Математическата тайна на изкуството да нарисуваш дърво - от Да Винчи до Мондриан

Изследователи са открили, че способността ни да разпознаваме дърветата в изкуството е свързана с математически принцип, наречен степен на мащабиране на диаметъра на клоните. Тази закономерност, открита в истинските дървета, се появява в различни художествени стилове и култури, което позволява дори абстрактните изображения да бъдат разпознаваеми.

Докато красотата на изкуството може да е субективна, способността ни да разпознаваме дърветата в произведенията на изкуството може да е свързана с обективна - и сравнително проста - математика, според ново проучване.

Проучването, проведено от изследователи от Университета на Мичиган и Университета на Ню Мексико, изследва как относителната дебелина на разклоняващите се клони на дървото влияе върху неговия облик на дърво.

Въпреки че художниците, включително Леонардо да Винчи, са изследвали тази концепция в продължение на векове, изследователите са включили по-нов клон на математиката в уравнението, за да разкрият по-дълбоки прозрения.

"Има някои характеристики на изкуството, които сякаш са естетически или субективни, но ние можем да използваме математика, за да ги опишем", заявява Джинджи Гао (Jingyi Gao), водещ автор на изследването. "Смятам, че това е страхотно."

Гао извършва изследването като бакалавър в катедрата по математика на Университета на Монако, работейки с Мичъл Нюбъри (Mitchell Newberry), който сега е доцент в Университета на Монако и сътрудник на Центъра за изследване на сложни системи на Университета на Монако. Сега Гао е докторант в Университета на Уисконсин.

По-специално изследователите разкриват една количествена величина, свързана със сложността и пропорциите на клоните на дървото, която художниците запазват и с която си служат, за да повлияят дали и как зрителите възприемат дървото.

"Тук стигнахме до нещо универсално, което в известен смисъл се отнася за всички дървета в изкуството и в природата", отбелязва Нюбъри, старши автор на изследването. "То е в основата на много различни изображения на дървета, дори и да са в различни стилове и различни култури или векове."

Работата е публикувана в списание PNAS Nexus.

Трябва да намесим фракталите

Математиката, която двамата използват, за да подходят към своя въпрос за пропорциите, се корени във фракталите. От геометрична гледна точка фракталите са структури, които повтарят едни и същи мотиви в различни мащаби.

Фракталите са споменати в спечелилия Оскар хит "Let it Go" от филма на Дисни " Frozen", поради което е трудно да се твърди, че има по-популярен физически пример от самоповтарящите се кристални геометрии на снежинките. Но биологията също е пълна с важни фрактали, включително разклоняващите се структури на белите дробове, кръвоносните съдове и, разбира се, дърветата.

Тези компютърно генерирани изображения показват как с промяната на мащабния коефициент на диаметъра на клоните - означен с гръцката буква алфа - на едно "дърво" се променя неговият вид. Изследователи от Мичиганския университет и Университета на Ню Мексико показват, че истинските дървета и обектите, разпознаваеми като дървета в изкуството, имат алфа между 1,5 и 3. Кредит: Jingyi Gao и Mitchell Newberry

"Фракталите са просто фигури, които се повтарят", обяснява Гао. "Ако погледнете едно дърво, клоните му се разклоняват. След това разклоненията на клоните повтарят фигурата на родителското разклонение."

През втората половина на XX в. математиците въвеждат величина, която се нарича фрактално измерение, за да определят количествено сложността на един фрактал. В своето изследване Гао и Нюбъри анализират аналогично число за клоните на дърветата, което наричат степен на мащабиране на диаметъра на клона. Степента на мащабиране на диаметъра на клона описва вариацията на диаметъра на клона по отношение на това колко по-малки са разклоненията на един по-голям клон.

"Измерваме мащабирането на диаметъра на клоните при дърветата и то играе същата роля като фракталното измерение", разказва Нюбъри. "То показва колко повече малки клони има при увеличаване на мащаба."

Докато свързват изкуството и математиката, Гао и Нюбъри работят, за да запазят изследването си възможно най-достъпно за хора от двете сфери и извън тях. Математическата му сложност достига своя връх с известната - или печално известната, в зависимост от това как сте се чувствали в гимназията по геометрия - Питагорова теорема: a² + b² = c².

Грубо казано, a и b могат да се разглеждат като диаметър на по-малките клони, произлизащи от по-голям клон с диаметър c. Степенният показател 2 съответства на степенъа на мащабиране на диаметъра на клона, но за реалните дървета стойността ѝ може да бъде между 1,5 и 3. (Вижте заглавната илюстрация на "Питагоровото дърво")

Леонардо да Винчи забелязва, че комбинираната площ на напречното сечение (πr2) се запазва през разклоненията. Кредит: Jingyi Gao и Mitchell Newberry

Изследователите установяват, че в произведенията на изкуството, в които този коефициент е запазен, зрителите лесно разпознават дърветата - дори ако са лишени от други отличителни белези.

