Използвайки случайността, трима математици доказаха елегантен закон, който лежи в основата на хаотичното движение на турбулентните системи.
Представете спокойна река. Сега си представете пороен бурен поток. Каква е разликата между двете? Според математиците и физиците тя е, че в реката с гладка повърхност всяка елементарна струйка се движи успоредно на всяка друга и всички текат в една посока, докато поройната бурна река тече едновременно в най-различни посоки.
Физическите системи от този вид случайно, хаотично движение се наричат турбулентни. Фактът, че движението им се развива по толкова размообразни начини, затруднява математическото им изучаване. Поколения математици са се опитвали и не са успявали да опишат бурно течение в точни математически изрази.
Инженерите да проектират по-добър реактивен самолет с математически уравнения, което драстично да намали нуждата от експериментални тестове, моделите за прогнозиране на времето да могат да предсказват подробно движението на топлината от океана в ураган - тези неща са невъзможни сега, но биха могли да станат възможни в бъдеще с едно по-пълно математическо разбиране на законите на турбулентността.
Сега екип математици доказаха, че макар някои турбулентни системи да изглеждат нерешими, всъщност съответстват на прост универсален закон. Тази работа е едно от най-строгите описания на турбуленцията, създавани някога от математиката. И произлиза от нов набор методи, които променят начина, по който изследователите изучават това досега неуловимо явление.
„Това може би е най-обещаващият подход към турбуленцията“, разказва Владимир Сверак (Vladimir Sverak), математик от Университета в Минесота и експерт в изследването на турбулентността.
Новата работа представя начин за описание на модели в движещи се течности. Тези модели (патерн) са очевидни в бързите температурни колебания между близки точки в океана и хаотичния, стилизиран начин, по който се смесват бяла и черна боя. През 1959 г. австралийски математик на име Джордж Батчелор прогнозира, че тези модели следват точен, контролиран ред. Новото доказателство потвърждава истинността на "закона на Батчелор" (“Batchelor’s law”)
"Ние виждаме закона на Батчелор навсякъде", разказва Джейкъб Бедросян (Jacob Bedrossian), математик от Университета в Мериленд, Колидж Парк и съавтор на доказателството с Алекс Блументал (Alex Blumenthal) и Самюъл Пуншон-Смит (Samuel Punshon-Smith). „Доказвайки този закон, ние разбрахме колко е универсален“.
Турбуленцията
Макар че разпенените води на реката не са точно същият вид турбуленция като в новото доказателство, те са тясно свързани и по-познати. Да разгледаме още един пример, преди да стигнем до специфичния вид турбуленция, който анализират математиците.
Представете си кухненска мивка, пълна с вода. Отваряте изтичането. Водата в мивката ще започне да се върти почти като едно тяло. Ако увеличите мащаба на течността и измерите скоростта й в по-малък мащаб, пак ще видите едно и също нещо - всяка микроскопична част от флуида се движи заедно с останалите.
А сега си представете, че вместо просто да източвате водата, бяхте издърпали тапата като същевременно отворите крана към мивката и я разклатите като джакузи. Изберете един от вихрите и го увеличете. Ако сте математик, който се опитва да анализира потока на турбулентната мивка, може да се надявате, че всяка частица вода в рамките на избрания вихър се движи в една и съща посока. Това би улеснило задачата за моделиране на течността.
Но уви, вместо това ще откриете, че самият вихър се състои от много различни по-малки вихри, всеки от които се движи по свой начин. Увеличете един от тях и ще видите, че и той се състои от много различни вихри и така нататък, докато ефектите на вътрешното триене (или вискозитета) в течността станат забележими и потокът се изглажда.
Това е отличителният белег на турбулентните системи - те се отличават с различно поведение, вложено в различни мащаби. За да опишете напълно движението на турбулентна система, се нуждаете от картина за това какво се случва във всички тези мащаби във всеки момент във времето. Не можете да пренебрегнете нито един от тях.
Това е сложна задача, подобна на моделирането на траекторията на билярдни топки, използвайки всичко от движението на Земята през галактиката до взаимодействията между газовите молекули около топките.
„Трябва да св вземе предвид всичко наведнъж, което е неимоверно трудно да се моделира“, коментира Жан-Люк Тифо от Университета на Уисконсин, който изучава турбуленцията.
Затова математиците са прекарали десетилетия в опити да създадат описание на турбуленцията, което да конкретизира точно какво се случва във всяка точка на една турбулентна система, във всеки момент във времето. И не са успели.
„Турбуленцията е твърде трудна за нас“, заяви Тифо.
Това важи за бурните реки и източването на мивките. Вярно е и за конкретния вариант на турбуленция в новото доказателство.
