теория на мярката.

35-годишната Хун Уан, математик в Нюйоркския университет "Курант" и Института за висши научни изследвания, е едва третата жена в историята, която печели тази най-престижна математическа награда. И за нейната работа ще ви разкажем по-подробно.

Какво е общото между звуковите вълни, снежинките и въртящите се игли? Отговорът е математиката на Хун Уан.

Звукови вълни

Един от най-забележителните инструменти в математиката – анализът на Фурие – може да разложи всяка звукова вълна, независимо колко е странна, на сбор от по-прости, регулярно повтарящи се вълни (синусоиди). Това откритие на Жозеф Фурие през 19-ти век е основата за много технологии като компресиране на MP3 аудио и разпознаване на глас.

Анализът на Фурие се е доказал като безценен в математиката, позволявайки много математически функции да бъдат изразени чрез тези по-прости функции. Ако може да се изрази сложна математическа задача на множество по-прости задачи, тогава решаването на трудния проблем става потенциално много по-лесна задача.

Функцията f се променя във времето – представлявайки звукова вълна. Анализът на Фурие взема f и я разлага чрез преобразуването на Фурие на съставните синусоиди, с определени честоти и амплитуди. Преобразуването на Фурие се представя като пикове в честотната област, като височината на пика показва амплитудата на вълната с тази честота. Кредит: Lucas V. Barbosa – Public Domain

Фурие за първи път разработва тази техника, за да разбере математически как топлината протича през обекти, и тя се използва широко в приложения като анализ на изображения, математическа физика и икономика. Хармоничният анализ обобщава този подход към множество математически въпроси, много от които остават без отговор.

"Все още има много нерешени проблеми и явления, които се надяваме да разберем по-добре", отбелязва Уан.

Снежинки

Уан е призната и за работата си в областта на геометричната теория на мярката. Инструментите, които математиците обикновено използват, за да разберат геометрията на формите, се основават на висшата математика, но те работят само върху гладки повърхности. Но тези инструменти не работят върху някои форми, дори познати форми като пресичащи се сапунени мехурчета. Вместо това, геометричната теория на мярката използва идеи от теорията на мярката, която формализира идеите за дължина, площ и обем, за да разбере геометрията на формите, които не са гладки.

Едно от важните понятия в тази област е Хаусдорфовата размерност (вж по-долу разяснението), която разглежда как мярката на даден обект се мащабира с неговия размер (мярката тук е обобщение на дължина, площ, обем и т.н.). Когато се прилагат обичайните правила, мярката се държи както би се очаквало и се мащабира с размерите на обекта: удвояват се страните на квадрат, увеличава се дължината на едномерния периметър на квадрата с 2¹ , а двуизмерната площ на квадрата се увеличава с 2² . Но правилата не работят за сложни форми като фракталите.

Итерации на снежинката на Кох. Във всяка итерация средната трета на всеки сегмент от линията се заменя с две страни на равностранен триъгълник. Кредит: Wxs, създадено чрез Inkscape; CC BY-SA 3.0

Може да видите това в действие в известната фрактална крива, наречена снежинка на Кох. Тя се създава, като се започне с равностранен триъгълник и многократно се замества средната трета на всеки сегмент с две страни на по-малък равностранен триъгълник. Чрез този процес можете да направите едномерната граница на снежинката безкрайно дълга, но тя остава ограничена в крайна площ. Дължината на тази фрактална крива очевидно расте много различно от периметъра на квадрат, информация, която се описва от нейната Хаусдорфова размерност от 1.26.

Въртящи се игли

Областите на хармоничния анализ и геометричната теория на мярката се срещат в нещо, наречено проблемът с иглата на Какея. През 1917 г. Соичи Какея (Sōichi Kakeya) задава въпроса: каква е минималната площ, необходима за завъртане на игла, така че тя да може да сочи във всяка възможна посока? Може би веднага се сещате за кръг, но Какея вече е измислил по-малка възможност: триъгълник с огънати навътре страни (делтоид).

