Математици решават числова загадка от 19-ти век и доказват "хипотезата на Патерсън"

Математиците от Калифорнийския технологичен институт Алекс Дън и Максим Радзивил успяват да докажат "хипотезата на Патерсън".

Една объркваща характеристика на числата, на която за първи път се натъква немският математик Ернст Кумер, обърква изследователите през последните 175 години. В един момент през 50-те години на миналия век тази странна особеност на теорията на числата е смятана за погрешна, но след това, десетилетия по-късно, математиците откриват намеци, че тя всъщност е вярна. Сега, след няколко обрата, двама математици от Калтех най-накрая откриват доказателство, че Кумер е бил прав през цялото време.

"Имахме няколко момента на прозрение, но след това трябваше да запретнем ръкави и да разберем това", обяснява Александър Дън (Alex Dunn) , докторант в Калифорнийския технологичен институт или Калтех и преподавател по математика, който е написал доказателството заедно със своя съветник, професора по математика Максим Радзивил (Maksym Radziwill), и го е публикувал онлайн в arХiv през септември 2021 г.

Математическият проблем е свързан със сумите на Гаус, които са наречени на името на прочутия математик от XVIII в. Карл Фридрих Гаус. Когато Гаус бил млад, той изумил съучениците си, като бързо разработил формула за събиране на числата от 1 до 100. По-късно Гаус разработва сложна концепция, известна като суми на Гаус, която лесно картографира разпределението на решенията на уравненията. Той разглежда разпределението на т.нар. квадратични суми на Гаус за нетривиални прости числа (прости числа, които имат остатък от 1, когато се разделят на 3) и открива "красива структура", по думите на Радзивил.

Тази сума включва вид математика, известна като модулна аритметика. Лесен начин да разберете модулната аритметика е да си представите часовник и неговия циферблат, разделен на 12 часа. Когато наближи обяд или полунощ, числата се нулират и се връщат на 1. Тази система "модулно делене на 12" опростява отчитането на времето, тъй като не е необходимо да броим часовете до безкрай.

В случая със сумите на Гаус действа същата идея, но основният "циферблат" е разделен на p часа, където p е просто число.

"Математиката на модулно делене на p е начин да се премахне излишната информация и да се опростят невъзможно сложните уравнения", обяснява Радзивил.

Гаус е избрал някакво просто число p, след което сумира числата с формат: $// <![CDATA[ e^{\frac{2iπn^2}{p}} // ]]>$

От самото начало квадратичните суми на Гаус се оказват безценни за задачи като преброяване на решения на определени видове уравнения.

„Оказва се, че сумите на Гаус са магически, че те просто правят чудесни неща по Бог знае каква причина“, коментира Джефри Хофщайн (Jeffrey Hoffstein), математик от Университета Браун.

През XIX в. Кумер се интересува от разпределението на кубичните суми на Гаус (където n² в експонентата се заменя с n³) за нетривиални прости числа, или в система модулно делене на p (modulo p). Той направил това на ръка за първите 45 нетривиални прости числа и нанесъл отговорите един по един на числова линия.

Проучвайки резултатите си, Кумер забелязва нещо интересно. На теория сумите могат да бъдат всичко между −1 и 1 (след като бъдат „нормализирани“ — разделени на подходяща константа). Но когато прави изчисленията си, той открива, че те са разпределени по странен начин. Половината резултати са между ½ и 1 и само една шеста от тях са между -1 и -½. Те изглежда се струпват около 1.

Резултатът бил неочакван: решенията не били случайни, а имали тенденция да се струпват към положителния край на линията.

Кумер излага своите наблюдения, заедно с хипотезата си: Ако по някакъв начин успеете да начертаете всички безкрайно много кубични суми на Гаус, ще видите повечето от тях между ½ и 1; по-малко между −½ и ½; и още по-малко между −1 и −½.

