Предположението на професор Какея звучи като пъзел. Поставете една игла на масата си. Каква площ е необходима, завъртайки я така че да я насочите във всички възможни посоки?

В математиката множество на Какея или множество на Безикович е множество от точки в евклидовото пространство, което съдържа единична отсечка във всяка посока.

Най-очевидният отговор е кръг, чийто диаметър е равен на дължината на иглата или сфера с радиус 1/2 в триизмерното пространство, те образуват множество на Какея. Но задачата не се ограничава до това елементарно решение. 

През изминалия век усилията на математиците, работещи в тази насока, показват, че това, което изглеждаше като забавна задача, всъщност е дълбоко провокативен математически проблем за природата на реалните числа - безкрайни линии, които служат като координати в пространството.

Голяма част от изследванията в тази област са насочени към проблема колко малки могат да бъдат такива множества. Безикович показа, че има множества на Безикович с мярка нула. Този резултат довежда до формулирането на по-прецизна хипотеза, наречена хипотеза на Какея, относно минималния размер на множествата на Какея във всяко измерение, но тя е демонстрирана за момента само за пространства с ниска размерност. Обобщенията на тази хипотеза наскоро осъществяват значителен напредък.

„Предположението на Какея изглежда толкова трудно, но също така е правдоподобно, че ще има решение след няколко години“, отбелязва Лари Гът (Larry Guth), математик от Масачузетския технологичен институт, който работи по проблема повече от 15 години. „Изглежда по-обнадеждаващ от всеки друг подход, който съм виждал.“

Множеството на Какея

Съвременните версии на хипотезата не се отдалечават от първоначалното тълкуване, направено още през 1917 г. Японският математик се интересува от най-малката площ, необходима в двуизмерна равнина, за да се завърти едноизмерна линия с дадена дължина така, че тя да сочи във всички посоки.

Показана е игла, въртяща се вътре в делтоид (който следователно е множество на Какея). На всеки етап от своето въртене иглата е в контакт с кривата в три точки: двата края (в синьо) и точка на допир (в черно). Средата на иглата (в червено) описва кръг с диаметър, равен на половината от дължината на иглата.

Освен диск с диаметър, равен на дължината на линията, подходящи могат да бъдат и по-малки форми.

Например равностранен триъгълник с височина, равна на дължината на линията. Чрез поредица от завъртания, които по същество са три точки, премествате линията - която има нулева площ, тъй като е едноизмерна - около триъгълника и добавяте желаното описание. Множеството от точки, което позволява такова насочване, е известно като множеството на Какея.

Какея е предположил, че множеството на Какея с минимална площ, ще бъде делтоидна форма с три точки. Това обаче е невярно - има по-малки неизпъкнали множества на Какея.

През 1919 г. Абрам Безикович дава изненадващия отговор, че няма ограничение за това колко е най-малката възможна площ на множеството на Какея.

Той демонстрира, че е възможно да се конструират почти безкраен брой множества на Какея, но вместо три върха на триъгълника получава набор от върхове в други върхове, които сочат във всички посоки.

Идеята на Безикович 

Безикович показва, че площта на областта, позволяваща на иглата да се завърти един пълен оборот, може да бъде направена толкова малка, колкото си искате. Това се основава на по-ранна негова работа, засягаща множества (сега наричани множества на Безикович), съдържащи единичен сегмент във всяка посока. Безикович показва още през 1919 г., че такова множество може да бъде с произволно малък размер. 

Методът за конструиране на множества на Безикович, илюстриран на фигурата вдясно, използва "дървета на Перон", наречени така на О. Перон, който ги е използвал, за да опрости оригиналната конструкция на Безикович: започваме от триъгълник с височина 1, разделяме го на 2 и преместваме парчетата така, че основите им частично да се застъпват. Така получената фигура съдържа единични отсечки със същите посоки като тези на първоначалния триъгълник, минаващи през разрязания връх, като площта му е намаляла.

По-общо казано, разделяйки триъгълника на 2ⁿ части (с еднакви основи), ние ги групираме 2 по 2, след това 4 по 4 и т.н. Така получената фигура наподобява дърво и може да бъде направена с колкото желаете малка площ. Започвайки от равностранен триъгълник и комбинирайки три от тези дървета (съответстващи на трите върха на триъгълника), получаваме набор на Безикович с произволно малка площ.

