Тетраедърът е най-простото платоново тяло. Математиците вече са създали такова, което е стабилно само на едната си страна, потвърждавайки десетилетна хипотеза.
През 360 г. пр.н.е. Платон си представял космоса като подредба от пет геометрични фигури: твърди многостена Те веднага се превръщат във важни обекти на математическо изследване. Така че може да е изненадващо, че хилядолетия по-късно все още се крият загадки дори в най-простата форма в многостенната вселена на Платон: тетраедърът, който има само четири триъгълни страни.
В една все още не решена задача се пита например колко плътно могат да се опаковат "правилни" тетраедри, т.е. които имат еднакви страни. В друга се пита кои видове тетраедри могат да бъдат нарязани на парчета, които след това могат да бъдат сглобени отново, за да образуват куб.
Великият математик Джон Конуей се интересувал не само от това как тетраедрите могат да бъдат подредени или пренаредени, но и от това как те се балансират. През 1966 г. той и математикът Ричард Гай попитали дали е възможно да се конструира тетраедър, направен от еднороден материал – с равномерно разпределена маса – който може да стои само на едната си страна. Ако поставите такава "моностабилна" форма на която и да е от другите ѝ страни, тя винаги ще се обърне към стабилната си страна.
Няколко години по-късно, двамата математици отговарят на собствения си въпрос, доказвайки, че такъв равномерен моностабилен тетраедър не е възможен. Но какво ще стане, ако бъде позволено да се разпредели масата му неравномерно?
В началото може да изглежда очевидно, че това би трябвало да работи.
"В края на краищата, така работят играчките тип "рол-поли" [неваляшка]: Просто сложете тежест на дъното", казва Давид Пап (Dávid Papp) от Държавния университет на Северна Каролина. Но "това работи само с форми, които са гладки или кръгли, или и двете."
Що се отнася до многостенните структури, с техните остри ръбове и плоски повърхности, не е ясно как да се проектира нещо, което винаги ще се обръща на една и съща страна.
Конуей, от своя страна, смятал, че такива тетраедри би трябвало да съществуват, спомнят си някои математици. Но в крайна сметка се фокусирал върху балансиращите действия на тетраедри с равномерно разпределена маса. Ако някога е написал доказателство за своята импровизирана 3D хипотеза, никога не го е публикувал.
И така, в продължение на десетилетия математиците всъщност не са се замисляли върху този проблем. Тогава се появява Габор Домокос (Gábor Domokos), математик от Будапещенския университет по технологии и икономика, който отдавна се е занимавал с проблеми с балансирането.
През 2006 г. той и един от колегите му откриват форма, наречена гьомбьоц ("топка" на унгарски), която има необичайното свойство да бъде "моно-моностатична" – балансира само върху две точки (едната стабилна, другата нестабилна, като страната на монета) и никакви други.
Опитайте се да я балансирате на друга позиция и тя ще се преобърне, за да застане на стабилната си точка.
Но гьомбьоцът е бил закръглен на места. Домокос искал да знае дали един заострен многоъгълник може да има подобно свойство. И така, предположението на Конуей го заинтригувало.
"Как е възможно да има едно съвсем просто твърдение за един съвсем прост обект и въпреки това отговорът да е толкова незабавен?", си казал той. "Знаех, че е много вероятно това да излезе съкровище."
През 2023 г. Домокос — заедно със своите студенти Гергьо Алмади, Кристина Регьош и Робърт Доусън (Gergő Almádi и Kristztina Regős, и Robert Dawson) от университета "Сейнт Мери" в Канада — доказват, че наистина е възможно да се разпредели теглото на тетраедъра така, че той да лежи само върху едната страна. Поне на теория.