Показана е игла, въртяща се вътре в делтоид (който следователно е множество на Какея). На всеки етап от своето въртене иглата е в контакт с кривата в три точки: двата края (в синьо) и точка на допир (в черно). Средата на иглата (в червено) описва кръг с диаметър, равен на половината от дължината на иглата.

Какея е предположил, че множеството на Какея с минимална площ, ще бъде делтоидна форма с три точки. Това обаче е невярно - има по-малки неизпъкнали множества на Какея.

Пространство, в което може да се завърти игла по този начин, става известно като множество на Какея. Само две години след като Какея ги дефинира, Аврам Безикович измисля гениален начин за конструиране на такова: плъзгане и след това съвсем леко завъртане на иглата, за да се получи фракталноподобна разклоняваща се форма. И удивително е, че може се да направи площта на това множество на Какея толкова малка, колкото искате. Подобен процес може да се използва за конструиране на произволно малко множество на Какея, което да позволява да се завърти иглата в три измерения. 

Безикович доказва, че множествата на Какея могат да имат изчезваща площ, но има начини, различни от площта, за описване на размера на дадена форма. Разработените от Безикович множества все пак съдържат точки и през 70-те години на миналия век възниква отново въпросът колко ефективно са подредени тези точки.

Този въпрос, наречен "хипотезата на Какея" (за разлика от оригиналната "задача на Какея"), предсказва, че ако имате, да речем, малки квадратчета плат и се опитвате да ги разположите върху множеството на Какея, така че квадратчетата да покрият изцяло множеството, в някакъв много точен смисъл ще ви трябват много квадратчета, за да завършите покриването (вж по-долу разяснението за размерността на Минковски).

Степента, в която точките в дадено множество са разположени по начин, който улеснява или затруднява покриването им, се улавя с две тясно свързани метрики, наречени Хаусдорфова размерност и размерност на Минковски. Тези понятия за размерност предоставят на математиците друга строга рамка, в която да изследват множествата на Какея - начин да продължат да ги изследват, след като Безикович доказа, че измерването само на площта е недостатъчно за разбиране на основните им свойства. Хипотезата на Какея предвижда, че както Хаусдорфовата размерност, така и тази на Минковски на едно множество на Какея трябва да са възможно най-големи. И макар че точните определения на тези две измервания на размерността са технически, интуицията, която стои зад предположението, е доста ясна: За да може линиите да минават навсякъде, трябва да има много неща.

Хаусдорфовата размерност и размерност на Минковски

Хаусдорфовата размерност е математическо понятие, обобщавеащо представата за пространствена размерност. Освен обичайните целочислени размерности d (за линия d=1, за повърхност d=2 и за пространство d=3, но фракталите имат нецяла размерност.

За да усетите смисъла на Хаусдорфовата размерност да разгледаме една от кривите на Пеано, фрактал наречен "Гръцки кръст".

Той се чертае по следните правила:  Първият етап е отсечка. После тя се заменя с 9 отсечки с дължина 3 пъти по-малка от дължината на първоначалната отсечка (1 и 2 на схемата долу). След това, всяка от отсечките се заменя със същата тази фигура и повтаряйки този процес безкрайно, ще се получи плътен квадрат.

Разгледаният фрактал се състои от отсечки, на които топологичната размерност е 1. Това обаче не е вярно, защото получената фигура - квадрат е с размерност 2. (Може да се докаже, че за всяка точка от този квадрат може да се намери точка, принадлежаща към кривата на Пеано.) Да се опитаме да изчислим размерността на кривата на Пеано: в началната фигура има 9 идентични отсечки (N = 9). Всяка от тях е 1/3 от началната отсечка, така че увеличението е 3 (e = 3). Използвайки формулата D = log N / log e, намираме, че

D = ln 9 / ln 3 = 2. Крайната фигура е квадрат.

Хаусдорфовата размерност на кривата на Кох е: D = ln 4 / ln 3 =1.26.

При т.н. Прах на Кантор размерността е : D = ln 2 / ln 3 =0.631.

Концепцията на размерността на Минковски е близка до размерността на Хаусдорф. В много случаи тези размерности съвпадат, въпреки че има множества, за които са различни.

