18 ноември 2019
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Теорията на групите - една усмивка само

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 23 март 2015 в 15:4578840
Снимка: bgchaos.com

пянаСиметрията е математическо понятие, което можем да забележим навсякъде - и около нас, в природата и в това, което сътворяват хората в архитектурата, изобразителното изкуство, музиката. Симетрията може да е не само във външните форми, тя може и да е вътрешна, в същността на законите на Природата.

Физиката, макар и сложна наука, съдържа и много простота и елегантност, която до голяма степен се дължи на симетрията на физичните закони и системи.Днес никой не се съмнява, че симетрията е ключът към разбирането на природата на взаимодействията. За да разберем какво е общото между един естетически принцип и физиката, трябва да се изясни какво се има предвид под симетрия в математиката и физиката.

Под симетрия, най-общо казано, физиците разбират неизменност на нещо (свойства, характеристики) при определени трансформации. Важна роля играе симетрията на законите, на уравненията, които ги изразяват. Един пример за симетрично уравнение е y=x2, то остава без промяна и за и за . Симетриите могат да бъдат описани от теорията на групите с математически формули.

Теорията на групите - усмивката на чешърския котарак

Теорията на групите е на най-високото ниво на абстракция в съвременната математика. Джеймс Р. Нюман я сравнява с "усмивката на Чешърския котарак", чието тяло (традиционната алгебра) изчезва и остава само абстрактната усмивка на теорията на групите.

Oпределение

Под група се разбира съвкупност от структура (множество - G ) от недефинирани елементи и една недефинирана бинарна (свързваща два елемента , означена с) операция. За да имаме група трябва да се удоволетворят следните условия:

  1. Затвореност: Операцията трябва да свързва два елемента от множеството и дава като резултат трети елемент, който също да принадлежи на множеството.x, y ∈ G ⇒ x • y ∈ G
  2. Асоциативност:( x • y ) • z = x • ( y • z ) = x • y • z
  3. Съществува единичен елемент. Идентичност: Един от елементите на групата е специален - нарича се елемент на идентичността - e . В групата има елемент e, операцията с който и независимо кой да е елемент x дава същия елемент x. Нека въведем символите:
    • ∀ - "за всеки";
    • ∃ - "съществува",
    с помощта на които можем да изразим условието така: ∃ e ∈ G: ∀ x ∈ G: x • e = e • x = x
  4. Съществува обратeн елемент. Инверсия: За всеки елемент x от групата съществува такъв елемент x−1, операцията между които дава единичния елемент e.∀ x ∈ G: ∃ x−1 ∈ G:x • x−1 = x−1 • x = e

Това е всичко. Всяка математическа система, която се подчинява на тези четири правила е група.

Видове групи

Абелеви и неабелеви групи

Ако една група се подчинява на комутативния закон, то тя е абелева (на името на норвежкия математик Абел) или комутативна: x • y = y • x По-интересни и с по-широто приложение са неабелевите групи: x • y ≠ y • x .

Крайни и безкрайни групи

Групите с краен брой елементи особено ако не са много удобно се описват с помощта на т. н. таблици на Кели (Cayley) подобни на таблиците за умножение, познати ни от началните класове.

Вляво е таблица за умножение, позната ни от началните класове. Аналогично може да се съставят и таблици за събиране.

Таблицата позволява да се определи дали групата е  абелева според това, дали резултатите са симетрични спрямо диагонала.

×123456789
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
661218243036424854
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Ако групата има безкраен брой елементи, то тя се нарича безкрайна група.

Когато елементите на групата непрекъснато зависят от някакви параметри, то групата се нарича непрекъсната или група на Ли - тоест това е група, чиито елементи образуват гладко многообразие (без точки на самопресичане, крайни точки и др.).

Пермутационни групи

Пермутация означава най-просто казано "разбъркване" на група обекти, в която те разменят местата си един с друг. Разбъркването на тесте карти е пермутация. Оператирът на играта "Тука има - тука нема" извършва пермутации с чашите.  Броят на възможните пермутации е n!=1.2.3...n, където n е броят на членовете на групата.

За да се опише пермутация трябва да се укаже кой обект на кое място е отишъл или кой обект в кой се е "превърнал".

Наборът от пермутации на група обекти е група според определението, защото след прилагането на една пермутация върху групата обекти, последвано от прилагане на друга пермутация върху групата обекти има същия ефект на прилагането на някоя трета пермутация.

Съществува пермутация, който оставя всеки обект там, където е, тоест "не прави нищо" или това е единична пермутация. Съществува и за всяка пермутация обратна пермутация, която отменя действието й.