Художествени експерименти

За целите на изследването си Гао и Нюбъри анализират произведения на изкуството от цял свят, включително каменни прозорци от 16-и век от джамията Сиди Саид в Индия, картина от 18-и век, наречена "Вишневи цветове", на японския художник Мацумура Гошун и две творби от началото на 20-и век на холандския художник Пийт Мондриан.

Първоначално вдъхновение за изследването са дърворезбите от джамията в Индия. Въпреки силно стилизираните си извити, почти змиевидни клони, тези дървета имат красиво, естествено чувство за пропорция, посочва Нюбъри. Това го накарало да се замисли дали не съществува по-универсален фактор в начина, по който разпознаваме дърветата. Изследователите взели пример от анализа на дърветата на Да Винчи, за да разберат, че дебелината на клоните е важна.

Разглеждайки степента на мащабиране на диаметъра на клоните, Гао и Нюбъри установяват, че някои от дърворезбите имат стойности, по-близки до истинските дървета, отколкото дървото в "Цъфнали вишни", което изглежда по-естествено.

"Това всъщност бе доста изненадващо за мен, защото картината на Гошун е по-реалистична", разказва Гао.

Вляво са показани два примера за каменни дърворезби от джамията Сиди Саид. Вдясно е показана творбата "Вишневи цветове" на Мацумуара Гошун. Въпреки че "Вишневи цветове" изглежда по-реалистично, изследователите установяват, че дървото в горната лява част на дърворезбата има най-" дървоподобна" степен на мащабитане на диаметъра на клоните. Кредит: Metropolitan Museum of Art (за "Cherry Blossoms")

Нюбъри споделя това мнение и изказва хипотезата, че наличието на по-реалистичен коефициент на мащабиране на диаметъра на клоните позволява на художниците да развиват дърветата в по-креативни посоки и те все още да изглеждат като дървета.

"Когато се абстрахирате от детайлите и все пак искате зрителите да разпознаят това като красиво дърво, тогава може да се наложи да се доближите до реалността в някои други аспекти", коментира Нюбъри.

Творчеството на Мондриан е неочакван експеримент за проверка на това мислене. Той рисува поредица от творби, изобразяващи едно и също дърво, но по различни, все по-абстрактни начини. През 1911 г. в творбата си "De grijze boom" ("Сивото дърво") Мондриан достига до момент, в който представя дървото само с поредица от черни линии на сив фон.

"Ако покажете тази картина на когото и да било, ще бъде очевидно, че това е дърво", заявява Нюбъри. "Но няма цвят, няма листа и дори няма разклонения, всъщност".

Пийт Мондриан рисува едно и също дърво в "Сивото дърво" (вляво) и "Цъфтящо ябълково дърво" (вдясно). Зрителите лесно могат да разпознаят дървото в "Сивото дърво" съа степен на мащабиране на диаметъра на клоните от 2,8. В "Цъфтящо ябълково дърво" всички щрихи на четката са с приблизително еднаква дебелина и зрителите съобщават, че виждат риба, вода и други неща, които не са свързани с дървото. Кредит: Kunstmuseum Den Haag

Изследователите установяват, че степента за мащабиране на клоните на Мондриан попада в диапазона на реалните дървета - 2,8. За "Bloeiende appelboom" ("Цъфтящо ябълково дърво") на Мондриан от 1912 г. обаче това мащабиране изчезва, както и консенсусът, че обектът е дърво.

"Хората виждат танцьори, рибени люспи, вода, лодки, всякакви неща", разказва Нюбъри. "Единствената разлика между тези две картини - и двете са черни щрихи върху основно сив фон - е дали има мащабиране на диаметъра на клоните."

Справка: “Scaling in branch thickness and the fractal aesthetic of trees” by Jingyi Gao and Mitchell G Newberry, 11 February 2025, PNAS Nexus. DOI: 10.1093/pnasnexus/pgaf003

Източник: Leonardo da Vinci Was Right: The Mathematical Secret of Tree Art, University of Michigan

Как да пресметнем размерността на фрактал

Метод на подобието

Това е най-простият метод за изчисляване размерността на фрактал, който използва свойството самоподобие.

Например, да вземем отсечка с размерност 1. Ако я разгледаме с увеличение 2 пъти, ще видим 2 идентични отсечки. Нека да използваме променливата D за размерност (означава степента на увеличение) и N за количеството идентични фигури.

Ако разгледаме квадрат и триъгълник с размерност 2. С увеличение 2, получаваме 4 идентични фигури и в двата случая.

Ако увеличим 2 пъти куб с размерност 3, получаваме 8 идентични кубове. В тези три примера, се забелязва ясна закономерност.