Размерността на Минковски или измерение на броя на кутиите, е начин за определяне на фракталната размерност.

 Оценяване на размерността с броене на кутии на брега на Великобритания.

За да се изчисли тази размерност за някакъв фрактал (крайбрежието на Великобритания е фрактална линия), представете си този фрактал да лежи върху равномерно разпределена мрежа и пребройте колко кутии са необходими, за да покрият фрактала. Размерността на Минковски се изчислява, като се провери как броят на кутиите се променя, докато мрежата става все по-фина. Тук  N ( ε ) е броят кутии със странична дължина ε, необходими за покриване на фрактала.

Манделброт е използвал този пример за да покаже, че бреговата линия на Англия всъщност има безкрайна дължина, тя е фрактал и определил, че фракталната му размерност е 1.25.

Хипотезата на Какея и е доказано вярно в две измерения през 1971 г. от Рой Дейвис (Roy Davies) само на няколко страници. Но това остава без отговор във всички по-високи измерения, докато Уан и нейният колега Джошуа Зал (Joshua Zahl) не доказват триизмерния случай през 2025 г.

"Заинтересувах се от проблема на Какея от анализа на Фурие", разказва Уан. През 70-те години на миналия век Чарлз Феферман (Charles Fefferman) показа, че множествата на Какея са ключови за решаване на проблеми във анализа на Фурие в три измерения.

Уан се интересувал особено от функции, които могат да бъдат разложени на вълни, където всяка от тези вълни се намира в дълга тънка тръба, оставяща сфера и сочеща във всяка различна посока (област на анализа на Фурие, наречена теория на ограниченията).

"За да се разберат тези функции, човек трябва да разбере основната геометрия [на тези дълги, тънки тръби], която е множество на Какея", обяснява Уан. "Една от причините, поради които намирам множеството на Какея за интригуващо, е че то се появява независимо в различни области, където хората се опитват да изучават различни явления. Тези изненадващи връзки са очарователни."

Доказването на хипотезата на Какея, че е вярна в три измерения, осигурява фундаментална сила на много резултати в хармоничния анализ.

"В анализа на Фурие имаме кула от хипотези", посочва Уан. "Хипотезата на Какея се намира в основата на три други хипотези, едната от които предполага другата. Ако опровергаете хипотезата на Какея, тогава опровергавате цялата кула от хипотези."

Фактът, че Уан и Зал успяват да докажат, че триизмерният случай е верен, добавя тежест към другите хипотези в три измерения, като тяхното доказателство дава прозрения за атакуване на другите хипотези в кулата.

Уан е удостоена с медала "Фийлдс" за това и многото си други приноси в тези области. Тя е работила с много различни сътрудници, аспект от работата си като математик, който тя особено харесва. Уан също така подчертава важността на времето си като докторант в MIT, както и на своя ръководител Лари Гът (Larry Guth), математик от Масачузетския технологичен институт, който работи по проблема около 20 години.:

"Научих се от него как да мисля за математиката, как да се организирам... Мисля, че това обучение беше полезно не само в математиката, но и в живота."

Справка:

The Kakeya conjecture on local fields of positive characteristic
Alejo Salvatore, https://doi.org/10.48550/arXiv.2202.11344

The Kakeya Set Conjecture for Z/NZ for general N
Manik Dhar, https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.14889

The p-adic Kakeya conjecture
Bodan Arsovski, https://doi.org/10.48550/arXiv.2108.03750

Източници:

The Fields Medals 2026: Hong Wang, Plus Maths

A Question About a Rotating Line Helps Reveal What Makes Real Numbers Special,  Quanta Magazine

Още по темата

08/09/2022

Математика

Задачата за въртящата се игла показва какво прави реалните числа специални

05/07/2022

Математика

Украинката Марина Вязовская спечели медала "Фийлдс", престижна математическа награда

15/07/2017

Математика

Почина Мариам Мирзахани, първата жена, получила най-престижната награда за математика, медала „Фийлдс“

18/10/2015

Математика

Триъгълникът на Рело - от мехурчета до двигатели с вътрешно горене