4D проекции

Проекциятa е метод за представяне на N-мерен обект като се използват (N-1) измерения. Има няколко различни методи на проекция, но всички те имат една и съща основна идея: въображаеми лъчи, наречен проектори се излъчват от обекта към еднa (N-1) -мерна проекционна равнина, пресечните точки на тези лъчи с равнината на проекция дават изображението на обекта.

ПРОЧЕТЕТЕ ПРЕДИ ТОВА:

Църквата в четвъртото измерение

Четвъртото измерение: Истории от плоските светове

Платоновите тела и техните братовчеди от висшите измерения

Сечения и разгъвки на четиримерни обекти

Това е като да правенето на снимки с фотоапарат. Художниците често използват перспектива, за да създадат илюзия за триизмерна дълбочина. За да се проектира изображението на платното, може например да поставим източник на светлина зад обекта и наблюдаваме сянката от обекта на платното. Когато се проектира 4D обект, всъщност се правят две проекции:

• Проекция от 4D към 3D, за да се образува един 3D образ, такъв, какъвто би го видяло едно 4D същество, по аналогия на нашето плоско виждане;
• Проекция от 3D в 2D, така че тя може да бъде показана на екрана на компютъра.

Проекцията на обекта също дава само частична информация, обаче, ако обектът се върти пред източника на светлината и наблюдаваме как се променя сянката, често може да получим много точна представа за обекта.

Завъртане на куб около 4D ос

Ще използваме триизмерна аналогия, за да изследваме проекцията на 3D куб, докато се върти около 4D ос. Това много ще ни помогне да разберем по-късно проекциите на 4D-обектите.

Ще започнем, като разгледаме 2D квадрат, който се върти в 3D:

Забележете, че изображението на плочката се появява като квадрат, само когато се гледа анфас. Когато се вижда под ъгъл, изглежда не като квадрат, а като трапец. Неговите вътрешни ъгли се променят и външният ръб изглежда като че ли се удължава и свива, тъй като се върти около 3D ос. Въпреки това, ние си знаем, че квадратът не променя своите вътрешни ъгли или дължината на страните си, той просто изглежда по този начин, защото се вижда в перспектива. Сега нека да разгледаме в аналогична ситуация на

3D куб, който се върти в 4D

Кубът все едно се обръща наопаки и налице като чорап. Една от стените му като че ли пораства и се свива, а неговите странични стени се разкривяват в трапеци. Кубът, обаче, всъщност си остава куб, но изглежда така, защото се върти през 4-тото измерение. По-точно се върти в равнината XW (равнината, определена от координатни оси Х и W).

За да разберем този странен ефект, помислете как би изглеждала на едно 2D същество по-горната анимация на квадрат, който се върти около 3D ос. Единствените ротации, които то знае, са ротации в равнината и никоя от тях не обръща нещата така. Тъй като няма никакъв опит в 3D ротациите, ще възприеме, че квадратът се смачква и се обръща наопаки и обратно по невъзможен начин. Но в действителност, квадратът не се обръща наопаки, той просто прави едно съвсем нормално въртене през 3D.

Ефектът "налице-наопаки" е просто един артефакт на N-размерния наблюдател на проекцията на обекти, въртящи се N+1-размерно пространство.

Обвивката на проекцията

При сеченията, единственото, което ни носи информация е формата на контура. И ако разгледаме примерите на пресичане на куб, ще видим, че тази информация не е еднозначна - например квадратно сечение имат не само кубове, а и октаедри, пирамиди и безброй призми. От друга страна този шестоъгълник е крайно недостатъчен, може да се каже и заблуждаващ, за да ни подскаже какво е това куб. Но при проекцията контурът е само обвивката на изображението на обекта, а важната информация е вътре - например, в случая с куба - тези 3 съединяващи се линии.

Това е очевидно за нас, като опитни 3D хора, но когато разглеждаме проекциите на 4D-обекти в 3D, ще е много изкушаващо да се увлечем по обвивката от красиви многостени, идентифицирайки я със самото тяло и лесно можем да отминем същността вътре в обвивката.

Вгледайте се във проекциите на хиперкуб вляво. Къде според вас са върховете на 4-мерното тяло? Уви, не в жълтите точки , колкото и "очевидно" да ни се струва. Истинският 4D-връх е в центъра, червената точка! Други важни неща, което не трябва да забравяме е, че ромбоидните тела са всъщност кубове и че само 4 от 8 клетки са видими. Причината за това е, че другите 4 клетки са зад тези четири и затова са скрити.

Знаейки това за вътрешната структура на проекцията на хиперкуба, можем да намерим 4-те кубични клетки на хиперкуба, които са видими в момента:

Тези клетки изглеждат като изкривени кубчета, но всъщност са напълно правилни кубове. Те само изглеждат изкривени, защото се деформират от перспективата.

Имайте предвид, че горните проекции на хиперкуба са само 4 от 8-те видими клетки. Причината за това е, че останалите 4 клетки са зад тези четири и следователно са скрити.