Но Алмади, Доусън и Домокос искали да построят това нещо, задача, която се оказала далеч по-трудна, отколкото очаквали. Сега, в предпечатна публикация, публикувана онлайн наскоро, те представили първия работещ физически модел на формата. Тетраедърът, който тежи 120 грама и е с дължина 50 сантиметра по най-дългата си страна, е изработен от леки въглеродни влакна и плътен волфрамов карбид. За да работи, е трябвало да бъде проектиран с прецизност от една десета от грама и една десета от милиметъра. Но крайната конструкция винаги се обръща върху едната страна, точно както трябва.
Този тетраедър, който е предимно кух и има внимателно калибриран център на масата, може да се опира само на едната си страна - свойство, което е трудно постижимо при форми с прави ръбове и плоски страни. Кредит: Mark Belan/Quanta Magazine
Работата демонстрира важната роля на експериментирането и играта в изследователската математика. Тя има и потенциални практически приложения, като например при проектирането на самоизправящи се космически кораби.
"Не очаквах да се появят още изследвания върху тетраедрите", коментира Пап. И все пак, добавя той, изследванията на екипа позволяват на математиците "наистина да оценят колко много не сме знаели и колко задълбочено е разбирането ни сега".
Повратна точка
През 2022 г. Алмади, тогава студент, мечтаещ да стане архитект, се записва в курса по механика на Домокос. Той не говори много, но Домокос вижда в него трудолюбив човек, който постоянно е потънал в дълбоки мисли. В края на семестъра Домокос го моли да измисли прост алгоритъм, за да изследва как се балансират тетраедрите.
Когато Конуей първоначално поставил проблема си, единствената му възможност била да използва молив и хартия, за да докаже чрез абстрактни математически разсъждения, че съществуват моностабилни тетраедри. Би било почти непосилно трудно да се посочи конкретен пример. Но десетилетия по-късно Алмади разполага с компютри. Той можел да извършва грубо търсене сред огромен брой възможни форми. В крайна сметка програмата на Алмади намерила координатите на четирите върха на тетраедър, които, когато им се присвоят определени разпределения на теглото, могли да бъдат моностабилни. Конуей бил прав.
Алмади е открил един моностабилен тетраедър, но вероятно е имало и други. Какви са общите им свойства?
Макар че това може да изглежда като прост въпрос, "твърдение като "Тетраедърът е моностабилен" не може лесно да бъде описано с проста формула или малък набор от уравнения", обяснява Пап.
Екипът осъзнава, че във всеки моностабилен тетраедър, три последователни ръба (където се срещат две стени) трябва да образуват тъпи ъгли - такива, които са над 90 градуса. Това би гарантирало, че едната стена ще виси над друга, позволявайки му да се преобърне.
След това математиците показват, че всеки тетраедър с тази характеристика може да бъде направен моностабилен, ако центърът му на масата е разположен в една от четирите "зони на натоварване" – много по-малки тетраедрични области в рамките на оригиналната форма. Докато центърът на масата попада в зона на натоварване, тетраедърът ще балансира само върху едната си страна.
Гьомбьоцът, открит през 2006 г., може да стои само на две точки, едната стабилна, а другата нестабилна. Математиците продължават да търсят други форми с интригуващи балансиращи свойства. Кредит: Gábor Domokos
Постигането на правилния баланс между масата на зоната на натоварване и масата на останалата част от тетраедъра е лесно в абстрактната област на математиката - може да се дефинира разпределението на масата, без да се интересуваме дали това е физически възможно. Може например да се оставят части от формата да не тежат нищо, докато концентрирате голямо количество маса в други части.
Но това не било напълно задоволително за математиците. Алмади, Доусън и Домокос искали да държат тетраедъра в ръцете си. Възможно ли било да се направи моностабилен тетраедър в реалния свят, с реални материали?
Тетраедърът става истински
С помощта на компютър те разглеждат различните начини, по които моностабилните тетраедри биха могли да се обърнат към стабилната си стена. Например, един вид тетраедър може да следва много прост път: Стена А може да се обърне към Стена B, която се обръща към Стена C, а той - към Стена D. Но в друг тетраедър, Стена А може да се обърне към Стена B, а и Стена B, и Стена D ще се обърнат към Стена C.