"Когато се занимаваме с разпределението на естествените обекти в теорията на числата, наивното очакване е, че има равномерно разпределение, а ако не е така, трябва да има много убедителна причина", посочва Дън. "Ето защо беше толкова шокиращо, че Кумер твърди, че това не е така за кубовете".

_{Максим Радзивил. Кредит: Caltech}

По-късно, през 50-те години на миналия век, изследователи, ръководени от покойния Хедвиг Селберг (Hedvig Selberg) от Института за напреднали изследвания, използват компютър с 1700 вакуумни тръби, наречен IAS, за да изчислят кубичните суми на Гаус за всички нетривиални първични числа, по-малки от 10 000 (около 500 първични числа). Когато решенията са били нанесени на числовата линия, отклонението, наблюдавано от Кумер, изчезва. Решенията изглеждали със случайно разпределение.

С убедителното доказателство, че предположението на Кумер е погрешно, математиците започват да се опитват да разберат кубичните суми на Гаус по по-задълбочен начин, който надхвърля простото изчисление.

Този процес вече е завършен. През 1978 г. математикът Самюъл Патерсън (Samuel Patterson) се осмелява да намери решение на математическата загадка на Кумер, но не успява да го докаже. Миналата есен двама математици от Калифорнийския технологичен институт доказват предположението на Патерсън, с което най-сетне се приключва загадката на Кумер от 1846 г.

За първи път Патерсън се запалва по проблема като аспирант в Кеймбриджкия университет през 70-те години на миналия век. Предположението му е мотивирано от това, което се случва, когато числата се поставят произволно навсякъде между -1 и 1. Ако съберете N от тези случайни числа, типичният размер на сумата ще бъде $// <![CDATA[ \sqrt{N} // ]]>$ (може да бъде положителна или отрицателна). По същия начин, ако кубичните суми на Гаус са разпръснати равномерно от -1 до 1, ще се очаква N от тях да се сумират приблизително до $// <![CDATA[ \sqrt{N} // ]]>$ .

Имайки предвид това, Патерсън сумира N кубични суми на Гаус, като пренебрегва (за момента) изискването да се придържа към прости числа. Той открива, че сумата е около N^5/6 - по-голяма от  $// <![CDATA[ \sqrt{N} // ]]>$ (което може да се запише като N^1/2, но по-малка от N. Тази стойност означава, че сумите се държат като случайни числа, но със слаба сила, която ги притиска към положителни стойности, наречена отклонение. Тъй като N става все по-голямо и по-голямо, случайността започва да надделява над отклонението и така, ако по някакъв начин се разгледат всички безкрайно много кубични суми на Гаус наведнъж, те ще изглеждат равномерно разпределени.

Това на пръв поглед обяснява всичко: изчисленията на Кумер, показващи отклонение, както и изчисленията на IAS, опровергаващи такова.

Но Патерсън не успява да направи същите изчисления за простите числа, така че през 1978 г. той официално го записва като предположение, което сега се нарича "хипотезата на Патерсън": Ако съберете кубичните суми на Гаус за простите числа, би трябвало да получите същото поведение като при N^5/6.

Той осъзнава, че отклонението в разпределението на решенията може да бъде преодоляно, когато размерът на извадката става все по-голям.

Това означавало, че Кумер е бил прав - нещо странно се случвало с неговите суми за 45 първични числа. Но доказването на причината за това е трябвало да почака до миналата година, когато Дън и Радзивил най-накрая го разгадават.

"Изкривяването, което се наблюдава при няколко числа, е като да имате физически невъзможна монета, която е леко натежала към ези, но става все по-малко и по-малко такава, колкото по-често я хвърляте", обяснява Радзивил.

Двамата изследователи от Калтех решават да работят заедно, за да се опитат да разрешат проблема с хипотезата на Патерсън преди около две години. Те не са прекарвали много време заедно в кампуса поради пандемията, но се сблъскват на паркинг в Пасадена и започват да разговарят. Решили да се срещат в парковете, за да работят по проблема, където да записват математическите си доказателства на листове хартия.

