Математик решава 50-годишна задача с лентата на Мьобиус

Един трапец е бил ключът към откриването на неуловимия отговор на загадката за лентите на Мьобиус

Ваня Милева Последна промяна на 12 октомври 2023 в 00:00 12588 0

Мьобиусовата лента е едностранна

Кредит Unsplash

Мьобиусовата лента е едностранна

В продължение на почти половин век математиците се борят с един на пръв поглед прост въпрос: Колко малка може да бъде лентата на Мьобиус, без да се пресича сама със себе си? Ричард Шварц, математик от Университета Браун, предлага елегантно решение на този проблем.

Лентите на Мьобиус са интересни математически обекти. За да построите една от тези едностранни повърхности, вземете ивица хартия, усучете я веднъж и залепете краищата ѝ един за друг. Направата на една от тези форми е толкова проста, че дори малки деца могат да я направят, но свойствата на фигурите са достатъчно сложни, за да предизвикат траен интерес у математиците.

Откриването на лентaта на Мьобиус през 1858 г. се приписва на двама германски математици - Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг, въпреки че има доказателства, че по това време математическият гений Карл Фридрих Гаус също е бил наясно с тази форма, разказва Мойра Час (Moira Chas), математик в Университета Стоуни Брук.

Мьобиусовата лента е едностранна. Схема и анимация: Konrad Polthier.

Независимо от това кой пръв се е сетил за тях, доскоро изследователите бяха затруднени от един на пръв поглед лесен въпрос за лентата на Мьобиус: Каква е най-късата ивица хартия, необходима за направата на такава? По-конкретно, този проблем не бе решен за гладки Мьобиусови ленти, които са "вградени" вместо "потопени", което означава, че те "не се пресичат" или самопресичат, разказва Ричард Еван Шварц (Richard Evan Schwartz), математик от Университета Браун.

Представете си, че "лентата на Мьобиус всъщност е холограма, един вид призрачна графична проекция в триизмерното пространство", обяснява Шварц. При потопена лента на Мьобиус "листовете ѝ биха се припокривали един с друг, нещо като призрак, който преминава през стена", но при вградена лента "няма такива припокривания".

През 1977 г. математиците Чарлз Сидни Уивър и Бенджамин Риглър Халпърн поставят този въпрос за минималния размер и отбелязват, че "задачата става лесна, ако се допусне лентата на Мьобиус да има самопресичания", отбелязва Дмитрий Фукс (Dmitry Fuchs), математик от Калифорнийския университет, Дейвис.

Остава въпросът, добавя той, "да определим, неофициално казано, колко място е необходимо, за да се избегнат самопресичанията". Халпърн и Уивър предлагат минимален размер, но не могат да докажат тази идея, наречена хипотеза на Халпърн-Уивър.

В своята статия Халпърн и Уивър определят ограничение за лентите на Мьобиус въз основа на познатата геометрия на сгънати парчета плътна хартия: съотношението между дължината и ширината на хартията трябва да бъде по-голямо от √3, или около 1,73.

Например, ако лентата е широка един сантиметър, тя трябва да е по-дълга от √3 см.

Шварц научава за проблема за първи път преди около четири години, когато Сергей Табачников (Sergei Tabachnikov), математик от Държавния университет на Пенсилвания, му го споменава, а Шварц прочита глава по темата в книгата, която Табачников и Фукс са написали.

"Прочетох главата и се пристрастих", разказва Шварц. Сега интересът му се отплаща с решение на проблема. В статия, публикувана в arXiv.org на 24 август, Шварц доказва предположението на Халпърн-Уивър.

Решаването на задачата изисква математическа креативност. 

В доказателството на Шварц "Рич е успял да разчлени проблема на управляеми части, всяка от които по същество е изисквала само елементарна геометрия, за да бъде решена", обяснява Макс Вардецки (Max Wardetzky), математик от университета в Гьотинген, Германия. "Този подход към доказателствата въплъщава една от най-чистите форми на елегантност и красота."

Преди да стигне до успешната стратегия обаче, Шварц изпробва други тактики в продължение на няколко години и не успява. Неотдавна той решава да се върне към проблема заради усещането, че подходът, който е използвал в статията от 2021 г., би трябвало да работи.

Ако се разреже лентата на Мьобиус (вдясно), ще се получи трапец (вляво). Кредит: Schwartz/arXiv

В по-ранната си работа Шварц идентифицира две прави линии, които са перпендикулярни една на друга и също така са в една и съща равнина, образувайки Т-образен модел на всяка Мьобиусова лента.

Следващата стъпка е да се създаде и реши оптимизационна задача.

Започва да експериментира със сгънати хартиени ленти на Мьобиус с надеждата, че двуизмерната форма ще бъде по-лесно да се реши математически. Решава да разреже лентата на Мьобиус под ъгъл (а не перпендикулярно на границата) по протежение на отсечка, която се простира по ширината на лентата, и разглежда получената форма.

Но когато разрязва лентата под ъгъл, вижда нещо, което не е очаквал.

За тази стъпка в статията на Шварц от 2021 г. той неправилно заключава, че тази форма е успоредник. Всъщност това е трапец - форма с четири страни, от които две страни са успоредни една на друга.

В продължение на три безсънни нощи, с известна помощ от няколко колеги, Шварц поправя грешката си и намира "наистина добро доказателство" за междинната стъпка, "което значително опростява" задачата.

"Бях изумен и доволен да открия, че когато реших проблема с оптимизацията правилно, получих...точно √3“, пише Шварц.

Що се отнася до свързаните с това въпроси, математиците вече знаят, че няма ограничение за това колко дълги могат да бъдат вградените ленти на Мьобиус (въпреки че физическото им конструиране в даден момент би станало тромаво). Никой обаче не знае колко къса може да бъде една хартиена лента, ако от нея се направуи лента на Мьобиуса с три завъртания вместо с едно, отбелязва Шварц.

В по-общ план "може да се зададе въпросът за оптималните размери на лентите на Мьобиус, които правят нечетен брой усуквания", казва Табачников. "Очаквам някой да реши тази по-обща задача в близко бъдеще."

Справка: The Optimal Paper Moebius Band
Richard Evan Schwartz, https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf 

Източник: Mathematician Solves 50-Year-Old Möbius Strip Puzzle, Rachel Crowel, Scientific American

Най-важното
Всички новини
За писането на коментар е необходима регистрация.
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!

Няма коментари към тази новина !