Зоните на натоварване за тези различни тетраедри изглеждат много различно. Екипът изчислява, че за да се получи един от тези "падащи модели", ще е необходимо да се конструира част от формата от материал, който е около 1,5 пъти по-плътен от ядрото на слънцето.
Те се фокусират върху по-осъществим модел. Въпреки това, част от техния тетраедър би трябвало да е около 5000 пъти по-плътен от останалата част. А материалите трябва да са твърди - леки, крехки материали, които биха могли да се огънат, биха съсипали проекта, тъй като е лесно да се направи кръгла или гладка форма моностабилна.
В крайна сметка те проектират тетраедър, който е предимно кух. Състоял се от лека рамка от въглеродни влакна и една малка част, изработена от волфрамов карбид, който е по-плътен от оловото. За да имат по-леките части възможно най-малко тегло, дори рамките от въглеродни влакна трябвало да бъдат кухи.
С този чертеж в ръка, Домокос се свърза с компания за прецизно машиностроене в Унгария, за да помогнат за изграждането на тетраедъра. Те е трябвало да бъдат изключително точни в измерванията си, дори когато става дума за теглото на малките количества лепило, използвани за свързване на всяка от страните на тетраедъра. Няколко разочароващи месеца и няколко хиляди евро по-късно екипът получава прекрасен модел, който изобщо не работи. Тогава Домокос и главният инженер на модела забелязват капка лепило, полепнала по един от върховете му. Техник я отстранява и около 20 минути по-късно лепилото изчезеа и Алмади получава съобщение от Домокос.
"Работи", гласи съобщението.
Алмади, който се е разхождал, започва да подскача по улицата. "Да виждаш линиите на компютъра е много далеч от реалността", споделя Алмади. "Това, че ние го проектирахме и то работи, е някак фантастично."
"Исках да бъда архитект", добавя Алмади. "Така че това все още е много странно за мен – как се озовах тук?"
В крайна сметка, работата върху моностабилни тетраедри не е включвала някаква особено сложна математика, според Ричард Шварц (Richard Schwartz) от университета Браун. Но е "изненадващо, че тези неща биха съществували", коментира Шварц.
Защо триъгълниците са лесни, а тетраедрите са трудни
В момента не е ясно какви нови теоретични прозрения ще предостави моделът на моностабилния тетраедър, но експериментирането с него може да помогне на математиците да открият други интригуващи въпроси, които да си зададат за полиедрите.
Междувременно Домокос и Алмади работят по прилагането на наученото от конструкцията си, за да помогнат на инженерите да проектират лунни модули, които могат да се обърнат с правилната страна нагоре, след като паднат.
Във всеки случай, понякога просто трябва да видите нещо, за да повярвате в него, отбелязва Шварц.
"Дори за теоретичната математика, особено за геометрията, хората са донякъде скептични, защото е доста трудно да се разсъждава пространствено. И може да се правят грешки, и хората ги правят."
"Конвей не каза нищо за това, той просто го предположи — никога не го доказа, никога не доказа и че е грешно, нищо. И сега ето ни тук, не знам, 60 години по-късно", коментира Алмади. "Ако беше още жив, бихме могли да сложим това на бюрото му и да му покажем: Прав беше."
Справка: Building a monostable tetrahedron; Gergő Almádi, Robert J. MacG. Dawson, Gábor Domokos; https://arxiv.org/abs/2506.19244
Източник: A New Pyramid-Like Shape Always Lands the Same Side Up, Quanta Magazine
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари
dolivo
Как „зеленото побутване“ стимулира устойчивите избори на хората
helper68
Натурални суперколайдери: Черните дупки могат да се използват ускорители на частици
dolivo
Учени възпроизвеждат сияйното египетско синьо, озарявало гробниците на фараоните
dolivo
Революция в залесяването: Японски дронове с изкуствен интелект засаждат дръвчета 10 пъти по-бързо от хората