Числовият ред на Фибоначи

Опит за зайцевъдство

Средновековният търговец-математик Леонардо Фибоначи от Пиза е автор на загубеният трактат "Kнига за абака"(книга за изчисления), който определя развитието математиката в Европа за няколко столетия. Именно в този трактат европейците се запознали с индуските (арабските) цифри.

Днес Леонардо от Пиза е известен благодарение на френския математик Люка, който нарекъл на името на Фибоначи числовата последователност, възникнала в една доста тривиална задачка от легендарния трактат: "Някой си поместил двойка зайци на някакво място, обградено от всички страни със стена, за да разбере колко двойки зайци ще се родят в течение на година, ако природата на зайците е такава, че след месец двойката зайци ще възпроизведе на бял свят друга двойка, а зайците ще могат да раждат други зайчета от втория месец след своето раждане".

	Първи месец - 1 двойка новородени
	Втори месец - 1 двойка (не се размножават - млади са)
	Трети месец - 1+1=2 двойки
	Четвърти месец - 2+1=3 двойки (потомство може да даде само старата двойка)
	Пети месец - 3+2=5 двойки (само 2 от родилите се на третия месец двойки ще дадат потомство на петия месец)

На шестия месец- 5+3=8 двойки (защото потомство дават само тези двойки, които са родени на четвъртия месец) и т.н. Ако означим броя двойки зайци на n-тия месец с F_n , то F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21 и т.н. или:   F_n=F_n-1+F_n-2, за всички n>2.

Броят на двойките зайци на n-тия месец е равен на броя F_n-1 двойки зайци от миналия месец плюс броят на родилите се двойки зайци, който съвпада с числото F_n-2 двойки зайци, родили през (n-2)-рия месец (нали само те даваха потомство). Числата F_n, образуващи последователността 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... се наричат "числа на Фибоначи", а самата последователност — ред на Фибоначи.

Коефициенти на Фибоначи и "златното число"

Едно от най-важните свойства на числата на Фибоначи е съществуването на т.н. коефициенти на Фибоначи, т.е. постоянни отношения на различни членове на реда. Те се определят по следния начин:

• Отношението на всяко число към следващото, което се стреми все повече и повече към 0.61803...
• Отношението на всяко число към предишното се стреми към 1.61803... (обратно на 0.618). Числото 1.61803... , по точно ,е прочутото ирационално число, наречено златно сечение. Означава се с главната гръцка буква Ф (фи).

i Fi Fi/Fi-1 Fi/Fi+1 1 1 1 2 1 1 0.5 3 2 2 0.667 4 3 1.5 0.6 5 5 1.667 0.625 6 8 1.6 0.615 7 13 1.625 0.619 8 21 1.615 0.617 10 34 1.619 0.618

При делене на всяко число на следващото през едно получаваме числото 0.382; и обратно – съответно 2.618. Подбирайки по такъв начин отношения, получаваме основния набор от коефициентите на Фибоначи: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, също и 0.5 (1/2). Всички те играят особена роля в природата. Числата на Фибоначи имат още куп удивителни свойства, които са разгледани подробно в книгите на Мартин Гарднер "Математически развлечения".

Триъгълник на Паскал

Триъгълникът е проучен от Блез Паскал, въпреки че е бил описан 500 години по-рано от китайският математик Yanghui и е известен като триъгълник на Yanghui в Китай. Описан е и от персийския астроном-поет Омар Хаям. Всеки член на тази пирамида е сбор от двете числа над него. По диагонал, сборовете от триъгълника на Паскал са числата на Фибоначи 0, 1, ... са 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49 :

Правоъгълници и спирали на Фибоначи

Можем да направим друго изображение, показващо реда на Фибоначи 1,1,2,3,5,8,13,21 като започнем с два малки квадрата с размер 1/1 един до друг. На общата им страна се построява квадрат с размер 2/2 (=1+1). Сега можем да направим нов квадрат със страна, допираща се до последния квадрат със страна 2 и до първия- новия ще има страна 3, следващия, допиращ се до квадрат 2 и до квадрат 3 ще има страна 5 и т.н..

Можем да продължим да добавяме квадрати около изображението и всеки нов квадрат, ще има страна, която ще бъде сума от последните две страни на квадрати. Тази група правоъгълници, чиито страни имат дължина две последователни числа на Фибоначи и която се формира от квадрати със страни, които са числа на Фибоначи, се наричат правоъгълници на Фибоначи.

.Ако във всеки от горните квадрати впишем по четвърт кръг, ще получим спиралата на Фибоначи. Тази спирала не е истинска математическа логаритмична спирала, защото се съставя от фрагменти, но е добро приближение. Наричат я още спирала на Бернули, логаритмична спирала, равноъгълна спирала, и др. Такива спирали може да видим във формата на черупките на някои мекотели, а също и в подредбата на семената на цветовете на някои растения, семенниците на шишарките, ананаса, ухото и много други образувания. И коефициента на нарастване е често близък до 1.618.

Тази спирала е единствената, която запазва формата си при увеличаване на размерите. Това нейно свойство обяснява широкото и разпространение в природните образувания. Например, когато морското главоного наутилус расте, неговата раковина, разделена с вътрешни преградни стенички, увеличава размерите си, като се навива по спирала.

При това черупката на охлюва не променя формата си, ако увеличим мащаба. Подобни форми могат да се наблюдават както при галактиките и атмосферните явления, така и доста често в растителния и животински свят. Това свойство може да се нарече "самоподобие" и има пряка връзка с фракталите.

Mагията на числата на Фибоначи

Ако се разровите из Интернет, търсейки нещо за Фибоначи, ще попаднете на повече финансови сайтове, отколкото на математически. Забелязано е, че вълните, описващи колебанията на котировките на ценните книжа, съответстват на реда на Фибоначи и ги наричат вълни на Елиът. След редица доста успешни удари на борса Ралф Елиът публикувал през 1939 г. серия статии в Financial World Magazine. В тях за първи път била представена теорията му, че движението на индекса Дау-Джонс се подчинява на определен ритъм. Излиза, че числата на Фибоначи могат да ви направят и богати. Ще ми се да завърша с думите на самият Елиът: "На всяка човешка дейност са присъщи три отличителни особености: форма, време и отношение - и всичките те се подчиняват на реда на Фибоначи".

Анализ на индекса на американския долар (DX) с Hurst(Sentient Trader), използваща принципа на вълните на Елиът.

Основни понятия и лексика

• Ред на Фибоначи
• Отглеждане на зайци
• Коефициенти на Фибоначи
• Златно сечение
• Триъгълник на Паскал
• Правоъгълници на Фибоначи
• Спирала на Фибоначи
• Вълни на Елиът
• Леонардо Фибоначи от Пиза
• Ралф Елиът

Източници:

Fibonacci Numbers and the Golden Section

Fibonacci Sequence

Fibonacci Number

Уровни фибоначчи

Още по темата

31/12/2014

Математика

Златното сечение в математиката