Вълна. Основни формули и зависимости. Дифракция и интерференция

Вълните са навсякъде около нас - вълните на океана, звуците, които чуваме, светлината, повечето явления около нас имат вълнов характер. Поведението на самите частици, от които е изградена материята, според квантовата механика, също се описват като вълни. 

Какви качества, свойства или поведения обикновено характеризират една вълна? Каква е нейната природа? 

Вълна. Основни формули и зависимости

Под вълна се разбира всякакво колебаещо се явление (периодично или не) в пространството и времето явление, редуване на максимуми и минимуми на каква да е физична величина: температура, напрежение на електрическото поле, плътност. Природата на вълновия процес може да бъде и механична, и електромагнитна, и химическа, например автокаталитичната циклична реакция на Белоусов -Жаботински.

Видове вълни

• По начин на разпространение в пространството: стоящи, бягащи.
• По характера на вълните: колебателни, самотни (солитони) - такива са цунами, нервните импулси.
• По тип на вълните: напречни, надлъжни, смесен тип.
• По законите, описващи ги: линейни, нелинейни.
• По свойствата на средата: вълни в дискретни структури, вълни в непрекъсната среда.
• По геометрия: сферични (пространствени), едномерни (плоски), спирални.

Още един важен белег - дали е необходима среда:

• Механичните вълни се разпространяват с помощта на среда, като същността им представлява деформация на тази среда, например звуковите вълни.
• Вторият тип вълна, електромагнитните вълни, не се нуждаят от среда. Те представляват периодични колебания в електрически и магнитни полета, генерирани от заредени частици и следователно могат да се разпространяват и през вакуум. Тези вълни според дължина си са: радиовълни, инфрачервена радиация, видима светлина, ултравиолетови лъчи, рентгенови лъчи и гама лъчи .

Най-често вълните пренасят енергия, но има случаи, когато самата вълна е пренос на материя през абсолютна пустота. Такъв пример са вълните на вероятностното положение на електрона.

Елементи на вълната

Вълните са периодични и във времето и в пространството.

Периодичност в пространството λ = 2.π/k

Периодичност във времето T = 2.π/ω

Фронт на вълната – линията, преминаваща по върховете на гребените на дадената вълна, която се определя по множество вълнови профили, проведени по основното направление на разпространение на вълните. Лъч на вълната – линия, която е перпендикулярна на фронта на вълната в дадена точка.  

Елемент	Знак	Взаимоотношения/описание/схема	мярка
Амплитуда	A	Амплитудата е максималното отклонение на частиците от равновесното им положение. A||k Надлъжна вълна Ak Напречна вълна
Вектор на вълната	k	Това е вектор, който описва вълната, чиято посока определя посоката на разпространение на вълната.	-
Вълново число	k	Вълновото число e безразмерна характеристика на вълната, изразяваща броя дължини на вълните за 2π единици разстояние. То е и големината на вълновия вектор, k = |k|, k = 2.π/λ	1/m
Дължина на вълната	λ	Дължината на вълната λ е пътят, който вълната изминава за един период или разстоянието между два съседни гребена или разстоянието между два съседни вълнови фронта , λ = 2.π/k	m
Период на вълната	Т	Период – времето, за което се изминава една дължина на вълната, периодът е реципрочен на честотата, Т = 1/ƒ	sec
Честота	ƒ	Честотата  е броят периоди за единица време. ƒ = 1/Т = ω/2.π Вълни с еднаква честота, но в различна фаза Вълни с различна честота (период)	Hz
Ъглова честота	ω	Ъгловата честота ω е скаларна мярка на векторната величина на ъгловата скорост. Представлява скоростта на въртене. ω = 2π.ƒ = 2π/Т k = f(ω) - Когато фазовата скорост или груповата скорост  зависи от честотата на вълната, възниква дисперсия	rad/sec
Фазова скорост	vP	Фазовата скорост е скоростта на преместването на точка, имаща постояння фаза на  колебания в пространството по продължение на зададеното направление, vP = ω/k = λ.ƒ = λ/Т Червена точка се движи с фазова скорост, а зелените точки се разпространяват с групова скорост.	rad/sec
Групова скорост	vG	Скоростта, с която се разпространява вълната, vG= dω/dk Групова скорост и фазова скорост, движещи се в различни посоки.	m/sec
Фаза	φ	Фазата определя състоянието на вълната във всеки момент от време. φ = k .r - ωt Фазата също може да бъде израз на относителното изместване между вълни, които имат една и съща честота .	rad(o)

Илюстрациите са от de.wikipedia.org

Вълнови функции

На езика на математиката, вълна е това явление, което може да се опише с вълнова функция A(r,t). Тя дава деформацията A за мястото r , в момента t. Функции от този тип описват вълните като непрекъснати пространствени колебания. Да се изведе обща функция за всеки вид вълна не е лесно. Най-честите решения са за хармонична плоска вълна и за сферична вълна.

