Симетриите като групи

В математиката и естествените науки често се използват групи за откриване на вътрешната симетрия на обектите. Вътрешната симетрия обикновено се свързва с инвариантност или множеството преобразования, които запазват симетрията, заедно с операцията композиция или суперпозиция (наслагване на две операции - условното действие "умножение" • ), образуват група, наречена група на симетриите.

Математиците са въвели една нулева операция на симетрия, която е наречена операция на идентичност, която не изменя положението на обектите, означавана с Е. Необходима е като единичен елемент за да допълни групите на симетрия, подобно на числото 0 при събирането или единицата при умножението.

Огледална симетрия

Огледалната симетрия е математически свързана с групата SO (1).

Инверсия

Завъртане на 180° (C₂, централна симетрия)

Група C₃

По аналогия с група C2 може да се построи група C3, състояща се от завъртания на равнината на ъгъл 0°, 120° и 240°. От таблицата се вижда, че ако завъртим правилния триъгълник последователно на 120° и 240° (общо 360°), получаваме E, т.е. оригиналния вид на триъгълника. Групата е абелева: R120• R240 = R240 • R120 =E

C3 E R120 R240 E E R120 R240 R120 R120 R240 E R240 R240 E R120

Диедрална симетрия

Таблицата на Кейли вдясно показва диедралната група D3 , обединила всички симетрии на равностранен триъгълник. Ако добавим към групата C3 огледални отражения на триъгълника по трите оси на симетрия (S1, S2, S3), ще получим пълен набор от операции, които трансформират триъгълника в самия себе си. Ако изпълним последователно две идентични операции на огледална симетрия, получаваме E. Комутативният закон не важи - групата не е абелева. Например: S1• S2 =R240 ≠ S2• S1 =R120

D3 E R120 R240 S1 S2 S3 E E R120 R240 S1 S2 S3 R120 R120 R240 E S2 S3 S1 R240 R240 E R120 S3 S1 S2 S1 S1 S3 S2 E R240 R120 S2 S2 S1 S3 R120 E R240 S3 S3 S2 S1 S240 R120 E

Броят на операциите, образуващи групата на симетрия, се нарича порядък на групата.

Едно тяло(фигура) може да се опише с помощта на различни групи симетрия. Основните групи са:

• Точкови групи на симетрия - 32 . Обединяват такива симетрични операции, при които остава поне една неподвижна точка. Образуват се от взаимодействията на прости елементи на симетрия - равнини и оси. Описват външната форма на телата;.
• Групи на симетрия в двумерното пространство - 17. Това са фигури, които запълват плътно равнината, наричани са патерни, може и на български: мозайки, тапети. Всички мозайки, които могат да изпълнят равнина с повтарящи се фигури, принадлежат на една от 17-те групи на симетрия като елементите на тези групи представляват само транслация, ротация и огледално отразяване, изпълнени в комбинация върху един основен мотив. Пълен списък на всички седемнадесет възможни групи - от de.wikipedia
• Пространствени групи на симетрия - общо 230. Образува се от взаимодействието на всички елементи на симетрия (равнини, оси, транслации и решетки). Описват не само външния вид, но и вътрешната структура, например атомната структура на кристалите;
• Пределни групи на симетрия - 7

Когато имаме две или повече фигури с различна симетрия и ги наложим по някакъв начин, така че да получим нова фигура, то се получава нова група на симетрия, която се явява подгрупа на тези групи на симетрия на телата, от които е съставната фигура.

Има поне две международно признати системи за обозначение на симетрията на телата, използвани най-вече в кристалографията - Шенфлис и Херман-Моген . Прилагам таблица за означенията на симетричните трансформации и по двете системи:

Пределни групи на симетрия

Понятието "пределни групи на симетрия" е въведено в кристалографията за описание на физичните свойства на кристалите. Френският физик Пиер Кюри предложил седем такива групи на симетрия: конус, цилиндър и сфера.

