Обща теория на относителността

Какви са разликите между Специалната теория на относителността и Общата теория на относителността

Общата теория на относителността (съкратено ОТО) е естествено продължение на Специалната теория на относителността (СТО) и съдържа в себе си резултатите й.

ПРОЧЕТЕТЕ ПРЕДИ ТОВА:

Специалната теория на относителността

Лоренцовите трансформации – сърцето на релативизма

Ефектът забавяне на времето и скъсяване на дължините

Релативистично увеличаване на масата. Енергията: E = m.c2

Всъщност разликата се състои само в координатните системи, които разглеждат двете теории. Специалната теория на относителността разглежда само инерциални отправни системи, движещи се равномерно и праволинейни, които са далече от всякакви гравитационни въздействия на материални тела. Следователно, инерциалните системи, с които си служи СТО са идеализирани, такива няма в природата.

Общата теория на относителността разглежда произволни отправни системи - неинерциални и под въздействието на гравитационни полета. Тя съдържа в себе си Специалната теория на относителността като частен случай (когато няма гравитация наоколо и движението е без ускорение). Общата теория на относителността е съвременната теория на гравитацията, свързана с изкривяването на четиримерното пространство-време.

Далекодействието на Нютоновата гравитация

Според класическият вариант на теорията на гравитацията, създаден от Исак Нютон през XVII век, две тела с маси m1 и m2 се привличат със сила:

Ако разстоянието r между телата се измени или да речем, едното тяло изчезне, според класическата механика веднага другото тяло ще "усети" това. Следователно се приема, че гравитационното взаимодействие се разпространява с безкрайна скорост или че съществува такъв материален процес, пренасящ енергия, който може да се разпространява с безкрайна скорост. От тук може да стигнем и до извода, че може мигновено да се сверят всички часовници във Вселената, т.е че съществува единно абсолютно време.

Да, но хипотезата за мигновено разпространение на взаимодействията (информацията) не се потвърждава от нито един опит. А най-високата скорост за разпространяване на информация (сигнал) е скоростта на светлината във вакуум: с = 299 792 458 м / сек. (повече: Възможна ли е скорост, по-голяма от скоростта на светлината?) Това е скоростта, с която се осъществяват основните взаимодействия.

Принцип на еквивалентността

Гравитационна и инерционна маса

В класическата физика има две понятия за маса:

• гравитационна (тежка) маса, характеризираща способността на телата да бъдат притегляни, когато се намират в някакво гравитационно поле, например Земята или Слънцето и
• инертна маса, която характеризира способността на телата да се съпротивляват (да бъдат инертни) , когато върху тях се прилага някаква сила.

Тези две маси са еквивалентни, преди Айнщайн това се е смятало за случайно съвпадение, но излиза, че не е така. Този факт е в основата на Общата теория на относителността - една от най-красивите теории във физиката.

Айнщайновата теория на гравитацията е основана на принципа на еквивалентността (неразличимостта), който гласи, че гравитацията и ускорението са едно и също явление.

Еквивалентност на инерциални и неинерциални системи

Инерциална система К Представете си астронавт в някаква затворена кабина, отдалечена от всякакви небесни тела, далече от гравитационното им влияние. Тя свободно си "виси" в пространството. Тук предметите не падат "долу", а астронавтът не чувства тежест в краката си. Всичко вътре плава свободно. Ако сложим тяло на кантар, то той ще покаже 0 тегло, а тялото ще "плува" свободно в кабината. Ако се опитаме да залюлеем махало, това няма да се случи - то ще е в равновесие във всяко положение. А ако му придадем някаква скорост, ще се движи в кръг. Ако даден тласък на някакво тяло в кабината , то ще се движи праволинейно и равномерно докато срещне някоя от стените. Всичко това ще се случва, ако кабината се движи равномерно и праволинейно с постоянна скорост, далече от масивни тела. Това е инерциална система.

• Ускорена система К'

Ако в даден момент някаква външна сила започне да тегли "нагоре" кабината с постоянно ускорение g, то в тази кабина, все така отдалечена от всякакви гравитационни полета, ще се случат странни неща.

