Скоростта на промените: Диференциални уравнения за мразещите математиката

Представете си, че шофирате по магистралата с постоянна скорост от 110 км/час. Ако пристигнете на местоназначението си за 2 часа, тогава лесно ще разберете, че сте изминали разстояние от 220 км. Това, което сте направили тук, без да забележите, е решаване на диференциално уравнение. Скоростта е скоростта на промяна на разстоянието във времето. От наблюдението на тази скорост на промяна вие сте изчислили стойността на количеството, което се променя, а именно разстоянието, в края на вашето пътуване.

Това, казано просто, представляват диференциалните уравнения. Когато гледаме света около нас, често това, което виждаме и което можем да измерим, е промяната: как някакво y количество се променя във времето, или пространството, по отношение на някакво друго количество x. Можем да опишем тази промяна с уравнение: това се нарича обикновено диференциално уравнение. В нашия пример с автомобила,  y бе разстояние и x - време.

Записваме $$\frac{dy}{dx}$$ за скоростта на промяна, съответното обикновено диференциално уравнение е

$$\frac{dy}{dx}=110.$$

Решаването на диференциалното уравнение се свежда до изчисляване на скоростта на промяна на y по отношение на x, стойността на y за всяка стойност на x. В примера с колата решението на обикновеното диференциално уравнение е:

За x = 2, така че след време за пътуване от 2 часа изминатото разстояние е:

$$y(2)=110\times 2=220,$$

каквото получихме и преди.  

Сега скоростта е скоростта на промяна на разстоянието във времето: това се нарича първа производна на разстоянието по отношение на времето.

Ускорението е скоростта на промяна на скоростта във времето, което я прави втората производна на разстоянието по отношение на времето. Може да продължим още. Скоростта на промяна на ускорението във времето ще бъде третата производна на разстоянието по отношение на времето и т.н., което ни дава цяла последователност от производни от по-висок порядък.

Обикновеното диференциално уравнение е уравнение, включващо количество y и неговите производни от по-висок ред по отношение на количество x.

Но все още не сме съвсем готови. Можете също така да имате уравнения, свързващи скоростите на промяна на дадено количество частични производни на y  по отношение на всяко от количествата, от които зависи.

Уравнение, включващо тези частни производни (от всички разряди), се нарича частно диференциално уравнение.

Има безброй приложения за диференциални уравнения във всички области на математиката и науката.

Източник: Maths in a minute: Differential equations, University of Cambridge

Още по темата

14/04/2025

Физика

Електромагнетизмът е свойство на самото пространство-време

27/03/2025

Математика

Откритията на математика, взел Абел за 2025 - обяснено за лаици

06/03/2025

Космос

Гравитация от ентропията: Революционна теория свързва квантовата механика и теорията на относителността

28/05/2015

Физика

Котката на Шрьодингер. Различни интерпретации на квантовата неопределеност