Смесване
Мивката и реката са примери за хидродинамични турбуленции. Те са турбулентни в смисъл, че скоростта и посоката на флуида варират много от точка до точка. Новата работа обаче е за други свойства, не за вектора на скоростта, който може да варира много от точка до точка на флуида. Един по-близък пример е смесването на бои.
Започваме с контейнер с бяла боя. Добавяме капки черна боя, по една в секунда, като разбърквате в същото време. Първата капка ще капне в бялата боя и ще се открои като остров. Но скоро ще започне да се смесва с бялата боя, издължавайки се във все по-фини влакна. Следващите капки черна боя ще се намират на различни етапи на една и съща трансформация: разтягане, издължаване, включване в сивеещата маса на боята.
По същия начин, по който скоростта варира от точка до точка в мивката, концентрацията на черна боя ще варира от точка до точка в смесващите се бои: по-концентрирана на някои места (в по-дебелите форми) и по-малка на други.
Тази промяна е пример за „пасивна скаларна турбулентност“. Същото се случва, когато смесите една течност, считана за „пасивен скалар“, с друга - мляко в кафе например.
Пасивната скаларна турбулентност също характеризира много явления в естествения свят като големите колебания на температурата между близки точки в океана. В тази среда океанските течения „смесват“ температурата по начина, по който разбъркането смесва черната боя с бялата.
Законът на Батчелор е прогноза за ението между мащабни явления (плътни участъци боя или широки ивици океанска вода с една и съща температура) и явления с по-малки мащаби (по-тънки ивици), когато се смесват един флуид с друг. Нарича се закон, защото физиците го наблюдават в експерименти от години.
„От гледна точка на физиката, е достатъчно добър, за да го наречем закон“, коментира Пуншон-Смит, математик от Университета Браун. Но преди тази работа нямаше математическо потвърждение, че това е абсолютен.
За да усетим какво е имал предвид Батчелор, да се върнем към боята. Представете си, че сте управлявали процеса за известно време, добавяйки капки черна боя, докато разбърквате. Сега да замразим снимката. Ще видите плътни ивици черна боя (боя, която е разбърквана най-малко време), заедно с по-тънки ивици (боя, която е разбърквана по-дълго) и още по-тънки ивици (боя, която е разбърквана още по-дълго).
Илюстрация: LUCY Reading-IKKANDA / QUANTA MAGAZINE; QIZHENG YAN И DAVID SAINTILLAN (UCSD) (INSETS). Превод: НаукаOFFNews
Законът на Батчелор предвижда, че броят на дебелите, по-тънките до най-тънките ивици отговаря на точно съотношение, както фигурките на руските матрьошки следват точна пропорция. (в този случай една фигурка отговаря на мащаба на дължините).
„В даден участък флуид могат да се видят ивици с различни мащаби, тъй като някои капчици едва са започнали да се смесват, а други се смесват от по-дълго време“, обяснява Блументал. "Законът на Батчелор обяснява разпределението на размерите на тези ивици черна боя".
Точното съотношение, което прогнозира законът, е сложно да се опише, но по-тънките ивици ще бъдат по-многобройни от по-дебелите в точно определена пропорция.
Законът предвижда, че съотношението се запазва, дори когато се увеличи участъкът от флуида. Ще се види точно същата връзка между ивиците в различни мащаби - и в кутията за боя, и в малък участък от боята, ако увеличите мащаба в още по-малък участък, пак ще се види. Моделът изглежда еднакъв при всеки мащаб, точно както се случва при хидродинамичната турбулентност, където всеки вихър съдържа други вихри.
Това е важна прогноза, която също е много трудно да се моделира математически. Сложното влагане едно в друго на явления от различни мащаби на дължините прави невъзможно точно да се опише проявата на закона на Батчелор в един поток от флуиди.
Но авторите на новата работа откриват как да заобиколят тази трудност и така или иначе да докажат закона.
Случайността може да се победи със случайност
Бедросян, Блументал и Пуншон-Смит приемат подход, който отчита средното поведение на флуидите във всички турбулентни системи. Математиците са опитвали тази стратегия и преди, но никой не е успявал да я приложи успешно.
Подходът работи, защото случайността (рандомизирането) понякога улеснява правилните прогнози за поведението на системата.
Дъската на Голтън е устройство, изобретено от английския учен Франсис Голтън. Тя представлява кутия с прозрачна предна стена. В задната стена са забити шахматно щифтове. Отгоре през фунията се хвърлят топчета в кутията и те рикошират от пръчка на пръчка, докато всяко се установи в един от многото слотове в долната част. Трудно е да се предскаже къде точно ще падне едно топче - има твърде много фактори, които влияят на начина, по който отскачат при всяка пръчка.