„В крайна сметка получаваме нещо странно, приличащо на таралеж“, коментира Зеев Двир (Zeev Dvir), професор в Принстънския университет и автор на едно от новите доказателства. Резултатът е сложна фрактална подредба с площ, която може да се направи произволно малка - което е равносилно на липса на площ изобщо.

Конструкцията на Безикович като че ли дава отговор на въпроса на Какея само две години след като го е задал. Но десетилетия по-късно математиците разработват преработена версия на проблема, която се оказва много обезпокоителна.

Широко разпространена празнота

Безикович доказва, че множествата на Какея могат да имат изчезваща площ, но има начини, различни от площта, за описване на размера на дадена форма. Разработените от Безикович множества все пак съдържат точки и през 70-те години на миналия век възниква отново въпросът колко ефективно са подредени тези точки.

Този въпрос, наречен "хипотезата на Какея" (за разлика от оригиналната "задача на Какея"), предсказва, че ако имате, да речем, малки квадратчета плат и се опитвате да ги разположите върху множеството на Какея, така че квадратчетата да покрият изцяло множеството, в някакъв много точен смисъл ще ви трябват много квадратчета, за да завършите покриването (вж по-долу разяснението за размерността на Минковски).

Степента, в която точките в дадено множество са разположени по начин, който улеснява или затруднява покриването им, се улавя с две тясно свързани метрики, наречени Хаусдорфова размерност и размерност на Минковски. Тези понятия за размерност предоставят на математиците друга строга рамка, в която да изследват множествата на Какея - начин да продължат да ги изследват, след като Безикович доказа, че измерването само на площта е недостатъчно за разбиране на основните им свойства. Хипотезата на Какея предвижда, че както Хаусдорфовата размерност, така и тази на Минковски на едно множество на Какея трябва да са възможно най-големи. И макар че точните определения на тези две измервания на размерността са технически, интуицията, която стои зад предположението, е доста ясна: За да може линиите да минават навсякъде, трябва да има много неща.

"Имате по една линия във всяка посока и си представете, че се опитвате да ги смачкате всичките в нещо. Как може да се компресират?" отбелязва Гът.

Хаусдорфовата размерност и размерност на Минковски

^{Хаусдорфовата размерност е математическо понятие, обобщавеащо представата за пространствена размерност. Освен обичайните целочислени размерности d (за линия d=1, за повърхност d=2 и за пространство d=3, но фракталите имат нецяла размерност.}

^{За да усетите смисъла на Хаусдорфовата размерност да разгледаме една от кривите на Пеано, фрактал наречен "Гръцки кръст".}

Той се чертае по следните правила:  Първият етап е отсечка. После тя се заменя с 9 отсечки с дължина 3 пъти по-малка от дължината на първоначалната отсечка (1 и 2 на схемата долу). След това, всяка от отсечките се заменя със същата тази фигура и повтаряйки този процес безкрайно, ще се получи плътен квадрат. Минете с мишката върху цифрите долу за да видите този процес.
Цикли:	1	2	3	4	5	6

^{Разгледаният фрактал се състои от отсечки, на които топологичната размерност е 1. Това обаче не е вярно, защото получената фигура - квадрат е с размерност 2. (Може да се докаже, че за всяка точка от този квадрат може да се намери точка, принадлежаща към кривата на Пеано.) Да се опитаме да изчислим размерността на кривата на Пеано: в началната фигура има 9 идентични отсечки (N = 9). Всяка от тях е 1/3 от началната отсечка, така че увеличението е 3 (e = 3). Използвайки формулата D = log N / log e, намираме, че}

^{D = ln 9 / ln 3 = 2. Крайната фигура е квадрат.}

Хаусдорфовата размерност на кривата на Кох е: D = ln 4 / ln 3 =1.26.

При т.н. Прах на Кантор размерността е : D = ln 2 / ln 3 =0.631.

