200-годишна алгебрична "геода" е разчупена с нов смел подход с нови числови редове

Математик е разрешил 200-годишен проблем, който някога е побеждавал най-великите математически умове в историята, преобръщайки векове от конвенционалните схващания за това какво е възможно в алгебрата.

Математикът Норман Уайлдбергер (Norman Wildberger), почетен професор в австралийския университет на Нов Южен Уелс, и компютърният учен Дийн Рубин (Dean Rubine) са разработили революционен подход за решаване на полиномни уравнения от пета степен и по-висока – нещо, което легендарният френски математик Еварист Галоа доказва като "невъзможно" още през 1832 г.

Полиномите са изрази, включени в уравнения, с променливи, повдигнати на някаква степен като например полиномно уравнение от втора степен: 1 + 4x – 3x² = 0.

Уравненията са важни както за математиката, така и за науката, където имат широки приложения, като например описанието на движението на планетите или писане на компютърни програми.

Въпреки това, исторически погледнато, общ метод за решаване на полиномни уравнения от "по-висок ред", където x се повдига на степен пет или по-висока, се е доказал като нерешим.

Сега проф. Норман Уайлдбергер и  д-р Дийн Рубин разкриват нов подход, използващ нови числови редове, описан в списание The American Mathematical Monthly.

"Нашето решение отваря отново една преди това затворена книга в историята на математиката", коментира проф. Уайлдбергер.

Полиномната задача

Решения на полиноми от втора степен съществуват от 1800 г. пр.н.е., благодарение на "метода за допълване на квадрата" на вавилонците, който еволюира в квадратната формула, позната на много ученици по математика в гимназията. Този подход, използващ корени от числа (символът ⁿ√a  се нарича радикал), по-късно е разширен за решаване на полиноми от трета и четвърта степени през 16 век.

След това, през 1832 г., френският математик Еварист Галоа показва как математическата симетрия зад методите, използвани за решаване на полиноми от по-нисък ред, става невъзможна за полиноми от пета степен и по-висока. Следователно, според него, не може да се намери обща формула за тяхното решение.

Оттогава са разработени приблизителни решения за полиноми от по-висока степен, които се използват широко в приложенията, но проф. Уайлдбергер посочва, че те не принадлежат към чистата алгебра.

Новият метод отхвърля радикалите и ирационалните числа

Проблемът, казва той, се крие в използването на трети или четвърти корени в класическата формула, които са радикали.

Радикалите обикновено представляват ирационални числа, които са десетични дроби, които се простират до безкрайност без да се повтарят и не могат да бъдат записани като прости дроби. Например резултатът от кубичен корен от седем, ³ √7 = 1.9129118… се простира до безкрайност.

Проф. Уайлдбергер казва, че това означава, че истинският отговор никога не може да бъде напълно изчислен, защото "ще е необходимо безкрайно количество работа и твърд диск, по-голям от Вселената".

Така че, когато приемем, че 3 √7 "съществува" във формула, ние предполагаме, че тази безкрайна, безкрайна десетична дроб е по някакъв начин завършен обект.

Ето защо, казва проф. Уайлдбергер, "не вярва в ирационални числа".

Ирационалните числа, отбелязва той, се основават на неточна концепция за безкрайност и водят до логически проблеми в математиката.

Отхвърлянето на радикалите от страна на проф. Уайлдбергер е вдъхновило най-известните му приноси към математиката, рационалната тригонометрия и универсалната хиперболична геометрия. И двата подхода разчитат на математически функции като повдигане на квадрат, събиране или умножение, а не на ирационални числа, радикали или функции като синус и косинус.

Новият му метод за решаване на полиноми също така избягва радикали и ирационални числа, като вместо това разчита на специални разширения на полиноми, наречени "степенни редове", които могат да имат безкраен брой членове със степени x.

Чрез съкращаване на степенния ред, проф. Уайлдбергер съобщава, че са успели да извлекат приблизителни числени отговори, за да проверят дали методът работи.