Предметите, досега плавали свободно, ще "паднат на пода" . Астронавтът ще почувства тежестта си и ще стъпи здраво на "пода". Ако сложим тяло на кантар и ако това тяло има маса m, то делението на кантара ще показва "тежест" mg. Махалото ще може да бъде залюляно, както ако беше на Земята, където ускорението е също g. Хвърлено тяло, което преди се движеше равномерно и праволинейно, ще "падне" по параболична траектория на пода.За един наблюдател в ускорена система явленията ще протичат по същия начин, както ако системата се намираше в гравитационното поле на Земята. В пределите на ускорената система К', всички тела получават ускорения в обратна посока заради инертната си маса. Но можем да ги разглеждаме и като ускорения, породени от гравитационно поле.

• Окачена в гравитационно поле система К''

Ако поставим инерциалната система К близо до Земята и я закрепим здраво, то в нея ще наблюдаваме същите явления като при ускорената система К'. Единствената разлика е, че в тази система К'' се проявяват гравитационните (тежките) маси, докато в система К' се проявяваха инерционните маси.Системата К'', която е в покой в гравитационното поле на Земята, е еквивалентна на ускорената система К'.В системата К'', която се намира в гравитационното поле на Земята върху всички тела действа една сила, която е следствие от гравитационната им маса и им придава.ускорение g, което не зависи от тази гравитационна маса.В ускорената система К' върху всички тела също действа една сила, която пък е следствие от инертната им маса като тяхното ускорение в системата К' също не зависи от инертната им маса.

Свободно падаща система К''' Ако се скъса веригата, която държи кабината К'' , тя полита към Земята. Сега тя изпита ускорение g, но същото ускорение изпитват всички предмети и астронавта вътре. Кантарът вътре ще показва отново тегло 0. Махалото ще се движи в кръг, ако се засили или ще виси в равновесно положение. Всички тела ще се държат по същия начин както в инерциалната система К. Това се случва само защото всички тела се ускоряват еднакво в земното гравитационно поле, независимо от гравитационните им маси.както се ускоряват в К'' независимо от инертните им маси.

Изводът е, че е невъзможно да се определи дали една система е в гравитационно поле или се ускорява с постоянно ускорение.

Инерциална система	Ускорена нагоре система	Окачена в гравитационно поле система	Свободно падаща система

При тези сравнения трябва да се направи уговорката, че истинските гравитационните полета (например на Земята) не са хомогенни, гравитационните сили са насочени към някакъв център, но ако приемем, че кабината е сравнително малка, с някакво приближение може да се приеме, че гравитационното поле е хомогенно и еквивалентно на ускорението.

При определени условия инерциални и неинерциални системи са еквивалентни.

Инерциалната система К не може да се различи от система К''', която не е инерциална, а се движи с постоянно ускорение в обсега на земното притегляне, а пък неинерциалната система К', която се движи с постоянно ускорение не може да се различи от системата К'', която е в покой под влияние на гравитацията на Земята.

И възниква въпросът: има ли принципна разлика между инерциалните и неинерциалните системи, след като физичните явления протичат еднакво в инерциални системи без гравитационни полета и в свободно падащите неинерциалните системи в гравитационно поле?

Вследствие от еквивалентността на гравитационна и инертна маса, разлика няма.

Затова Общата теория на относителността, за разлика от Специалната не разглежда само инерциални системи, а и неинерциални като взема предвид и гравитацията, затова се нарича и "обща". Тя се опира на принципа на еквивалентност:Всички физически процеси протичат съвършено еднакво в инерциални системи в хомогенно гравитационно поле и в неинерциални системи, движещи се с постоянно ускорение без гравитационни полета.

Картина на Jacek Yerka

А общият принцип на относителността гласи:

Произволното движение на една координатна система, свързано с произволно променящо се ускорение е еквивалентно на променящо се във времето и нехомогенно в пространството гравитационно поле.

Галилееви трансформации при неинерциални системи

За малки скоростти v<<c са в сила Галилеевите трансформации. Нека се опитаме да изведем формули за преход от система К към система К', която се движи с ускорение g спрямо К. От определението за ускорение и други елементарни формули можем да запишем: v_n = gt, v_ср.=(0 + v_n)/2=gt/2, S_O-O' = v_ср.t = gt²/2

И така Галилеевите трансформации за неинерциални системи придобиват вида:

К' се движи ускорено и ще дойде момент, когато скоростта ще се доближи до скоростта на светлината и тогава тези равенства няма да важат. Но даже и при нерелативистични скорости се вижда, че x е нелинейна функция на времето. Тогава преходът от една система към друга в ОТО, където инерциални и неинерциални системи са равноправни ще се дава от нелинейни функции от по-общ вид, а не линейни, както е в СТО.