Ако повдигнем увеличението e на степен размерността D, винаги ще получаваме количеството фигури N:

e^D = N

Така с помощта на тази формула можем да изчисляваме размерността D:

D = log N / log e

Логаритъмът е степента D, на която трябва да бъде повдигната основата e, за да се получи числото N. Основата може да е кое да е положително число, различно от единица. Тук е записан логаритъм с основа 10, но в много източници, формулата е записана с естествен логаритъм ln с основа числото е=2.718, наричан е още неперов логаритъм, а числото e - неперово число

Използвайки тази формула, можем да изчислим фракталната размерност на някои фрактали. Например Кривата Пеано: в началната фигура има 9 идентични отсечки (N = 9). Всяка от тях е 1/3 от началната отсечка, така че увеличението е 3 (e = 3). Използвайки формулата, намираме, че D = log 9 / log 3 = 2. Крайната фигура е квадрат.

Да разгледаме друг фрактал, кривата на Кох, описана от Нилс Фабиан Хелге фон Кох (Niels Fabian Helge von Koch) през 1906г. В този фрактал се виждат четири идентични снежинки (N = 4). Всяка от тях е 1/3 от всяка фигура, така че e = 3. За изчисление на фракталната размерност: D = log 4 / log 3 =1.26.  Според изчисленията на Беноа Манделброт, брегът на Англия има близка ( 1.25) размерност с размерността на кривата на Кох.

При т.н. Прах на Кантор първоначалната отсечка, се дели на 3 (e = 3), отстранява се вътрешна 1/3 част и след операцията остават 2 отсечки (N = 2), общата дължината на отсечките клони към нула. Фракталната размерност е : D = log 2 / log 3 =0.631.

Геометричен метод

Методът на подобие за изчисление на фракталната размерност е много ефективен, ако имаме работа с фрактали съставени от определено количество идентични версии на самите себе си. Но опитайте да го приложите за крайбрежието на Англия. Това е невъзможно, защото там всички линии имат различни размери и изискват различни увеличения.

Има прост изход от това. Знаем, че истинският фрактал има безкрайно количество детайли. Това означава, че при увеличението му се появяват допълнителни детайли, които се прибавят към размера. В нефракталните фигури размерът никога не се изменя. Например, нека да разгледаме схемата по-долу, където има графика на размерите на някои нефрактали под различно увеличение. Ако направите графика на логаритъма на размера върху логаритъма на увеличението, ще се получат хоризонтални прави. Това показва, че размерите не се изменят, което значи, че фигурите не са фрактали.

Ако изследваме някои фрактали по същия начин, няма да получим хоризонтални прави, тъй като с увеличението, дължините растат. Това доказва,че фигурите са фрактали.

Сега можем лесно да изчислим фракталните размерности използвайки наклоните на правите. С простата формула:

фрактална размерност = наклон + 1

Геометричният метод може много ефективно да се използва за природни начупени форми с Брауново самоподобие. Използва се и за да се изчислят размерностите на крайбрежията, границите и облаците.

Метод броене на клетки

Методът на подобие и геометричният метод за изчисляване на фракталната размерност изискват измерване на размерите. За много фрактали това не само е сложно, но и почти невъзможно. Обърнете например, внимание на фрактала вдясно.

Вместо това, можем да използваме по-прост метод. Да поместим фрактала на лист карирана хартия, като страната на всеки квадрат има размер h. Нека преброим клетките, които не са празни. Броя им означаваме с променливата N. Намаляването на размера на квадратчетата прави сметката по-точна, което е равносилно на увеличение. Фактически увеличението e равно на 1/h. В раздела за метода на подобието за изчисляване на фракталната размерност употребихме формулата D= log N / log e. Сега можем да я заменим с: D = log N / log (1/h) Намалявайки h ще определим размерността все по-точно. За 3-мерни фрактали ще се използват кубове вместо квадрати, а за едномерните - отсечки.

Например, да изчислим фракталната размерност на фрактала Box (кутия). Поставяме го на карирана хартия - с размери на квадратите 1/3 и 1/9.

В първия случай 5 клетки не са празни. Във втория - 25. В първия случай:

D = log 5 / log (1/ (1/3)) = 1.46.

Във втория случай отговорът е същия, което означава, че изчислената размерност е точна.

Този метод е много ефективен за природни форми, които е сложно да се измерят, особено култури бактерии.

Още по темата

25/09/2023

Животът

Ново проучване опровергава "правилото за дърветата" на Леонардо да Винчи

06/02/2023

Физика

Загадка на 500 години: Изследователи разгадават парадокса на Леонардо да Винчи

15/02/2023

Физика

Скици на Леонардо да Винчи показват, че е разбрал гравитацията век преди Нютон

31/12/2014

Математика

Скритите измерения на фракталната размерност