Скритите неща

Защо има скрити клетки в проекциите на 4D-обектите? Ако разгледаме проекция на елементарен 3D-куб, в който равноправно са изобразени всички ръбове, ще ни изглежда доста объркващо, да не говорим за по-сложни тела или 4D-обекти. Причината е, че няма да знаем, кое е отпред и кое отзад и тогава губим ориентация за "дълбочината". Като компромисно решение, за да не губим информация, обектите е най-добре да се изобразяват с полупрозрачни стени , за да се вижда макар и бледо какво става отзад. Добавянето на сенки също подобрява значително възприемането.

Тълкувания и указания

Да мислим 4D обемно

Това е проекция на 3D куб в перспектива. Тя се състои от няколко части:

• външен контур, представляващ по- голям квадрат;
• по-малък син квадрат в центъра
• четири зелени трапецовидни парчета, свързващи външния и вътрешен квадрат.

Благодарение на нашия опит с 3D, ние знаем, че външният квадрат кореспондира с близката стена на куба, а вътрешният квадрат съответства с далечната стена на куба. Въпреки че външният квадрат е по-голям от вътрешния, в действителност те са еднакви. Далечната стена изглежда по-малка, защото тя е по-далеч в 3-та посока, в дълбочина. Освен това, знаем от нашия опит, че четирите трапецовидни парчета, между вътрешния и външния квадрат са наистина квадратни стени на куба. Те изглеждат като трапеци, защото се виждат под ъгъл. Също така знаем, че всички тези 6 стени само ограждат куба отвън. Това е очевидно за нас, но е много трудно за едно 2D същество да го разбере - то ще вижда вътрешен квадрат във външен и няма да проумее как и двата са на повърхността на куба. Но да не се възгордяваме от способностите си, защото ще сме в същото безпомощно състояние, опитвайки се да видим 4D.

Ако сравним това изображение с предишното, ще забележим аналогия. Първо, виждаме, два куба: външен куб и син вътрешен куб. Вътрешният куб е аналог на вътрешния квадрат от предишното изображение. Това е далечната клетка на тесеракта, точно както вътрешният квадрат е далечната стена на куба. По същия начин, външният куб е аналог на външния квадрат и е близката клетка на тесеракта. Тези два куба са напълно еднакви, синият куб изглежда по-малък, защото е по-далеч в 4-тата посока. 6-те зелени пресечени пирамиди, свързващи външния и вътрешен куб са аналози на трапеците в предишното изображение. По аналогия, трябва да ни е ясно, че те всъщност също имат формата на куб и са същите като вътрешните и външни кубчета. Те само изглеждат пресечени пирамиди, защото се виждат под ъгъл. И накрая, всички 8 куба, вътрешен, външен, отгоре, отдолу, отляво, отдясно, отпред и отзад са само от външната обвивка на хиперкуба. Те са еквиваленти на стените на куба.

Къде е вътре?

Да се опитаме да видим през очите на едно 2D същество тази проекция на куба. За него мястото "вътре" в куба ще е твърде трудно за осъзнаване. То вижда 6-те стени, които вече са запълнили цялата площ на изображението - тогава къде има място за вътрешност на куба?

За нас, 3D- съществата, всичко е лесно - мястото "вътре" е между 6-те стени на куба, а място има, защото 3-то направление - дълбочина. Анимираният квадрат обхожда обема и вътрешността ясно се вижда.

А къде е вътрешността на хиперкуба? По аналогия, трябва да е "между" всички 8 куба, които ограждат хиперкуба,. но заради нашето 3D мислене, също като в по-горния случай се питаме: Къде, по дяволите, има място? Тези проклети уродливи кубове са запълнили всичко. Как и къде може да се напъха още нещо?

Отговорът е: новата 4D дълбочина . Вътрешният куб е "по-дълбоко" по направление на 4-тата ос от външният куб, така че има достатъчно място между тях за вътрешността на хиперкуба. Стойността на обема е сбор от всички възможни кубчета, разположена между две противоположни кубчета, както е показано със анимация. Розовата пирамида е всъщност куб, който се движи напред и назад между лявата и дясна клетка на хиперкуба. Обхождайки вътрешността, когато минава през средата, тя като че ли се обръща "наопаки" - за този артефакт писахме малко по-рано.

В 4D-пространството, 3D-обемите играят роля, аналогична на повърхностите в 3D, както в 2D-пространството биха играли роля, аналогична на ръбовете. Трябва да си представим, че 4D-обектите имат гранични обеми, а не 2D повърхности. А 2D повърхността покрива еквивалентна на тънка струна площ в 4D. Когато видите 2D повърхност в проекцията на 4D изображение, трябва да знаете, че това е само ръб, а не гранична повърхност.  

	Най-близката стена (клетка)
	Най-далечната стена (клетка)
	Най-близкият ръб
	Най-далечния ръб
	Ако поставите мишката върху някой от параметрите, ще видите мястото му в обектите в червено. Наблюдавайте аналогията

Източник: 4D Visualization