Още малко за Галилей

Една не много известна роля на Галилей, извън знаменитото му изречение "И все пак тя се върти", е въвеждането на научния метод за изучаване на света. Преди Галилей на никой не му е идвало на ум, че научните твърдения може да се доказват с опити.

Илюстрация: listverse

Например Аристотел е смятал, че по-тежките тела падат по-бързо от по-леките и векове след него, хората са приемали това твърдение на вяра. Галилей е първият, на който му хрумва, че това може да се провери опитно. Според легендата е хвърлял тела с различна маса от знаменитата наклонената кула в Пиза. Това може и да не е вярно, но в края на краищата той е установил, че телата падат с еднакво ускорение, независимо от теглото си, ако се пренебрегне съпротивлението на въздуха. Освен това, Галилей успява да обобщи резултатите от опитите си в математическа формула - така той определя пътя за развитие на модерната наука като комбинация от математика и експериментални доказателства. В една от своите книги той пише: „Законите на вселената са написани с езика на математиката и неговите букви са триъгълниците, кръговете и други геометрични фигури.” - една наука става наука, когато в нея влезе математиката

Откритието на Галилей, че всички тела се движат в гравитационно поле с едно и също ускорение независимо от масата им е пряка последица от равенството на инерционни и гравитационни маси в класическата механика.Това е по същество и геометризация на гравитацията. Именно този факт е определящ за Айнщайн при създаването на Общата теория на относителността.

Кривината на пространство-времето

Законът на Нютон за гравитацията има един огромен недостатък - той не отговаря на въпроса как работи гравитацията. Защо например Земята се върти в плен на Слънцето? Как Слънцето влияе на движението й, без да са свързани по никакъв материален начин - въже, синджир и прочие? Между тях има само 150 милиона километра празно пространство!

Картина на AndrewG

След близо десетилетие в търсене на механизмите на гравитацията, през 1915 г. Айнщайн предлага отговор. След като има между гравитационно взаимодействащите си тела само празно пространство, то причината за взаимодействието са свойствата на самото пространство.

При положение, че гравитационната маса е равна на инерционната маса, което следва от принципа на еквивалентност, то тогава в изрази, описващи ускорението на тяло, върху което действат гравитационни сили, двете маси се съкращават и се оказва, че траекторията на тялото не зависи от неговата маса и ускорението му. Щом всички тела, които се намират в една и съща точка в пространството, получават едно и също ускорение, тогава това ускорение ще зависи не от качествата на тялото, а от свойствата на самото пространство, от неговата кривина.

Как изглежда едно изкривено пространство?

Често кривината на пространство-времето се илюстрира с двуизмерно изображение на еластична равнина подобна на мембрана, върху която масивните тела образуват вдлъбнатини представящи гравитацията. А ако се постави близо до тези тела някое по-леко, то или ще се изтърколи по параболична траектория до по-масивното, или ще описва познатите от втория закона на Кеплер елиптични орбити.

Геодезични линии

В Специалната теория на относителността се разглежда само плоско четиримерно пространство, в което движението по права линия съответства на равномерно праволинейно движение. В такова пространство най-късото разстояние между две точки е права.

Мрежата от бели линии на илюстрациите са геодезически линии. Сините стрелки очертават траекториите на тела в близост до масивни тела или черна дупка. Червената окръжност е хоризонтът на събитията, след която връщане назад няма.

Основна концепция в Общата теория на относителността е изкривеното пространство-време, в което най-късото разстояние между две точки не е права, а крива линия, наречена геодезична линия.

Движението на телата става по тези криви геодезични линии в пространство-време, което се изкривява от гравитационното поле на масите. Фактът, че тела с различна природа се движат по еднакви траектории, се дължи на независимостта на гравитационното ускорение от материята на тялото.

Тази двумерна аналогия може да ви заблуди, защото представяйки си реална мембрана, ще трябва се абстрахираме, че върху търкалящите се тела действат и реални физически сили като триенето, реакцията на опората. И нека не забравяме, че пространството е триизмерно (а с времето и четиримерно), а не двуизмерно, както е показано. Всъщност изкривяването е просто обемно сгъстяване на пространството около масивни обекти.