"Едно от уравненията, които тествахме, бе известно кубично уравнение, използвано от Уолис през 17-ти век, за да демонстрира метода на Нютон. Нашето решение работеше чудесно", посочва професорът.

Доказателството за метода в крайна сметка обаче се основава на математическа логика.

Неговият метод използва нови числови редове, които представляват сложни геометрични зависимости. Тези редици принадлежат към комбинаториката, дял от математиката, който се занимава с числови модели в множества от елементи.

Най-известната комбинаторен ред, наречен числата на Каталан (на името на френския математик Еужен Каталан), описва броя начини, по които може да се раздели многоъгълник, който е всякаква форма с три или повече страни, на триъгълници.

Числата на Каталан C_n за n=0, 1, 2, 3, ... образуват последователност: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862...

n-то число на Каталан Cn може да се дефинира по няколко еквивалентни начина, като например
C₅ = 42 непресичащи се дяла на 5-елементно множество.

C5 = 42 непресичащи се дяла на 5-елементно множество. Кредит: Wikimedia Commons

Числата имат важни практически приложения, включително в компютърните алгоритми, дизайна на структури от данни и теорията на игрите. Те дори се появяват в биологията, където се използват за преброяване на възможните модели на сгъване на РНК молекулите. И могат да бъдат изчислени с помощта на прост двустепенен полином.

"Разбира се, че числата на Каталан са тясно свързани с квадратното уравнение. Нашата иновация се състои в идеята, че ако искаме да решим уравнения с по-висок ранг, трябва да търсим аналози на числата на Каталан с по-висок ранг."

Работата на проф. Уайлдбергер разширява тези каталански числа от едномерен до многомерен масив, базиран на броя начини, по които един многоъгълник може да бъде разделен с помощта на непресичащи се линии.

Този нов инструмент, използващ т. нар. хиперкаталански числа, свързва алгебрата и геометрията, решавайки уравнения, включващи полиноми от всякаква степен.

"Открихме тези разширения и показахме как логически те водят до общо решение на полиномни уравнения."

"Това е драматично преразглеждане на основна глава по алгебра."

Дори квинтиките – полиноми от степен пет – вече имат решения, заявява проф. Уайлдбергер.

Освен теоретичния интерес, казва той, методът е обещаващ за създаването на компютърни програми, които могат да решават уравнения, използвайки алгебрични редове, а не радикали.

"Това е базово изчисление за голяма част от приложната математика, така че това е възможност за подобряване на алгоритмите в широк спектър от области."

Неизследваните аспекти на геода

Вдъхновени от геологията изследователите наричат новият набор от числа "геода". 

Името геода е дадено, защото го оприличават на разпукване на обикновена скала, за да се разкрият сложни форми и структури вътре. По подобен начин геодата разкрива скрит модел в сложността на хиперкаталанските числа и може да подреди нещата в спретната геометрична структура за решаване на проблеми.

Но геодата на проф. Уайлдбергер и д-р Рубин крие и огромен потенциал за по-нататъшни изследвания.

"Представяме този фундаментално нов набор от числа, геодата, който разширява класическите каталански числа и сякаш е в тяхна основа."

"Очакваме, че изучаването на този нов масив "геода" ще повдигне много нови въпроси и ще държи комбинатористите заети в продължение на години."

"Наистина, има толкова много други възможности. Това е само началото."

Справка: N. J. Wildberger et al, A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode, The American Mathematical Monthly (2025). DOI: 10.1080/00029890.2025.2460966

Източник: Mathematician solves algebra’s oldest problem using intriguing new number sequences, University of New South Wales

Още по темата

31/03/2025

Животът

Животът отмества квантовите граници. Каква е изчислителната мощ на аневралния живот

27/03/2025

Математика

Откритията на математика, взел Абел за 2025 - обяснено за лаици

07/10/2024

Земята

Загадката на образуването на гигантските аметистови геоди в Уругвай

25/10/2022

Математика

Еварист Галоа: Живял 20 години, но променил коренно математиката