^{Концепцията на размерността на Минковски е близка до размерността на Хаусдорф. В много случаи тези размерности съвпадат, въпреки че има множества, за които са различни.}

^{Размерността на Минковски или измерение на броя на кутиите, е начин за определяне на фракталната размерност.}

 ^{Оценяване на размерността с броене на кутии на брега на Великобритания.}

^{За да се изчисли тази размерност за някакъв фрактал (крайбрежието на Великобритания е фрактална линия), представете си този фрактал да лежи върху равномерно разпределена мрежа и пребройте колко кутии са необходими, за да покрият фрактала. Размерността на Минковски се изчислява, като се провери как броят на кутиите се променя, докато мрежата става все по-фина. Тук  N ( ε ) е броят кутии със странична дължина ε, необходими за покриване на фрактала.}

^{Манделброт е използвал този пример за да покаже, че бреговата линия на Англия всъщност има безкрайна дължина, тя е фрактал и определил, че фракталната му размерност е 1.25.}

Реални проблеми

Хипотезата на Какея се осъществява в Евклидовото пространство, където точките се определят от реални числа - числа, които могат да имат безкрайно дълъг десетичен знак, като 19,1777... или пи. С течение на времето стана ясно, че тези координати с реални стойности са голяма част от причините, поради които хипотезата на Какея е толкова трудна за решаване.

_{Рядко срещана снимка на Соичи Какея. Кредит:  Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo}

Не е съвсем ясно какво точно в реалните числа създава такава пречка, но някои особености се открояват. Първо, реалните числа са непрекъснати, което означава, че не може да ги разглеждате в определен дискретен интервал, без да загубите възможността да правите аритметични действия. (Ако се ограничите до интервал между 1 и 2 например, губите възможността за събиране, защото сборът на две числа в този интервал ще лежи извън него). Реалните числа са също така "безкрайно безбройни", което означава, че независимо колко "зуумвате", виждате едно и също нещо във всеки мащаб.

"В реалните числа нещата могат да бъдат много близки до нулата, без да са всъщност нула. По някакъв начин това е техническа пречка", казва Джошуа Зал (Joshua Zahl) от Университета на Британска Колумбия.

Трудността на реалните числа е мотивирала математиците да разгледат версии на хипотезата на Какея, които са зададени в по-малки числови системи. Те могат да имат само стойностите на целите числа от 1 до 5 например. И макар че тези бройни системи не приличат много на реалните числа, те имат много от същите основни аритметични свойства - позволяват събиране, изваждане, умножение и деление.

Те също така са достатъчно богати, за да поддържат техниките от линейната алгебра за дефиниране на линии, а след като има линии, може да се зададе леко модифицирана версия на хипотезата на Какея: Какъв е минималният размер на множество от точки в една от тези бройни системи, така че да може да се построи линия във всяка посока?

Томас Волф (Thomas Wolff) задава подобен въпрос през 1996 г. Оттогава насам математиците подхождат към него като към скеле, което може да ги доближи до отговора на самата хипотеза на Какея.

"Идеята е, че [този] проблем вероятно е по-лесен и може би трябва да се опитаме да разработим техники за решаването му, за да получим идеи за справяне със същинския евклидов случай", разказва Маник Дхар (Manik Dhar) от Принстън, автор на две скорошни статии върху хипотезата на Какея.

Да изберем число

За да определим една от тези малки числови системи, първо трябва да изберем число. Може да изберем 9, като в този случай нашата числова система съдържа целите числа от 1 до 9. Може да изберем и 17, 25 или 83.

Изборът е важен. По-специално, това дали това число (наречено модул) е просто или не и по какъв начин не е просто, оказва голямо влияние както върху поведението на числовата система, така и върху методите, които могат да се приложат към хипотезата на Какея.

През 2008 г. Двир решава хипотезата на Какея за крайни бройни системи, в които модулът е просто число, което е конкретният случай, който Волф е имал предвид през 1996 г. Тези бройни системи, наречени крайни полета, са особено мощни и се използват в цялата математика за атакуване на трудни проблеми.

Двир доказва, че над крайните полета едно множество на Какея задължително има най-голямата възможна размерност (където размерността е предефинирана по начин, който има смисъл в крайна среда). Доказателството му, което е дълго само две страници, се опира в голяма степен на факта, че когато модулът е прост, всяко множество в рамките на крайната бройна система служи като решения (или корени) на полиномно уравнение - което означава, че множеството може да бъде описано с уравнение по начин, по който множествата на Какея с реални числа не могат да бъдат описани.