Думата "пределни" означава, че ротационните тела могат да се разглеждат като резултат от безкрайно увеличение на броя на страните на многостени:

• от пирамида - конус,
• от призма - цилиндър и
• от обемни многостени като куб, октаедър, додекаедър и др. - кълбо.

Знаците под фигурите са от символиката на Херман-Моген (Hermann-Mauguin) за отбелязване на симетрията. Ротационните оси на симетрия се представят с арабски цифри - 1, 2, 3...n..., в случая и безкрайност ∞ Инверсионните оси се представят с арабски цифри с линии отгоре - n. Ос 2 е всъщност огледална равнина на симетрия и се означава с m (mirror). Ако някоя от осите са перпендикулярни на огледалната равнина трябва да сложим черта (/) между символа на оста и символа на огледалната равнина. Тук ∞ е ротационна ос от безкраен ред, m - равнина на симетрия, 2 - ротационна ос от втори ред. Например записът ∞ m, означава че има ротационна ос от безкраен ред и безкраен брой равнини на симетрия, минаващи през тази ос, а ∞/m - ротационна ос от безкраен ред и равнина на симетрия, перпендикулярна на тази ос

1. Група ∞, (една ос със симетрия от безкраен порядък). Тя съответства на равномерно въртящ се конус. Група е полярна и енантиоморфна (или хирална – хиралноста е една от трудностите пред абиогенезата).

Енантиоморфите са двойка огледално асиметрични обекти (фигури), които са огледални образи един на друг. Енантиоморфите са обекти, които нямат център и равнини на симетрия , т.е. имащи само ротационна ос на симетрия. Ако такъв обект се отрази в огледало, се получава обект, несъвпадащ с оригинала (най-простият пример е дясната и лявата ръкавица.

Конусът може да се завърта наляво и надясно. 

2. Група ∞ • m, (ос със симетрия от безкраен порядък и безкраен брой на надлъжни равнини на симетрия).Символът на групата е неподвижен конус. Групата е полярна, но не енантиоморфна.

3. Група ∞ /m, (ос със симетрия от безкраен порядък, напречната равнина на симетрия и център на инверсия). Тази група се представя със симетрията на въртящ се цилиндър. Оста на симетрия не е полярна, двете страни на цилиндъра съвпадат като взаимно отражение от напречната равнина на симетрия.

4. Група ∞ / 2, (ос със симетрия от безкраен порядък и безкраен брой на надлъжни равнини на симетрия 2). Може да бъде представена от цилиндър, краищата на който са усукани в противоположни посоки. В тази група е възможен енантиоморфизъм.

5. Група ∞/mm, една ос на безкраен ред, напречни и надлъжни безкрайни равнини на симетрия, безкраен брой на надлъжни оси 2 и център на симетрия). Симетрията на тази група е симетрията на неподвижния цилиндър.

6. Група ∞ /∞, (център на симетрия и безкраен брой оси от безкраен порядък, без равнини и центрове на симетрия). Изобразява се като своеобразна сфера, на която всички диаметри са усукан наляво или надясно, съответващи на лява и дясна енантиоморфна форма.

7. Група ∞ /∞ m , (център на симетрия и безкраен брой оси от безкраен порядък и равнини на симетрия). Описва се от симетрията на обикновена неподвижна сфера.

Скалари, вектори и тензори

Нека се запознаем (или да си припомним) някои математически понятия, много важни за връзката между симетрията, математиката и физиката.

Скалар

Скаларът (от лат. scala — стълба) е величина (променлива) всяка стойност на която може да се изрази с едно число (най-често веществено). При смяна на координатната система скаларът остава непроменен (инвариантен). В съвременната физика, скалар обикновено се разбира като пространствено-времеви скалар, който не се променя при преход от една инерциална система на отчитане в друга, а в съгласие с Общата теория на относителността - и при преход между неинерциални системи. Какво означава това в разделa за Теорията на относителността.