Хармонична/монохроматична вълна

Трептене, което се извършва под действието на сила, която е пропорционална на отклонението от равновесното положение и винаги е насочена към равновесното положение, се нарича хармонично трептене. Хармоничната вълна е вълна, всяка точка от която извършва  хармонични трептения, разпространяваща се в безкрайна динамична система. Хармоничната вълна се нарича и монохроматична, т.е. с постояннта честота и амплитуда.

Има две функции, които отговарят на критерия за постоянна честота и постоянна амплитуда - това са синус и косинус функциите. Уравнението по-долу използва функцията на косинус за да представи плоска хармонична вълна, която се разпространява в положителната посока на оста х.

А(x,t) = A_оcos(kx - ωt + φ), където

• А(x,t) е големината на вълната или деформацията в даден момент в пространството и времето.
• A_ое амплитудата на вълната.
• k е на вълновото число, равно на 2π / λ , където λ е дължината на вълната, то ее мярка колко бързо колебанието се променя през определено разстояние в определен момент във времето.
• x е точка по оста X, Y и Z не са част от уравнението, защото големината на вълната и фазата й са едни и същи във всяка точка на която и да е YZ равнина.
• ω е ъглова честота , което се равнява на 2π / T , където Т е периода на вълната, ω е мярка колко бързо колебанието се променя в пространството за единица време.
• t е времето
• φ е изместването на фазата на вълната. Имайте предвид, че едно изместване на фазата със знак плюс, в даден момент от време, измества вълна в отрицателната посока на оста х. Изместване на фазата на 2π радиана измества точно една дължина на вълната.

Вълновата функция може да се сведе и до вид с комплесен степенен показател: А(x,t) = A_оe^i(kx-ωt)

Вълнови уравнения в квантовата механика

Движението на квантова частица с определена енергия и импулс (произведението на маса и скорост) се свързва с плоската вълна на де Бройл и се описва с вълновата функция Ψ(r,t):

Ψ(r,t) =A_оcos( ωt - kr) , в която

• r e радиус вектор по направление на разпространението,
• A_о е амплитуда и има  комплексна стойност,
• k е вълновия вектор и
• ω е ъглова честота .

Обаче, в общия случай (произволно движение на частиците в произволни силови полета) състоянието на една частица в квантовата механика се дава с по-сложна, комплексна функция Ψ(r, t), която трябва да разгледаме по-подробно в специална публикация.

Дифракция

Исак Нютон пише в трактата си от 1704г. върху теорията на оптичните явления ( Opticks ), че "светлината никога не следва криви пътища, нито се огъва в сянка". Той обяснява това с факта, че частиците на светлината се движат по права линия. За големи мащаби тази хипотеза се подкрепя от привидно острите ръбове на сенките, образувани от лъчите на слънцето. 

В много по-малки мащаби, когато светлинните вълни преминават близо до краищата на препятствията, те се огъват около тях и се разпространяват по наклонени ъгли. Този феномен е известен като дифракция на светлината и се случва, когато светлинните вълни преминават много близо до ръба на обект или през малък отвор. Дифракция, от лат. diffractus, буквално означава счупен, пречупен.

Първоначално се тълкува като отклонението на вълните от праволинейното им разпространение при препятствия, проникването на вълната в геометричната сянка. Проявявява се най-силно, когато преградите или отворите са близки по размер до дължината на вълната.

Тези схеми показват как влияе големината на преградите/отворите върху характера на дифракцията. Схеми: physics.info

Днес дифракцията се свързва с широка гама от вълнови явления:

• промяна на пространствената структура на вълни. В някои случаи, тази трансформация може да се разглежда като "огъване" на вълните при препятствия, в други случаи - като разширяване на ъгъла на разпространение на вълновия сноп лъчи;
• разлагане на вълните по честотния им спектър;
• поляризация на вълните;
• промяна на фазовата структура на вълните.
• няма разлика във физичната същност на дифракцията и интерференцията.
• според Файнман, светлинните лъчи могат да имат всякакви траектории, но някои от тях са по-вероятни от други. 

Защо възниква дифракцията. Дифракционна картина

Дифракция възниква заради начина, по който се разпространяват вълните. Той се описва от принципът на Хюйгенс-Френел и принципът на суперпозиция на вълните.