Тука има – тука няма” беше широкоизвестна игра, особено популярна сред едно по-мургаво население. Тази игра, позната в останалия свят като "Game Shell", е хубав пример за пермутация. Операторът на  играта размества трите черупки (кутийки, чашки), тоест извършва пермутации, между три позици: ляво, среда и дясно.

Снимка: grem.net

симетрия

Няколко прости примера

Най-простия пример за група е групата на целите числа по отношение на действието събиране.Сборът на коя да е двойка цели числа дава отново цяло число. Важи асоциативния закон: 2+(3+4)=(2+3)+4. Единичният елемент е 0: 3+0=3. А всяко цяло число, събрано със съответното си отрицателно число дава 0: 2+(-2)=0.

Групата на рационалните числа по отношение на умножението е друг пример. Произведението на кои да са две рационални числа е също рационално число, Единичният елемент е 1, а всяко рационално число x, умножено със съответното му 1/x дава единичния елемент 1.

Примери /УсловияЦели числа и събиранеНенулеви положителни рационални числа и умножениеОтрицателни рационални числа и умножение
Затвореност ∀ a,b ∈ G a + b = c , c ∈ G: ∀ a,b ∈ G a * b = c , c ∈ G: a,b ∈ G a * b = c ∉ G
(-2)*(-3)=(+6)∉ G
Асоциативност a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c a*(b*c)=(a*b)*c
Идентичност a + 0 = a a * 1 = a не съществува единичен елемент: (-2)*(-1)=(+2)
Инверсия a + (-a) = 0 a * (1/a) = 1 не съществува обратeн елемент: (-2)*(-1/2)=(+1)
Комутативност а + b = b + a а * b = b * a а * b = b * a
Извод Абелева група Абелева група Не е група

Също така реални числа и комплексни числа са групи по отношение на събирането, а ненулевите им елементи образуват група по отношение на умножението. Досега посочихме примери само за безкрайни групи.  

Множеството {1, -1,  i , - i }   с операцията умножение образува крайна група, която можем да покажем с таблица на Кели (вляво): Единичният елемент тук е 1, обратни на 1 и -1 са те самите, а елементите - имагинерната единица i иi  са обратни една на друга. Забелязвате ли , че елементите са симетрични спрямо диагонала, което е белег, че групата е абелева.
1−1i−i
1 1 −1 i −i
−1 −1 1 −i i
i i −i −1 1
−i −i i 1 −1

Малко строева подготовка

За да си войник, не е необходимо да се знае много - според старшините, е задължително да научиш само ограничен набор от команди: "Мирно!", "Надясно! ", "Наляво!" и "Кръгом!". Те формират група, а операцията е "последвано от". Ако командата "Наляво!" е последвана от "Кръгом!", то това  има същия ефект за крайната ориентация на войника като една единствена команда: "Надясно!".  "Мирно!" е единичният елемент и всяка команда има обратна. "Надясно!" и "Наляво!" са обратни една на друга, а "Кръгом!" е обратна сама на себе си.

Да за намерим елемент от групата, който съответства на  R • L , трябва да потърсим пресечната точка на ред L и колона R. Ще установим, че L • R = A Какво можем да забележим:
  • симетрия спрямо главния диагонал, тоест това е абелева група.
  • редът на единичния елемент A възпроизвежда горния ред, а колоната  Aвъзпроизвежда лявата колона.
  • единичният елемент A се появява точно по веднъж във всеки ред и точно по веднъж във всяка колона, това означава, че всеки елемент има обратен, който съчетан с него, го превръща в единичния елемент A.
ARLB
A
A
R
L
B
R
R
B
A
L
L
L
A
B
R
B
B
L
R
A
  • A - Мирно!
  • R - Надясно!
  • L - Наляво!
  • Б - Кръгом!

Група на симетрия

Група на симетрия е съвкупността от всички ортогонални преобразования, при които някаква фигура ( тяло) съвпада сама със себе си. Тези трансформации се наричат симетрия и като предмет на раздела ще им отделим повече внимание.

Източници:

Introduction to Group Theory, Dog School of Mathematics

Group theory, wikipedia

Теория групп, wikipedia

Основные понятия теории групп и их представлений и некоторые приложения к физике частиц, В.С. Замиралов П.И.Голод, А.У.Климык

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ М.Хамермеш

ТЕОРИЯ ГРУПП и ее применение к физическим проблемам Теория групп — наука о совершенстве, Евгений Вдовин


Препоръчани материали

Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Математика
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.