Симетрията на скалара се съпоставя със симетрията на сфера - размерът й също е определен от едно число - радиуса. Пример за скалар е масата при покой на телата, която е инвариантна за всички инерциални и неинерциални системи. Изобщо всички физични величини, които не зависят от посоката са скаларни

Псевдоскалар

Псевдоскаларът е величина, която не се променя при преместване и завъртане на координатните оси, но променя знака си при смяна на посоката на всяка ос с противоположната й. Пример за псевдоскалар във физиката е магнитния заряд.

Вектор

Векторът, както мнозина си спомнят е насочена отсечка, величина, която се определя от стойност (скалар) и посока. Примерите на насочени величина във физиката са много: сила, скорост, момент... Симетрията на вектора е свързвана със симетрията на конуса.

Векторите са два основни вида: полярни (истински) вектори. При преход от дясна координатна система в лява и обратно, те запазват посоката си в пространството. Те са скалари в кращата си. Примери за полярни вектори са скороста, ускорението и силата. аксиални (псевдовектори, осеви) вектори. Аксиалните вектори при преминаване от лява към дясна координатна система и сменят посоката с обратната. В краищата си са псевдоскалари. Пример е моментната ъглова скорост и други величини, свързани с кръговото движение. Разликата между началото и края на полярен вектор е скалар. При аксиалните вектори, разликата е псевдоскалар. На полярните вектори съответва неподвижният конус и явления като гравитация, електромагнетизъм, скорост и др., а аксиалните вектори се свързват с въртящия се конус и явленията, свързани с движение в кръг.

Пример за аксиален вектор е векторното произведение на два вектора. Илюстрация: wikipedia

Тензор

Третият фундаментален геометричен обект е тензорът. Името му е от латински произход tensus,"напрегнат" - една от функциите на това понятие е да изразява състоянието на напрежение на телата. Тензорите осигуряват лесен и кратък начин за математическо формулиране и решаване на проблеми в областта на физиката, като теорията на еластичността, механиката на флуидите, както и общата теория на относителността. Тензорът се описва oт многомерeн масив, тоест подредена група числа, като мястото на всяко число е определено от индексите му. Тензорът може да се каже е n-мерна таблица, като n е валентността (порядъка) на тензора. Тензор с нулева валентност е скалар, а с валентност 1 - е вектор.

Вдясно е схема на тензор на механичното напрежение от трети порядък. Компонентите на тензора ( за стените на елементарния куб e1, e2, e3, перпендикулярни на оси: x1, x2, x3) в тримерната декартова системa образуват матрицата: σ=[T(e1)T(e2)T(e3)] .Тези сили са представени от колоните вектори . Тензорът може да бъде представляван от матрицата:

Илюстрация: wikipedia

Тензорите, също като векторите, са насочени величини, които също като тях могат да бъдат полярни или аксиални. Полярните тензори са резултат от линейна връзка между компонентите на два полярни или два аксиални вектора, а аксиалните - между компонентите на полярен и аксиален вектор.

Връзка на пределните групи с явления във физиката

Симетрията на сферата е максимално възможната точкова симетрия в тримерното пространство като всички точкови групи представляват подгрупи на групата на сферата. В математиката и теоретичната физика тези групи за тримерното пространство се означават със SO(3) (специална ортогонална група) и O(3) (ортогонална група).

Всяко движение може да се разложи на постъпателно (транслация) и въртеливо (ротация) и тък като движението има симетрията на вектор, то при транслация той е полярен, а при ротация - аксиален.

Пределните групи на Кюри се свързват с някои основни математични и физични величини: Гравитационното поле се описва с полярен тензор и има симетрия ∞ /mm. Симетрията на еднородното електрическо поле се характеризира с група на симетрия на конус  ∞ • m, еднородното магнитно поле -  с групата на  симетрия на ротационен  цилиндър ∞ /m, деформациите при едноосен опън или натиск - с групата на симетрия на неподвижен цилиндър ∞ ⁄ mm, топлинното разширение - с групата на симетрия на неподвижна сфера ∞ ⁄ ∞ •  m.