Принцип на Хюйгенс-Френел

Принципа, който Кристиан Хюйгенс въвежда през 1678 г. и по-късно е допълнен от Огюстен Френел се формулира така:

Всеки елемент от вълновия фронт може да се разглежда като център на вторично трептене, пораждащо вторични сферични вълни, а полученото светлинно поле във всяка точка от пространството ще се определя от наслагването (суперпозицията) на твзи вълни.

Фронтът на вълната на точков източник в еднородно пространство представлява сфера. Амплитудата във всяка точка от този сферичен фронт е еднаква.

Пречупване (рефракция)

Дифракция

Илюстрация: wikipedia

Принцип на суперпозицията

Принципът на суперпозицията е един от най-общите закони във физиката. Най-просто формулирано гласи:

Резултатът от въздействието на няколко сили е сумата от тях.

В линейни среди вълните се разпространяват независимо една от друга, т.е. вълните не изменят свойствата на средата, а всяка вълна се разпространява така, като че ли друга не съществува. Това позволява да се изчисли резултантната вълна като сума на всички вълни, разпространяващи се в дадена среда.

Важно е да отбележим, че този принцин е в сила само при линейни системи. Това означава, че когато търсим резултатът C от влиянието на явленията (или сили, материални обекти) A и B, резултатът C не трябва да зависи от взаимодействието между A и B. Само тогава важи принципа на суперпозицията, т.е. F_C= F_A+F_B

Илюстрация: wikipedia

Standing Waves

Всички точки от фронта трептят в една и съща фаза, но в дадена точка от екрана те ще пристигат с фазова разлика, поради разликата в разстоянията, които ще изминат от различни точки на отвора. Когато фазите съвпаднат се получава ярко петно, а когато се настигнат с 180о разлика, взаимно "се гасят" и така се получава дифракционна картина от поредица от максимуми и минимуми.

Илюстрация: bgchaos, по идея на britannica

Снимка: astro.queensu.ca

Съгласно теорията на Нютон, сянката на малък обект на силна светлина би трябвало да е ясно очертана и "остра".  Всъщност съществува преходен район, в който степента на осветеност варира непрекъснато и се наблюдават дифракционни "пръстени". На фигурата вляво може да видите серия от тъмни линии, успоредни на ръба на бръснача.

Интерференция

Интерференцията (на английски : interference, interfere — сблъскване, намеса ; на латински : ferio - удрям, поразявам) представлява  преразпределение на интензивността на светлината в резултат на наслагване на няколко светлинни вълни като се събират техните амплитуди.

Интерференция се наблюдава при всички видове вълни - върху повърхност (във вода), напречни и надлъжни акустични, електромагнитни (светлина, радиовълни ), вълни на дьо Бройл. Това явление се проявява с редуващи се в пространството максимуми и минимуми на интенсивност, което се нарича интерференчна картина.

Каква е разликата между дифракция и интерференция? Кохерентност

Всъщност и според квантовият физик Ричард Файнман "никой никога не е бил в състояние да определи разликата между интерференция и дифракция задоволително." Това е просто въпрос на приемане, без съществена разлика във физическата същност на двете явления - и двете се изразяват в преразпределение на интензивността на вълновия поток чрез наслагване (суперпозиция) на кохерентни вълни.

Кохерентност означава съгласуваност. Две или повече колебания са кохерентни, ако разликата на техните фази остава постоянна във времето.

Прието е, че когато суперпозиция на вълните е предизвикана от краен брой отделни кохерентни източници да се нарича интерференция, а дифракция - когато имаме суперпозиция на вълни от непрекъсната област от източници. Например когато имаме два тесни отвора е интерференция, а при един широк отвор - дифракция.

Източници:

Welle, Wellenfunktion
Huygens -Fresnel principle
Принцип Гюйгенса — Френеля
Light, arizona.edu
Superposition of Waves, Daniel A. Russell, Ph.D.Graduate Program in AcousticsThe Pennsylvania
Superposition principle
Колебания и волны, Парфёнов А. Г.
Оптика, лекции на доц. д-р Т. Йовчева, ПУ "Паисий Хилендарски"
Элементы квантовой механики и физики атомов, Матклуб
Diffraction Dilemmas!
Interference, Boston University, Physics Department
Interference (wave propagation) 
Квантовата механика се намесва и във фотосинтезата 
Теория Относительности Эйнштейна и ее критика
СТОЯЧАЯ ВОЛНА - ВЕРХОВНЫЙ УЧИТЕЛЬ ФИЗИКИ , Георгий Петрович Иванов