Какво представляват фракталите и как могат да ни помогнат да разберем света?

Ваня Милева Последна промяна на 31 май 2024 в 00:00 11066 0

Фракталната геометрия е често срещана в природата
Фракталната геометрия е често срещана в природата

Фракталите са често срещани в природата заради изненадващо простия начин, по който са направени. Със своята математика, те ни помагат да разберем и сложността на природата,  и хаоса – и може би дори някои странности на квантовата механика.

Почти сигурно сте виждали компютърно генерирани фрактали – красиви, хипнотизиращи изображения, в които цветни, сложни структури се повтарят, докато се гмуркаме в безкрайността.

Накратко и просто казано: Фракталите са безкрайно развиващи се форми, които са самоподобни в различни мащаби.

Заради особеностите на тяхната геометрия, фракталите могат да ни помогнат да разберем по-добре света на много нива.

Да започнем с нещо, което лесно се вижда: фракталите в природата. Те са навсякъде около нас – в дървета, планински вериги, делти на реки и т.н. От ствола на дървото се разперват дебели клони, от тях - по-малки клончета, докато стигнем до най-малките вейки.

Кръвоносната ни система е устроена по същия начин - артериите се разклоняват в по-малки съдове и така до най-малките капиляри.

Ще установите, че те изглеждат почти еднакво, ако се вгледате в подобни обекти като цяло, а след това в една част от тях, увеличавайки мащаба, а след това в част от тази част и т. н., .

Това свойство на обектите се нарича фракталност. A в основата на това явление е много проста идея: безкрайната красота и разнообразие на множество форми може да бъдат получени от сравнително прост модел само с две операции - копиране и мащабиране. (за хората, занимавали се с програмиране, действията са "итерация и рекурсия).

Възможността за описание на природни обекти с математически формули, е завладяваща, но тези красиви картинки имат и практически смисъл.

Има си причина вътрешността на белите ни дробове да е фрактална: с такава геометрия се натъпква огромна повърхност в малък обем пространство. Ето как еволюцията решава проблема с максимизирането на площта на тъканта, която може да абсорбира кислород.

Фрактални измерения

Тук се сблъскваме с фракталните измерения.

В нашия ежедневен свят правата линия е едноизмерна, квадратът е двуизмерен, а кубът или сферата са триизмерни. Интуитивно разбираме термина размерност като броя на координатите, необходими за определяне на местоположението на точка във вътрешността на формата.

Тази размерност се нарича топологична. Тя се е използвала в течение на хилядолетия, но се оказва недостатъчна при изучаването на фракталите.


Фракталните структури имат измерения помежду тези стойности, тя не е цяло число, а дроб. Този фрактал, наречен "снежинката на Кох" има размерност 1.26 (D = log 4 / log 3)

Областите, оградени от последователните етапи в изграждането на снежинката, са 8/5 пъти площта на първоначалния триъгълник, докато периметрите на последователните етапи нарастват неограничено. Следователно снежинката на Кох обхваща ограничена площ, но има безкраен периметър.

Един квадрат има две измерения, но ако си представим, че е запълнен със силно нагънато въже, получаваме фрактал, наречен крива на Хилберт. Размерността на този фрактал е 2.


Въпреки че до голяма степен е невъзможно да си го представим, размерността е мярка за сложността на един фрактал или на колко самоподобни структури може да се раздели при увеличение.

И още един пример, в който иронично е замесена геополитиката: По време на Втората световна война английският математик Люис Фрай Ричардсън бил осенен от оригиналната идея, че агресивността на една държава или империя зависи от дължината на нейната граница.

Той си е мислел, че вероятността за война между две съседни държави зависи от дължината на границата, която ги разделя.

Като започнал да събира данни, се натъкнал на парадокса, че колкото по-точно се измерва дължината на бреговата линия например на Англия, толкова по-дълга се оказва.

Ако някой реши да продължи упорито задачата на Ричардсън и отиде на място, в Англия и с дърводелски метър измери бреговата й линия, тази дължина ще бъде още по-голяма от измерените по карта. Може да се продължи този процес още, докато с подходящ уред не се стигне до песъчинките, до атомите или до дължината на Планк. Задачата е непосилна.

Ричардсън установил, че нарастването става по добре изразен степенен закон. Той е съпоставил стъпката на измерване и получената дължина и намерил добре изразени линейни зависимости в логаритмични координати.

Така бреговата линия на Англия всъщност има безкрайна дължина, тя е фрактал и фракталната му размерност е 1.25, което е близо до размерността на снежинката на Кох.

Смисълът не е само в красивите картинки

Тези видове размерност имат значение.

Тъй като бреговата линия се променя с течение на времето, променя се и нейното фрактално измерение, което може да даде мярка за ефекта на ерозията.

А фракталните свойства, разкрити от сканиране с магнитен резонанс, могат да помогнат на лекарите да диагностицират различни заболявания.

Белодробните заболявания често са нарушение във фракталната сложност на белите дробове, а болестта на Алцхаймер влошава фракталната сложност на невроните.

Фрактали, хаос, атрактори и квантова физика

Фракталите също така ни помагат да разберем времето, климата и други хаотични системи – т.е. такива, които се развиват по изключително различни пътища в отговор на най-малката промяна в първоначалните условия.

Някои хаотични системи винаги се приближават към определен математически набор от характеристики, наречени "атрактори".