Въпреки своята условност, тази мрежа от геодезични линии е използвана широко като най-добре илюстрираща идеята на Айнщайн за строежа на пространство-времето. Досега ни е помагала да си представим и тела с отрицателна маса, и черните дупки, и свръхсветлинния двигател на Алкубиер, червеевите проходи през пространството.

Неевклидова геометрия

Математиците се използват терминът "изкривено" за всяко пространство, което има неевклидовата геометрия., която за разлика от евклидовата не се учи в гимназията. Развили са я Риман и Лобачевски много преди Айнщайн.

Геометриите на Лобачевски и Риман са на базата на същите основни предположения както обикновената евклидовата геометрия, с изключение на петия постулат. Този постулат дълго остава недоказан и това се оказва неслучайно. Той гласи:

През точка (т.М), нележаща на дадена права a , минава само една права b, която заедно с дадена права a лежи в една и съща равнина и двете прави не се пресичат.Всяка друга права през т.М, например начертаните пунктирани линии се пресича с a.

Това не е очевидно, защото от неограниченността на пространството не следва неговата безкрайна протяжност. Представете си мравка върху балон. Тя би могла неограничено да се разхожда по повърхността му, но така или иначе площта на балона е крайна.

Евклидова геометрия

Римановата геометрия

Геометрия на Лобачевски

Този пети постулат, наречен "постулат на успоредността", Риман заменя с аксиомата, че през точка извън дадена права в равнината не може да прекарате нито една успоредна права, всички ще се пресичат с дадената. Лобачевски и унгарецът Янош Бояй пък допускат, че съществува множество от прави, които няма да се пресекат с дадената.

За да си обясним разликите между тези геометрии ще вземем най-простия случай с две измерения. Този постулат може да се изрази със сумата от ъглите на триъгълник, то разликите между тези геометрии графично са показани на схемите. В евклидовата геометрия на сумата от ъглите на триъгълник е 180 °, при Риман е по-голяма, а при Лобачевски - по-малка.

• Евклидовата геометрия се осъществява на плоска равнина
• Римановата геометрия - на повърхността на сфера, на която правата линия изглежда като отсечка от дъгата на големия кръг, чийто център съвпада с центъра на сферата.
• Геометрията на Лобачевски (или хиперболичната геометрия) се осъществява на т.н. псевдосфера.

Любопитно е , че един от великите математици на всички времена, Йохан Карл Фридрих Гаус (Johann Carl Friedrich Gauß) тайно от колегите си, за да не го сметнат за полудял, е търсил емпирично отклонение от сумата на ъглите  в триъгълника от върховете Брокен, Хохерхаген и Инзелсберг, проверявайки наистина ли е точно равна на 180 градуса. Гаус е допускал възможността за изкривяване на физическото пространство. Той е въвел и понятието Гаусова кривина - локална мярка за изкривяването на повърхността в околността на някаква точка.

За всяка геометрия се въвежда това понятие. В евклидовата геометрия, кривината е нула, при Риман - положителна, при Лобачевски-Бояй - отрицателна.

Лобачевски и Риман са смятали, че само физически експерименти могат да ни покажат каква всъщност е геометрията на нашия свят. Общата теория на относителността на Айнщайн направи от геометрията експериментална наука. Тя потвърди, че пространството, с което живеем е пространството на Риман.

Най-късото разстояние

Илюстрация: geometry.freehomeworkmathhelp.com

Върху сфера и въобще върху крива повърхност евклидовата геометрия не важи. Тук съм показала двумерно изкривено пространство (повърхност на сфера), но същото е валидно и за тримерно и четиримерно пространство. Ако в тримерно пространство разстоянието между две точки не се измерва по формулата: ΔL2=Δx2+Δy2+Δz2 е изкривено. Ако в четиримерно пространство не може да се намери такава Лоренцова кординатна система, в която разстоянието да се изразява с формулата: ΔL2=Δx2+Δy2+Δz2+Δu2, където u=icΔt, то такова четиримерно пространство е изкривено.

Правите върху повърхността на сфера ще бъдат дъги от големия кръг (екватора или меридианите), тъй като те съответстват на най-късото разстояние по повърхността.

