Изненадващо ново доказателство на двама млади математици открива мост над пропастта на крайното и безкрайното и картографира тази странна граница, обобщава Quanta Magazine.
Тази граница не минава между някое огромно крайно число и следващото безкрайно голямо. Вместо това, тя разделя на два вида математическите твърдения:
- финистични, крайни (finitistic) - такива, които могат да бъдат доказани, без да се позоваваме на понятието за безкрайност;
- инфинистични, безкрайни (infinitistic) - такива, които почиват на предположението, че съществуват безкрайни обекти - които липсват в природата.
Картирането и разбирането на това разделение е "в сърцето на математическата логика", заяви Теодор Сламан (Theodore Slaman), професор по математика в Университета на Калифорния, Бъркли. Това начинание води директно към въпроса за математическата обективност, за смисъла на безкрайността и връзката между математиката и физическата реалност.
По-конкретно, новото доказателство урежда въпрос, който се е изплъзвал на най-добрите специалисти в продължение на две десетилетия - класификацията на твърдение, известно като "теорема на Рамзи за двойки", или R T22. Докато едва ли не всички теореми могат да бъдат представени като еквивалентни на една от няколко основни системи на логиката и могат да включват или да не включват безкрайност, оставайки на една от двете страни на разлома крайно-безкрайно, то R T22 попада между двата бряга.
В новото доказателство , Кейта Йокохама (Keita Yokoyama), японски математик от Института за наука и технологии, и Людовик Пате (Ludovic Patey), компютърен учен от Парижкия Университет Дидро, формулираха логическата сила на R T22 . Теоремата е очевидно, на пръв поглед твърдение с участието на безкрайни обекти. Но Йокохама и Пате установяват, че тя може да се редуцира финистично, тоест да се опрости до първия вид твърдения, които не се позовават на безкрайности. Този резултат означава, че апаратът на безкрайностите в R T22 може да се използва, за да се докажат нови факти във финистичната математика, образувайки изненадващо мост между крайното и безкрайното. "Резултатът на Пате и Йокохама е наистина пробив", заяви Андреас Вайаман (Andreas Weiermann) от Университета в Гент, Белгия, чиято собствена работа по R T22 отключи една от стъпките на новото доказателство.
Людовик Пате, вляво и Кейта Йокохама.
Теоремата на Рамзи за двойки
Теоремата на Рамзи за двойки се смята за най-сложното трърдение, включващо безкрайност, за което е известно, че може да се редуцира до финистично. Да си представим, че имаме безкрайно множество от обекти, като множеството от всички естествени числа. Всеки обект се свързва с всеки друг. След това може оцветим всяка двойка обекти или в червено или в синьо според някакво правило. (Правилото може да бъде: За всяка двойка числа A < B , двойката се оцветява в синьо, ако B <2 A и в червено, ако не се изпълнява неравенството). Когато това се направи, R T22 твърди, че ще съществува безкрайно монохромно (едноцветно) подмножество - набор, състоящ се от безкрайно много числа, така че всички двойки, които го съставят да са в един и същи цвят. (Йокохама, съвместно със Сламан, сега обобщи доказателство, което се отнася и за произволен брой цветове.)
Тези оцветени безкрайно делими множества в R T22 са абстракции, които нямат аналог в реалния свят. И все пак доказателството на Пате и Йокохама показа, че математиците са свободни да използват този апарат на безкрайности, за да докажат твърдения във финистичната математика - включително правилата за числата и аритметиката, които може би са в основата на цялата математика, която се изисква в науката - без страх, че получените теореми почиват на логически нестабилната идея за безкрайност.
Lucy Reading-Ikkanda за Quanta Magazine
Това е интересно, защото по-ранни работи доказаха, че теоремата на Рамзи за тройки, или R T23 не може да се редуцира финистично (не може да се приведе като твърдение без да се позоваваме на понятието за безкрайност) . Когато оцветим тройки обекти в едно безкрайно множество или в червено или синьо (по някакви правила), безкрайното монохромно подмножество тройки, според R T23 ще бъде с твърде сложна безкрайност, за да може да се приведе до финистично твърдение. Това означава, че в сравнение с безкрайността в R T22 , тази в R T23 е, така да се каже, по-безнадеждно безкрайна.
През 1995 г. британският логик Дейвид Ситапън (David Seetapun), заедно със Сламан, доказа, че R T22 е логично по-слаба от R T23 . Точката на разрив между R T22 и R T23 съществува защото се изисква по-сложна процедура на оцветяване за безкрайни едноцветни множества тройки, отколкото безкрайни едноцветни множества двойки.
Lucy Reading-Ikkanda за Quanta Magazine
И така, в началото на тази година Пате и Йокохама обявиха новия си резултат по време на конференция в Сингапур като доказаха, че твърдението R T22 наистина е равно по логическата сила на примитивно рекурсивна аритметика и следователно може да се приведе до финистично твърдение.
Двамата математици моделират безкрайното едноцветно множество двойки R T22 използвайки крайно множество, чиито елементи са "нестандартни" модели на естествените числа. Това позволява на Пате и Йокохама да приведат въпроса за силата на R T22 до размера на крайно множество в техния модел. "Ние директно изчисляваме размера на крайното множество", заяви Йокохама, "и ако е достатъчно голям, тогава можем да кажем, че не е финистично редуцируемо, а ако това е достатъчно малък, можем да кажем, че е финистично редуцируемо." Това е достатъчно.
R T22 има многочислени финистично последици, твърдения за естествените числа, за които сега се знае, че са изразими в примитивно рекурсивната аритметика и които със сигурност ще са логически последователни. Освен това, тези твърдения - които често могат да бъдат във формата "за всяко число X , съществува друго число Y , така че ..." - сега е гарантирано да имат примитивни рекурсивни алгоритми, свързани с тях за изчисляване на Y".