Атракторът картографира движението на хаотични системи през всички възможни състояния към своите почти неизбежни резултати. Връзката с фракталите е, че тази карта често има фрактална структура.

Скритите фрактални структури могат дори да трансформират нашето разбиране за фундаменталната физика според Тим Палмър (Tim Palmer) от Оксфордския университет.

Той обръща внимание, че атракторите имат любопитно, често пренебрегвано свойство. Във всяка хаотична система има състояния и ситуации, които са забранени. Празното пространство на атрактора определя кои състояния са невъзможни.

Палмър проучва какво би означавало, ако нашата вселена е подложена на същите ограничения.

"Представих си, че Вселената е хаотична система, развиваща се върху свой собствен атрактор", разказва Палмър.

В тази хаотична вселена той си представя и провеждането на експеримента на Бел, който може да определи дали има "призрачно действие на разстояние", по-известно като нелокалност и най-общо казано, дали описанието на квантовата механика за света е правилно (повече информация - в карето под статията).

Палмър смята, че определени комбинации от квантови състояния може да са недостъпни, което означава, че някои експериментални избори противоречат на законите на физиката.

"Тези празнини в пространството на състоянията, местата, на които системата не е позволено да отиде, ни дават пространството за мърдане, от което се нуждаем, за да можем да нарушим неравенството на Бел, без да се налага да използваме неопределеност или нелокалност", отбелязва Палмър.

Той планира да подложи идеите си на изпитание, като започне с експеримент, свързан с броя на квантовите обекти, които могат да бъдат вплетени заедно. В стандартната квантова теория няма ограничение, но в схемата на Палмър това число е ограничено. Това би обяснило странността на квантовото вплитане, смята Палмър, където две или повече частици си влияят една на друга по начини, които противоречат на здравия разум. 

Кредит: Public Domain-Merket 1.0

"След определен брой вплитания ще се върнем към класическите корелации", заявява Палмър.

Той смята, че квантовото вплитане е илюзия, защото си въобразяваме, че във Вселената са възможни всички състояния, а те  всъщност не са.

Справка: Experimental Tests of Invariant Set Theory; Jonte R. Hance, Tim N. Palmer, John Rarity; https://arxiv.org/abs/2102.07795 

Източници: 

What are fractals and how can they help us understand the world?,  New Scientist

Is everything predetermined? Why physicists are reviving a taboo idea,  New Scientist

Тестът на Бел

За по-пълното разбиране на нелокалността е полезно да разгледаме един анекдот за странни чорапи, разказан за първи път от ирландския физик Джон Бел, който е допринесъл много за разбирането ни за квантовия свят. Той е вдъхновен от Райнхолд Бертман, който работи с Бел в края на 70-те години на миналия век. Бел вижда, че колегата му имал навика да носи различен цвят чорап на всеки крак. Това означавало, че щом единият чорап на Бертман е розов например, е ясно, че другият няма да е розов.

Бел си помислил, че това звучи подозрително подобно на квантово вплитане. Това го кара да се замисли дали вплитането е толкова странно, колкото изглежда. Анекдотът за чорапите може да се обясни достатъчно лесно с избора на Бертман, когато се облича. Възможно ли е съответствието между вплетените частици да е по подобен начин предопределено - и така да се обясни с обикновената, неквантова физика?

Гениалността на Бел се състои в отговорът му на този въпрос с помощта на т. нар. "тест на Бел". Той включва вплитане на две частици и изпращането им далеч една от друга в лаборатории, където те могат да бъдат измерени по два различни начина. Всяка лаборатория извършва едно измерване, без да знае какво е избрала другата лаборатория, и го използва, за да предскаже резултатите от измерването на другата лаборатория. Представете си го като квантов вариант на това да погледнете розовия чорап и да предскажете, че другият чорап не е розов. Те правят това много пъти и броят правилните прогнози. Бел демонстрира, че ако вплитането може да бъде обяснено чрез обикновената, неквантова физика, то в теста на Бел ще се получава правилен отговор в не повече от 75 % от случаите. Когато обаче тестът се провежда върху квантово вплетени частици, верният отговор ще се появява в 85 % от случаите.

Съществува ли цвят, когато никой не го гледа? Вплетените двойки в квантовата механика могат да се сравнят с машина, която изхвърля топки с противоположни цветове в противоположни посоки. Когато Боб хване една топка и види, че тя е черна, той веднага разбира, че Алис е хванала бяла топка. В теорията, която използва скрити променливи, топките винаги съдържат скрита информация за това какъв цвят да покажат. Квантовата механика обаче казва, че топките са били сиви, докато някой не ги погледне, тогава едната на случаен принцип става бяла, а другата черна. Неравенствата на Бел показват, че съществуват експерименти, които могат да разграничат тези случаи. Такива експерименти са доказали, че описанието на квантовата механика е правилно.

Следователно тестът на Бел е начин да се определи количествено колко странни са корелациите между квантовите частици - и той показва, че те наистина надхвърлят всичко, което можем да се обясни с помощта на класическата физика. Ето това всъщност се има предвид, когато се говори за "нелокалност".

Сега тестът на Бел играе ключова роля в развитието на поредица от идеи, които са дори по-странни от квантовата теория.

Най-важното
Всички новини
За писането на коментар е необходима регистрация.
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!

Няма коментари към тази новина !