"Току-що бях дошъл в Калтех и не познавах много хора", разказва Дън. "Така че беше наистина страхотно да се сблъскам с Макс и да можем да работим заедно по проблема лично."

_{Алекс Дън. Кредит: Caltech}

Тяхното решение се основава на работата на Роджър Хийт-Браун (Roger Heath-Brown) от Оксфордския университет, който в края на 70-те години на миналия век е гледал лекция на Патерсън в Кеймбриджкия университет. Хийт-Браун и Патерсън работят в екип по проблема, а след това, през 2000 г., Хийт-Браун разработва инструмент, известен като кубично голямо сито, за да помогне за доказване на предположението на Патерсън.

За да използва голямото кубично сито, Хийт-Браун използва серия от изчисления, за да свърже сумата от кубичните суми на Гаус с различна сума. С този инструмент Хийт-Браун успява да покаже, че ако съберете кубичните суми на Гаус за прости числа, по-малки от N, резултатът не може да бъде много по-голям от N^5/6. Но Хийт-Браун смята, че може да се справи по-добре - че самото сито може да бъде подобрено - така че да намали границата точно до N^5/6 , като по този начин докаже хипотезата на Патерсън. 

Той се доближава до него, но пълното решение остава недостижимо.

Дън и Радзивил, както и Хийт-Браун преди тях, смятат, че кубичното голямо сито е необходимо за тяхното доказателство. Но когато използват формулата, която Хийт-Браун е записал в статията си от 2000 г. - формулата, която той смята за най-доброто възможно сито, предположение, което общността на теорията на числата е приела за вярно - те осъзнават, че нещо не е наред.

"Успяхме да докажем, че 1 = 2, след много, много сложна работа", разказва Радзивил.

В този момент Радзивил е сигурен, че грешката е тяхна. "Бях донякъде убеден, че по принцип имаме грешка в нашето доказателство." Дън го убеждава в обратното. Кубичното голямо сито, противно на очакванията, не можело да бъде усъвършенствано.

Дън и Радзиуил разгадават проблема, когато разбират, че ситото не работи правилно или има "бариера", която те успяват да отстранят.

Дън и Радзивил публикуват статията си на 15 септември 2021 г. В крайна сметка тяхното доказателство се основава на обобщената хипотеза на Риман, известно недоказано предположение в математиката. Но други математици виждат това като малък недостатък.

"Успяхме да пренастроим подхода си. В математиката можете да попаднете в капана на определена линия на мислене, а ние успяхме да избягаме от това", обяснява Дън. "Спомням си, че когато преживях един от моментите на прозрение, бях толкова развълнуван, че изтичах да намеря Макс в Червената врата [кафене в Калтех] и го помолих да дойде в кабинета ми. След това започнахме тежката работа по разгадаването на всичко това."

Справка:

“Bias in cubic Gauss sums: Patterson’s conjecture” by Alexander Dunn and Maksym Radziwill, 15 September 2022, Mathematics > Number Theory. arXiv:2109.07463

The distribution of Kummer sums at prime arguments.
Heath-Brown, D.R.
Patterson, S.J.
Journal für die reine und angewandte Mathematik

Източници:

Caltech Mathematicians Solve 19th Century Number Riddle, California Institute of Technology

A Numerical Mystery From the 19th Century Finally Gets Solved, Quanta Magazine

Още по темата

10/11/2022

Математика

Защо математиците изучават възли (видео)

25/10/2022

Математика

Еварист Галоа: Живял 20 години, но променил коренно математиката

29/11/2021

Физика

Задачата за 1 млн долара - хипотезата на Риман - с неочаквано решение от физиката

30/04/2022

Новини

На 30 април 1777 г. се ражда принцът на математиката Карл Гаус