Ново оригинално доказателство на теоремата на Питагор

Едно просто и нагледно доказателство на теоремата на Питагор представи математикът Андрес Навас от Университета на Сантяго де Чили.

Препринт на изследването е публикувано в сайта arXiv.org.

Питагоровата теорема гласи, че в правоъгълния триъгълник, квадратът на хипотенузата (най-голямата страна, намираща се срещу правия ъгъл) е равен на сумата от квадратите на катетите (две по-малки страни).

Досега има повече от 370 различни доказателства на теоремата. Освен самият Питагор, Евклид, Леонардо да Винчи, оригинално доказателство имат и Айншайн и дори един американски президент - Джеймс Гарфийлд.

Математикът не използва квадрати или подобни триъгълници, а теоремата на Уолъс-Бояй-Гервин, наречена на името на математиците Уилям Уолъс, Фаркаш Бояй и Пол Гервин. Теоремата е свързана с дисекция на многоъгълници - метод, при който чрез разрязване на един многоъгълник на парчета и пренареждането им да се получи друг многоъгълник чрез транслации и ротации. Теоремата на Уолъс-Бояй-Гервин гласи, че това може да стане единствено ако двата многоъгълника имат една и съща площ.

От равенството:

a² + b² = c²

следва, че площта на правилен n-ъгълник на страна c е равна на сумата от площите на двaта правилни n-ъгълници на страни a и b, съответно. За да се докаже това, е достатъчно да се умножат двете страни на равенството с подходяща константа (площта на правилния n-ъгълник разделена на дължина на страната). Всъщност, ако се докаже, че това твърдение е вярно за всяко n ≥ 3 , ще бъде еквивалентно на доказателство на теоремата Питагор.

И разбира се, за да се докаже това, може да се използва теоремата на Уолъс-Бояй-Гервин - двата малки n-ъгълници да се разрежат на многоъгълни парчета, които след прегрупиране да получим един по-голям. Но броят на парчета може да бъде много голям.

Авторът предлага кратко геометрично доказателство на твърдението по-горе за равностранен триъгълник с помощта на една красива и и както изглежда незабелязана конфигурация.

Нека A, B, C са върховете на правоъгълен триъгълник. Завъртаме триъгълника ABC обратно на часовниковата стрелка на 60^o около връх А и по часовниковата стрелка на 60^o около B. Да наречем с C₁, В₁ и В₂, А₂ върховете, както е показано на чертежа долу. Забележете, че ВА₂ = с = AB₁ и ∠ABA₂ = ∠BAB₁ = 60^o , следователно, А₂ и В₁ съвпадат и могат да се означи тази точка с D, върховете A, B и D определят равностранен триъгълник със страна с дължина с.

Също така, забележете, че BCC₂ и ACC₁ са равностранни триъгълници със страни с дължина a и b, съответно.

Нещо повече, двата триъгълника BC₂D и AC₁D са еднакви с триъгълника BCA.

Навас изчислява площта на получения полигон:

ABC₂DC1 = ABD + BC₂D + AC₁D = ACC₁ + BCC₂ + BCA + C₂DC₁C.

Като фигури,

което е еквивалентно на:

Остава да се докаже, че

За да се направи това, забележете, че C₂DC₁C е успоредник със страни a и b. Освен това, както ∠BCA = 90^o и имаме, че ∠C₁CC₂ трябва е равен на 120^o.
Следователно ∠CC₂D = ∠DC₁C = 30 °

По този начин:

C₁CC₂D = ab sin (30°) = 1/2ab= ВСА.

Забележка: В последната стъпка може да се избегне използването на тригонометрията, ако разгледате схемите по-долу.

Ето още три доказателства с дисекция и пренареждане:

Още по темата

20/03/2016

Математика

Откриха неизвестно досега свойство на простите числа

16/03/2016

Математика

Математическият "Нобел" ще се присъди за доказателството на Последната теорема на Ферма

11/02/2016

Животът

Геометрия на егоистичното стадо или как животните се подреждат едно до друго

10/01/2016

Математика

Екзотични начини за разрязване на пица