В идеалния случай, сблъсквайки се с щифт, топчето всеки път с еднаква вероятност може да тръгне надясно или наляво. Топчетата в дъното на кутията образуват колони, които са толкова по-високи, колкото са по-близо до средата на дъската (с достатъчно голям брой топки, появата на колоните се приближава до кривата нормалното разпределение).
Системата може да се разглежда като случайна - при всеки щифт има еднаква вероятност топчето да отскочи наляво или надясно. Знаейки правилните вероятности можете да направите точни прогнози за поведението на системата като цяло. Например, може да откриете, че топчетата мотат да паднат с по-голяма вероятност в определени слотове в сравнение с други.
"Хубавото на случайността е, че може да правите неща като усредняване", отбелязва Тифо. „Усредняването е много яка идея в смисъл, че не са нужни много детайли.“
И така, какво означава това за турбуленцията и смесването на боя? Тъй като точните, детерминирани твърдения са извън недостъпни за математиката, е по-полезно да си представим, че силите, действащи върху боята, се появяват на случаен принцип - понякога се разбърква по един начин, понякога се разбърква по друг начин, без основен модел на разбъркването. Това е известно като случаен (рандъм) или стохастичен подход. Това позволява на математиците да възприемат статистическата представа на високо ниво и да изследват какво се случва в този тип системи като цяло, без да се затъват в спецификата на всеки детайл.
„Малко случайност позволява да се разрешат трудностите“, коментира Пуншон-Смит.
И точно това позволи на тримата математици да докажат закона на Батчелор.
Разбиране на смесването
Един от начините за доказване на физически закон е да се разсъждава за обстоятелствата, при които законът няма да действа. Ако можете да докажете, че тези обстоятелства никога няма да се случат, също доказвате, че законът винаги е в сила.
В този случай екипът разбира, че разбъркването би трябвало да доведе до много специфични ефекти, за да не се случат ивиците, предвидени от закона на Батчелор.
Тяхното доказателство на закона се основава на четири документа, публикувани онлайн между септември 2018 г. и ноември 2019 г. Първите три се фокусират върху разбирането и изключването на конкретни предположения в смесващата се боя, които биха попречили да се сбъдне прогнозата на Батчелор. Те доказват, че дори и да се опитате да приготвите флуид, перфектно проектиран да победи закона на Батчелор, моделът пак ще се появи.
Например, законът на Батчелор би се провалил, ако процесът на смесване произведе постоянни вихри или водовъртежи в боята. Тези водовъртежи щяха да уловят и съберат на едно място черната боя - както водовъртежът в реката събира отломки в центъра си - и боята нямаше да се смеси.
„В такъв вихър траекториите на частиците не са хаотични, те не се разпръскват бързо, защото обикалят заедно", обяснява Бедросян. „Ако системата ви не се смесва с правилната скорост, няма да получите закона на Батчелор.“
В първата си статия математиците се фокусират върху това, което се случва по време на процеса на смесване, върху две точки черна боя, които започват процеса непосредствено една до друга. Те доказват, че точките следват хаотични траектории и се отдалечават в своите си посоки. С други думи, близките точки никога не могат да се съберат във водовъртеж, който да ги държи затворени завинаги.
„Частиците първоначално се движат заедно“, разказва Блументал, „но в крайна сметка се разделят и се движат в съвсем различни посоки.“
Във втория и третия документ математиците разглеждат по-широко процеса на смесване. Те доказват, че в хаотичен флуид, най-общо казано, черната и бялата боя се смесват възможно най-бързо. Те установяват също, че турбулентните флуиди не образуват локални дефекти (вихри), което би попречило на изящната глобална картина, описана от закона на Батчелор.
В тези първи три статии авторите използват сложна математика, необходима, за да докажат, че боята се смесва по прецизно хаотичен начин. В четвъртата статия те показват, че във флуид с такива свойства смесването следва закона на Батчелор.
Доказателството е едно от най-силните математически строги твърдения, правени някога за турбулентните системи. По-важното е, че отваря пътя за нов поток математически идеи. Турбуленцията е хаотично явление, почти случайно в своето движение. Тримата математици показаха как случайността може да се пребори със случайност. Другите почти сигурно ще последват техния пример.
„Мисля, че случайността е един от малкото начини за създаване на модел на турбулентност, който математически можем да разберем“, заяви Тифо.
Разбирането на основните физически принципи, стоящи зад повечето закони на турбуленцията, в крайна сметка би могло да помогне на инженерите и физиците при проектирането на по-добри превозни средства, вятърни турбини и подобни технологии или при изготвянето на по-добри прогнози за времето и климата.
Източник:
Mathematicians Prove Universal Law of Turbulence, Quanta magazine
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари