Наградата Абел 2023 г: Математиката на промените и готварството на Луис Кафарели

Ваня Милева Последна промяна на 23 март 2023 в 00:01 1858 0

турбулентен поток

Кредит Argonne National Laboratory

Прогноза на многомащабни, многофизични явления на турбулентен поток чрез неструктурирана симулация на големи вихри

Наградата "Абел" за 2023 г. е присъдена на математика Луис Кафарели (Luis A. Caffarelli) от Тексаския университет в Остин, САЩ, за работата му върху това, което може да се разглежда като математика на промяната.

Наградата "Абел" е едно от най-високите отличия в областта на математиката. Присъжда се ежегодно от Норвежката академия за наука и литература и е с парична награда от 7,5 милиона норвежки крони (над 1 276 000 лева). Кафарели е 26-ият математик, който получава наградата от учредяването ѝ през 2002 г. насам.

Тъй като промяната е почти единственото сигурно нещо в света, математиката на промяната има толкова широк спектър от приложения, че всеки опит за изброяването им би бил крайно непълен. От математическа гледна точка, например когато става въпрос за намиране на решения на съответните уравнения и за установяване дали те имат смисъл, тази област поставя множество отворени въпроси.

Усещане за промяна

Луис Кафарели (Luis A. Caffarelli). Кредит: Nolan Zunk, University of Texas at Austin, USA

Пример за това е поведението на флуидите. Те рядко се намират в пълен покой и са способни да се държат по най-различен начин: от кръвта, която се движи плавно във вените ни, до водата, която се спуска бурно по планински поток. Всеки ден с потенциално сложното поведение на флуидите се занимават множество хора от различни области - инженери, метеоролози, биолози, физици.

Според Кафарели, който между другото е страстен готвач, теорията на динамиката на флуидите се описва най-добре с кулинарни термини.

"Вземете бутилка зехтин без въздух вътре, но с малко риган и червен пипер", разказва той по време на лекция в Института по математика "Клей" през 2001 г. "Разклащате бутилката много добре и след това я поставяте на масата. Течността се движи, а това, което искате да направите, е да [предвидите] как тази течност [...] ще стигне до покой."

Две неща са много важни, когато става въпрос за движението на флуидите. Едното е нейният вискозитет, свободно казано нейната лепкавост: бялото вино в чаша ще се завихри по-лесно от по-лепкавия зехтин в бутилката, който на свой ред тече по-добре от кетчупа, който ще изстискате върху пържолата си. Друг фактор е налягането: ако искате кетчупът да излезе по-бързо, стискате бутилката по-силно. Докато течността е несвиваема (не може да намали обема си, когато я стискате), налягането я кара да се ускорява.

Хората отдавна знаят, че налягането и вискозитетът са от съществено значение при описанието на потока на флуидите. Но едва през XIX в. тази връзка е изразена в математически термини за несвиваеми и вискозни флуиди. Уравненията на Навие-Стокс, кръстени на Клод-Луи Навие и Габриел Стокс, дават точна зависимост между вискозитета на флуида, налягането и ускорението, което флуидът изпитва. Ако знаете началните условия на потока (въртящият се зехтин, когато го поставяте на масата), тогава решението на уравненията теоретично ще ви каже как ще се държи потокът на флуида през цялото време.

Уравненията на Навие-Стокс са пример за частни диференциални уравнения. Обикновено тези уравнения свързват физическите величини (например скоростта и налягането) със скоростта, с която те се променят (например ускорението, което е скоростта на изменение на скоростта с течение на времето). Тези уравнения включват математически анализ, който може да разглежда безкрайно малки величини и промени. Това означава, че можете да мащабирате времето и пространството до всяко желано ниво на точност.

Уравненията на Навие-Стокс

В точка (x,y,z) в пространството скоростта v(x,y,z) има три компонента (u,v,w), по една за всяка координата. Налягането на течността е P(x,y,z). Ето уравненията: 


Параметърът Re в уравненията се нарича число на Рейнолдс и измерва вискозитета на течността.

Теория и практика

След като сте получили набор от уравнения, които според вас представляват математически модел на даден физически процес, можете да зададете два вида въпроси. Единият е дали можете да го използвате, за да намерите - или поне да си проправите път към - решение на конкретен проблем, който искате да решите, независимо дали става въпрос за построяване на автомобил, прогнозиране на времето или създаване на реалистично изглеждаща анимация на кръв, бликаща от рана, за филм.

На този вид въпроси за уравненията на Навие-Стокс отговорът често е "да". Въпреки че обикновено е невъзможно да се намерят точни решения, сложни методи и голяма изчислителна мощ могат да осигурят приблизителни решения, които са достатъчно точни за много практически приложения. Добре е да са такива, като се има предвид, че се използват за построяване на самолети.

Другият въпрос, който можете да зададете, е по-общ и теоретичен по характер: дават ли уравненията стройна теория на потока от флуиди? Тук не ви интересува толкова колко точно уравненията описват действителността - дори теории, които са само приблизително верни, могат да бъдат изключително полезни. По-скоро искате да знаете дали винаги съществуват решения на уравненията и дали тези решения са достатъчно "добри". Пример за недобро решение би било такова, което предвижда, че скоростта или ускорението на флуида трябва да станат безкрайни в някакъв момент - въпреки че кетчупът понякога се разплисква от бутилка с изумителна скорост, скоростите в реалния живот винаги са крайни, така че предсказанието за безкрайна скорост е физически безсмислено.

"Това е въпрос на вътрешна съгласуваност", обяснява Кафарели в лекцията си в Института по математика "Клей". "Няма нищо общо с това, дали моделът отразява реалността. То е свързано с това, че моделът е кохерентен: ако ми дадете [начални] данни, уравненията поне имат добро решение, близко до реалността или не."

Точките в пространството и времето, където решението не е добро, се наричат сингулярности.

На въпросите за съществуването и дали са добри решенията може да бъде изключително трудно да се отговори. Според Кафарели , когато става въпрос за флуиди, това се дължи на факта, че не разполагаме с математическа формулировка, която оптимално да покрива всички предпоставки. От една страна, може да се приеме, че флуидът е съставен от множество малки частици и да се опитаме да опишем математически тяхното поведение. Този Лангранговски начин на разглеждане на нещата е добър за описване например на ускорението на флуида. От друга страна, може да изберете да разгледате малка област от пространството и да се опитате да отразите как флуидът се движи през нея. Този Ойлеров начин на разглеждане на нещата е добър за описване например на вискозитета. Нито една от двете формулировки обаче не може да опише еднакво добре всички аспекти на потока на флуида.

"Това е проклятието на динамиката на флуидите", посочва Кафарели в лекцията си. "Ето защо уравненията в динамиката на флуидите са толкова трудни. Ако ги напишете по един начин, ще се появи част, която не съвпада. Ако ги напишете по друг начин, ще има друга част, която не съвпада."

Движението на вискозния флуид зехтин се подчинява на сложни частни диференциални уравнения. Кредит: HD wallpaper, Public Domain Certification

Основни моменти в областта на флуидните потоци

Един крайъгълен камък в теорията все пак настъпва през 30-те години на миналия век, когато математикът Жан Лерай показва, че за уравненията на Навие-Стокс съществуват някои видове слаби решения. Тук под слабо решение се разбира такова, при което уравненията са удовлетворени в среден смисъл, а не във всяка точка. Друго нещо, което е разбрано, е, че ако началните данни, с които се захранват уравненията - началната скорост на зехтина - са добри, то тези добри данни се запазват за известно време, като слабите решения не правят нищо безумно в краткосрочен план.

От другата страна на спектъра, хората успяват да разберат и какво се случва в много дългосрочен план: ако оставите уравненията си да се развиват за дълъг период от време, можете да сте сигурни, че решенията отново стават хубави. Това е така, защото до този момент енергията в системата се е разсеяла, така че решенията са принудени да останат малки, т.е. те не могат да бъдат безкрайни. Това оставя средносрочния период неотчетен: биха ли могли да се появят сингулярности, след като ефектът от добрите начални условия е изчезнал и преди голяма част от енергията да се е разсеяла?

Именно по този въпрос Кафарели, заедно с Робърт Кон (Robert Kohn) и Луис Ниренберг (Louis Nirenberg), постига друг важен резултат през 1982 г. Той допринася да се покаже, че ако в този средносрочен период съществуват някакви сингулярности, те никога няма да са достатъчно, за да се слеят заедно и да образуват непрекъсната крива в четириизмерния свят, който се получава, когато се разглеждат заедно пространството и времето. По-специално това означава, че сингулярностите могат да съществуват само за една точка във времето - ако те съществуваха за цял интервал от време, независимо колко кратък е той, това би представлявало непрекъсната линия, която, както показват Кафарели и колегите му, не може да съществува.

"Така че, ако съществуват сингулярности, те [образуват] много минимално множество - те са физически без значение, защото никога няма да ги видите, няма да имат никакъв ефект", казва Кафарели в своята лекция.

Кафарели, Кон и Ниренберг публикуват резултата си в забележителната статия Partial regularity of suitable weak solutions of Navier-Stokes equations (Частична закономерност на приемливи слаби решения на уравненията на Навие-Стокс). Генералният въпрос дали изобщо могат да съществуват сингулярности в решенията на уравненията на Навие-Стокс все още не е решен: той е предмет на награда от 1 милион британски лири, предложена от Института по математика "Клей". От всички математици, работещи по този проблем, Кафарели, Кон и Ниренберг са се приближили най-много до решение.

Отвъд флуидите

Работата на Кафарели върху уравненията на Навие-Стоке е само малка част от огромния труд върху частните диференциални уравнения. Например той има важен принос и към т.нар. задача за препятствията (obstacle problem), която задава въпроса как една еластична мембрана, например тънка палачинка, ще застане, когато се постави върху препятствие, например няколко топки сладолед.

Свързан тип задача, която Кафарели разглежда, включва ситуации, при които два вида вещества, като например частта от сладоледа, която все още е замразена твърда, и частта, която е започнала да се топи, се срещат на границата. Както задачата за препятствията, така и така наречените задачи за свободните граници, могат да бъдат формулирани в условията на частни диференциални уравнения и имат приложения далеч отвъд кулинарната сфера.

ПалачинкиЧастните диференциални уравнения имат приложения далеч отвъд кулинарната сфера. Кредит: Chris Barber
(CC BY 2.0)

"Теоремите на Кафарели промениха радикално разбирането ни за класове нелинейни частни диференциални уравнения с широки приложения", обяснява председателят на Комитета на наградите "Абел" Хелге Холден (Helge Holden).

Той описва резултатите на Кафарели като притежаващи техническа виртуозност, обхващаща много различни области на математиката и нейните приложения. Сътрудникът на Кафарели Луис Ниренберг, който сам е носител на наградата "Абел" от 2015 г., е на същото мнение.

"Фантастична интуиция, просто забележителна... Беше ми трудно да го догонвам. Той някак си веднага вижда неща, които другите хора не виждат", споделя той за работата си с Кафарели.

Кафарели е роден в Буенос Айрес през 1948 г., но прекарва по-голямата част от професионалния си живот в САЩ. Той е женен за аржентинската математичка Ирене Мартинес Гамба, с която, изглежда, често готвят за студенти и колеги. "Кафарели и съпругата му Ирене са направили този факултет като семейство. Те са [създали] много добра среда за младото поколение математици", споделя в интервю техен колега.

Източник: The Abel Prize 2023: Luis A. Caffarelli
Marianne Freiberger, Plus Magazine, University of Cambridge

Най-важното
Всички новини
За писането на коментар е необходима регистрация.
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!

Няма коментари към тази новина !