Доказателството на Двир представлява първият значителен напредък по отношение на хипотезата на Какея и за момент кара математиците да се надяват, че предстои по-нататъшен напредък по отношение на евклидовата хипотеза на Какея.

Такива обаче не се появяват.

"Хората бяха много развълнувани и всички се стараехме много, но не се получи", разказва Гът.

Тогава, повече от десетилетие по-късно, Двир се завръща.

Произведения на прости числа

През ноември 2020 г. Двир и неговият дипломант Дхар решават хипотезата на Какея за крайни бройни системи, в които модулът е всяко число, което е произведение на различни прости числа, като например 15 (което е 3 × 5). Тези бройни системи изискват от Дхар и Двир да излязат извън рамките на полиномния метод. Вместо това те превръщат задачата в задача за таблици от числа, наречени матрици.

В тези матрици колоните представляват точки, а редовете - посоки. Ако в дадена точка има линия, която се движи в определена посока, се пише 1 на съответното място в матрицата. (В противен случай се въвежда 0.) По този начин матрицата кодира свойствата на множеството линии. Сега може да се изчислят свойствата на тази матрица, за да се определят свойствата на множеството. По-специално, "рангът" на матрицата е пряко свързан с размера на множеството от линии.

Дхар и Двир доказват, че рангът на тези матрици е висок, което означава, че множеството от линии е голямо, което означава, че хипотезата на Какея е вярна за тези конкретни бройни системи - всяко множество от точки, съдържащо линии във всички посоки, трябва да е голямо.

По-малко от година след резултата на Дхар и Двир, Бодан Арсовски (Bodan Arsovski) го разширява. През август 2021 г. той доказва хипотезата на Какея за крайни бройни системи, в които модулът е просто число, повдигнато на степен, например 9 (което е 3²). Това предполага хипотезата за бройна система, наречена р-адична (с основа просто число), която е безкрайна бройна система и по този начин прилича повече на реалните числа. След статията на Арсовски математиците се хвърлят да определят дали неговите методи могат да бъдат модифицирани, за да се приложат към самите реални числа.

След няколко месеца безплодни усилия стана ясно, че поне засега не могат да се приложат.

"Има малки разлики в начина, по който се държат полето на реалните числа и р-адичните полета, които правят аналогията един вид развалена", обяснява Алехо Салваторе (Alejo Salvatore), докторант в Университета на Уисконсин, Медисън.

След работата на Арсовски има още два обрата в сюжета. През октомври миналата година Дхар доказва, че хипотезата на Какея е вярна за крайни бройни системи с произволен модул. След това през февруари Салваторе потвърждава хипотезата за по-екзотични бройни системи, наречени локални полета с положителна характеристика, в които крайното поле е допълнено с променлива.

Има различни начини да се разглежда тази вълна от резултати. Единият е да се надяваме, че темпото ще продължи: Сега, когато математиците доказват истинността на хипотезата за една бройна система след друга, може би реалните числа са следващите.

Другият начин е да направим стъпка назад и да се запитаме: Защо математиците не са успели да потвърдят хипотезата на Какея за реалните числа, при положение че вече са успели да я потвърдят в толкова много други условия?

Поне един математик смята, че обяснението може да е най-очевидното от всички.

"Вече не съм сигурен, че хипотезата на Какея е вярна", заявява Гът.

Справка:

The Kakeya conjecture on local fields of positive characteristic
Alejo Salvatore, https://doi.org/10.48550/arXiv.2202.11344

The Kakeya Set Conjecture for Z/NZ for general N
Manik Dhar, https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.14889

The p-adic Kakeya conjecture
Bodan Arsovski, https://doi.org/10.48550/arXiv.2108.03750

Източник: A Question About a Rotating Line Helps Reveal What Makes Real Numbers Special,  Quanta Magazine

Още по темата

29/11/2021

Физика

Задачата за 1 млн долара - хипотезата на Риман - с неочаквано решение от физиката

14/06/2021

Математика

Нов мост между фракталната геометрия и динамиката на частичната синхронизация

16/09/2019

Математика

Този храст представя математическа хипотеза, недоказана 82 години. Сега е почти решена

14/03/2022

Математика

Денят на "пи": 3.14 е повече от парче пай