Ние живеем в такова изкривено четиримерно пространство, в което четвъртото измерение е времето. Трудно е да си го представим, но сигурен белег, че е изкривено е вида на формулата, изразяваща квадрата на разстоянието между две точки в него.Ако е различен от : ΔL2=Δx2+Δy2+Δz2+.., ако има някакви несъкратими коефициенти пред събираемите например, то такова пространство е изкривено.

Илюстрация physicsforums

Ако успеем да докажем, че пространството на неинерциалните координатни системи е изкривено, то нашето действително пространство със сложно наслагване на гравитационни полета е също изкривено.

Ако СТО е вярна и принципът на еквивалентността - валиден, то пространството е изкривено. Един мисловен експеримент

Не можем да разгледаме реалния случай на гравитационните полета, защото математическия апарат на Общата теория на относителността е твърде сложен, затова ще ви предложа един прост мисловен експеримент, опиращ се на ефектите на Специалната теория на относителността, но който се надявам да ви убеди, че пространството с гравитационни полета е изкривено.

Един обект се смята, че се движи ускорено, ако той променя скоростта си или направлението си. И така за простота ще разгледаме поведението на мащабите и часовниците в случай на движение в кръг.

Ще наблюдаваме две системи - едната в покой (инерциална) К, а другата - неинерциална, еквивалентна на нееднородно гравитационно поле, представляваща въртящ се диск К' с ъглова скорост Ω. Това означава, че скоростта на всички точки по окръжност с радиус R, ще се движи със скорост перпендикулярна на радиуса и със стойност ΩR. Полученото по този начин "гравитационно поле" се различава от реалните, защото силата му се увеличава с отдалечаване от центъра, но за целта ни да докажем кривината на пространството, аналогията е достатъчна.. Нека имаме две окръжности: едната с радиус R₁, така че скоростта на точките по нея да е ΩR₁, много по-малка от скоростта на светлината, а другата с радиус R₂ със скорост е ΩR₂, която е сравнима със скоростта на светлината. За малкия кръг може да използваме Галилееви трансформации, а втория - Лоренцови, макар че системата на диска К' е неинерциална, защото може да приемем за един много кратък интервал от време за един много малък отрязък от голямата окръжност, че движението може да се приеме за равномерно и праволинейно, т.е да се свърже с инерциална Лоренцова система. Върху инерциалната система К също са начертани два кръга със същите радиуси R₁ и R₂. За тях може да напишем: R₁/R₂=L₁/L₂. защото L₁=2πR₁ и L₂=2πR₂. Пространството на инерциалната система К е евклидово. В неинерциалната система К', ако за малката окръжност, можем да запишем L'₁=2πR'₁, то за голямата окръжност, чиято скорост е близка до светлинната, ще се прояви релативистичното скъсяване на дължините.

Тогава

От това следва че R'1/R'2≠L'1/L'2, което означава, че пространството на неинерциалната система К' не е евклидово.

Източници:

General relativity, Einstein online

Markus Pössel, ” The equivalence principle and the deflection of light ” in: Einstein OnlineVol.4(2010), 1020

ФОРМУЛАТА НА АЙНЩАЙН: Е0 = mc2 „Не ни ли се надсмива Господ Бог”? Л. Б. Окун

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТРОЕНИЯ И ЭВОЛЮЦИИ ЗВЕЗД – 8. Введение в общую теорию относительности, Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура

Идея относительности

Общая теория относительности

Часть II. ДИЛЕММА ПРОСТРАНСТВА, ВРЕМЕНИ И КВАНТОВ, Брайан Грин ЭЛЕГАНТНАЯ ВСЕЛЕННАЯ.

Общая теория относительности,lurkmore.to

http://www.astronet.ru/db/msg/1210272

http://vselenata.blogspot.com/2007/03/blog-post_20.html

ГРЕШКИТЕ НА АЙНЩАЙН, Стивън Уайнбърг

Скритата реалност, Брайън Грийн

Общая теория относительности (Теория тяготения)

Общая Теория Относительности

Общая теория относительности,Игор Хриплович

ОБЩА ТЕОРИЯ НА ОТНОСИТЕЛНОСТТА (без тензорен анализ и диференциална геометрия) Игор Хриплович(водещ научен сътрудник в Hовосибирското отделение на РАH)

How General Relativity Produces Gravity

Рядом с наукой, 2000.net.ua

Галилео Галилей и раждането на модерната астрономия

Современные научные картины мира