Прилагам една таблица, която да обобщи тези интересни връзки между пределните форми на симетрия, скалара, вектора и тензора и някои физически свойства и явления:

Пределни групи на симетрия/	Матема- тическа величина	Описание	Допълнение
	Аксиален вектор	Група ∞, една ос със симетрия от безкраен порядък. Тя съответства на равномерно въртящ се конус. Конусът може да се завърта наляво и надясно. Група е полярна и енантиоморфна (хирална)	Свързва се с въртеливо движение и движение в кръг, както и свойството енантиоморфност - способността на кристалите да съществуват в две огледални изомерни (енантиоморфни) форми. Например кварцът се явява в десни и леви форми, които са огледални образи един на друг
	Полярен вектор	Група ∞ • m, ос със симетрия от безкраен порядък и безкраен брой на надлъжни равнини на симетрия. Символът на групата е неподвижен конус. Групата е полярна, но не енантиоморфна.	Свързва се с явления, свързани с насочено движение: скорост, ускорение, сила, енергия.
	Аксиален Тензор	Група ∞ /m, ос със симетрия от безкраен порядък, напречната равнина на симетрия и център на инверсия. Тази група се представя със симетрията на въртящ се цилиндър. Оста на симетрия не е полярна, двете страни на цилиндъра съвпадат като взаимно отражение от напречната равнина на симетрия.	Това е симетрията на постоянния магнит и магнитното поле на правия ток
	Тензор	Група ∞ / 2, (ос със симетрия от безкраен порядък и безкраен брой на надлъжни равнини на симетрия 2). Може да бъде представена от цилиндър, краищата на който са усукани в противоположни посоки.	В тази група е възможен енантиоморфизъм. Тази симетрия е характерна за поляризация в анизотропна среда
	Полярен Тензор	Група ∞/mm, една ос на безкраен ред, напречни и надлъжни безкрайни равнини на симетрия, безкраен брой на надлъжни оси 2 и център на симетрия). Симетрията на тази група е симетрията на неподвижния цилиндър.	Такава е симетрията на механична сила с едноосов натиск (опън).
	Псевдо-скалар	Група ∞ /∞, (център на симетрия и безкраен брой оси от безкраен порядък, без равнини и центрове на симетрия). Изобразява се като своеобразна сфера, на която всички диаметри са усукан наляво или надясно, съответващи на лява и дясна енантиоморфна форма.	Съответства на десни и леви енантиоморфни форми.
	Скалар	Група ∞ /∞ m , (център на симетрия и безкраен брой оси от безкраен порядък и равнини на симетрия). Описва се от симетрията на обикновена неподвижна сфера.	Изразява изотропни (еднакви, независимо от направлението) свойства и въздействия: маса, обем, плътност, топлинно разширение, хидростатичен натиск.

В четиримерното пространство, частиците на материята – кварки и лептони се описват от спинорни полета. Преносителите на за взаимодействията - бозоните: фотони, глуони, W-и Z-бозони пък се описват от вектори. Хигс бозонът, който всеки момент ще бъде открит, е скалар. Спинорните полета, които описват фундаменталната материя притежават много "странна" симетрия: при пълно завъртане на 360 градуса спинорното поле не съвпада със себе си.

Източник

Introduction to Group Theory, Dog School of Mathematics
Group theory, wikipedia
Теория групп, wikipedia
Point_group, en.wikipedia
Основные понятия теории групп и их представлений и некоторые приложения к физике частиц, В.С. Замиралов
Основи на минералогията,  Руслан Иванов Костов
Тензор, ru.wikipedia
Предельные группы симметрии, Браже Р.А.
Концепции современного естествознания. Материалы к семинарским занятиям, Браже Р.А.
Предельные группы симметрии, Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия
Симетрия , Фундаментална Физика, Илия Илиев
Электрические свойства кристаллов, Горяева А

Още по темата

23/03/2015

Математика

Теорията на групите - една усмивка само

23/03/2015

Физика

Еми Ньотер - научният съвет не е турска баня