Стивън Симпсън (Stephen Simpson) от Университета Вандербилт смята оцветените безкрайни множества в R T22 "удобни измислици", които могат да разкрият нови истини за конкретната математика. "Щастлив съм да взема математиката за чиста монета и да кажа, че безкрайни множества съществуват дотолкова, доколкото знаем как да се разсъждава за тях. И те играят важна роля в нашата математика. Но в същото време, мисля, че е полезно да мислим за това, как точно играят тази роля? И каква е връзката? "
Докато математици, логици и философи продължават да правят разбор на фините последици от работата на Пате и Йокохама, важният резултат е, че това е триумф на "частичната реализация на програмата на Хилберт," подход към безкрайността, подкрепен от Стивън Симпсън.
Великият математик Давид Хилберт през 1921 г. бе наредил на математиците да вплетат безкрайността напълно в рамките на финистичната математика. Хилберт предложи да се редуцират всички съществуващи теории за краен, пълен набор от аксиоми и да се предоставят доказателства, че тези аксиоми са съвместими, като съгласуваността на по-сложните системи да бъде доказана посредством по-прости системи. Целта му е бе да се изчисти математиката от парадокси и несъответствия или както Симпсън описва тази епоха, "математиката бе навлязла в зоната на здрача".
Възходът на безкрайността
Философията на безкрайността, която Аристотел изложи през 4 век до н. е. господства практически допреди 150 години. Аристотел прие "потенциалната безкрайност" - перспективата на числовата ос, например, която продължава вечно - като съвършено разумна концепция в областта на математиката. Но отхвърля като безсмислено понятие "актуаланата безкрайност" в смисъл на множество, състоящо се от безкраен брой елементи.
Разграниченията на Аристотел подхождаха на нуждите на математиката до 19-ти век. Преди това "математиката е по същество изчислителна", заяви Джеръми Авигад (Jeremy Avigad), философ и математик в Carnegie Mellon University. Но в 19-ти век се наблюдава изместване от изчислително към концептуално разбиране. Математиците са започнали да измислят (или да откриват) абстракции - преди всичко, безкрайни множества, а първият е немския математик Георг Кантор през 1870 г. Той показа, че множествата съдържащи безкраен брой елементи са сами по себе си математически обекти. Теорията на множествата на Кантор се оказа мощна нова математическа система. Но тези абстрактни методи бяха приети противоречиво. "Хората казват, че ако се дават аргументи, а не се казва как да се изчисли, това не е математика", коментира Авигад.
Множество на Кантор. Образува се на основата на премахвания на средната третина на отсечката – повторението на подобната операция до безкрайност води до образуването на т.н. канторовски прашинки, сумата от дължините на които е равна на 0.
Притеснението идва, когато Кантор открива, че безкрайните множества идват в една безкрайна каскада от размери - кула от безкрайности без връзка с физическата реалност. Нещо повече, теорията на множествата дава доказателства на теореми, които са трудни за преглъщане като парадокса на Банах-Тарски от 1924 г., в който се казва, че ако едно кълбо се разреже на краен брой части, всяка от които състояща се от безкраен брой плътно разпределени точки, може да се сглобят от парчетата две кълба, които да са със същия размер като оригинала.
Хилберт и неговите съвременници са притеснени.
На фона на опасенията, че теорията на множествата съдържа фактическо противоречие - доказателството на 0 = 1, би довело до анулиране на цялата конструкция - математиката бе изправена пред екзистенциална криза. Въпросът, както го формулира Симпсън, бе: "До каква степен всъщност математиката говори за нещо реално? Дали не говори за някакъв абстрактен свят, който е далеч от реалния свят около нас? Или математиката в крайна сметка имат своите корени в реалността?"
Въпреки че поставят под въпрос ценността и последователността на инфинистичната логика, Хилберт и неговите съвременници не желаят да се откажат от тези абстракции. “Никой не трябва да ни пъди от рая, който Кантор създаде,” декларира Дейвид Хилберт на лекция през 1925. Той се надява да остане в рая на Кантор и да получи доказателство, че стои на стабилна логическа основа. С програмата си Хилберт натовари математиците да докажат, че теорията на множествата и цялата инфинистична математика може да се редуцира до финистична, и следователно заслужава доверие.
Давид Хилберт (вляво) и Курт Гьодел.
Но австрийско-американският математик Курт Гьодел показа през 1931 г., че всъщност това няма да стане. В шокиращ резултат Гьодел доказва, че една система от логически аксиоми (или изходни предположения) никога не може да докаже своята собствена последователност - за да се докаже, че една логическа система е последователна, винаги има нужда от друга аксиома извън системата. Това означава, че няма краен набор от аксиоми, няма теория на всичко в математиката. Когато търсите набор от аксиоми, които дават всички истински математически твърдения и никога не си противоречат, винаги ще има нужда от още една аксиома. Теоремата на Гьодел означаваше, че програмата на Хилберт е обречена - аксиомите на финистичната математика дори не могат да докажат своята собствена последователност, да не говорим за последователността на теорията на множествата и математиката на безкрайността.
Тези въпроси остават, но логиците като Симпсън поддържат надеждата, че програмата на Хилберт може да бъде поне частично реализирана. Въпреки че не цялата инфинистична математика може да бъде сведена до финистични твърдения, той е уверен, че най-важните части може да се закрепят. Симпсън смята, че около 85% от известните математически теореми може да бъдат редуцирани до финистични логични системи.
"Смисълът на това е, че нашата математика по този начин ще се свърже чрез финистично редуциране с реалния свят." - заключава Симпсън.
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари