Сещате се, нали – онзи момент, в който сте сложили слушалките в джоба си, извадите ги в метрото с намерение да разнообразите пътя, но се наложи да изгубите една станция време да ги разплетете. Защо се получава така?
Дългите жици могат да се окажат във всякакви конфигурации в пространството. Могат да лежат в наглед права линия или напротив – да правят колкото си искат завои. А особено неприятно е, когато ни трябват за нещо и те са се самозаплели.
През 2007 г. физиците Дъглас Смит (Douglas E. Smith) и Дориан Раймър (Dorian Raymer) решили да приложат теорията на възлите към истински жици. Те поставили проводник в кутия и я разтърсвали в продължение на 10 секунди. Раймър повторил опита около 3000 пъти с жици с различна дебелина и дължина, сменял кутията, а също и скоростта и начина на разтърсване.
Било установено, че в 50% от случаите жицата се заплита, образувайки възел. Разбира се, това много зависело от дължината й. Сравнително кратките жици – до 15-ина сантиметра – не се заплитали. Но след преминаването на определена дължина това ставало неизбежно.
За човека, който всекидневно се занимава с какви ли не възли, те имат само значение на битов проблем. В математиката обаче възелът представлява затворена гладка крива, правилно вложена в тримерно пространство и без точки на самопресичане. Съществува научна област, наречена теория на възлите. Раймър и Смит решили да класифицират получените възли по видове, точно нея и по-специално полиномите на Джоунс.
Научната област, наречена теория на възлите, изучава влаганията на едномерни многообразия в тримерно евклидово пространство.
Това са понятия от топологията. Топологията е наука от семейството на математиката и изследва начините, по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи. Тя се занимава с явленията на непрекъснатост, особено тези, които остават непроменени при деформации. Форми като Лентата на Мьобиус, за която дълго време Ви питахме какво представлява, са предмет на изследване в топологията:
Лентата на Мьобиус има само един ръб и една повърхност, на която не съществуват посоките ляво и дясно. Може да бъде боядисан с четка, без тя да се вдига от повърхността му.
Пример за едномерно многообразие е правата, окръжността, елипсата и въобще всяка линия, чиито точки, заедно с околността си от съседни точки, са взаимно еднозначни и непрекъснати. Многообразието е понятие в математиката, което уточнява и обобщава за всяко измерение понятията за линии, повърхности (а и пространства), несъдържащи особени точки (без точки на самопресичане, крайни точки и др.). По тази тема можете да видите статията "Хипотезата на Поанкаре - последната нерешима задача".
За да обясним понятието евклидово пространство, нека първо обясним какво е вектор. Пример за вектор е насочена отсечка, на която единият край е приет за начало, а другият за край. Поначало евклидов вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра.
Евклидовото пространство е вид линейно пространство, в което могат да се определят понятията дължина на вектора и големина на ъгъл между два вектора. Евклидовото пространство съдържа в себе си три вида многообразия – тримерни, двумерни и споменатите по-горе едномерни.
И така, докъде стигнахме? За класификацията на възлите се съставят таблици – списъци с диаграмите на всички прости възли, допускащи проекция върху плоскост.
А сега да се върнем към двамата физици. След всяко разклащане на кутията те заснемали получения възел и въвеждали изображението в компютър. Създадена от тях програма класифицирала фигурите. В резултат изследователите успели да анализират 14 най-прости възела, предсказани от математическата теория и състоящи се от седем и по-малко пресичания. Разбира се, колкото по-прост бил един възел, толкова по-често се срещал. Били забелязани, обаче, и по-сложни възли, с по 11 пресичания.
На основата на тези наблюдения двамата физици създали теоретичен модел на заплитането на жици. Тя се основава на простия факт, че за да се събере дългата жица в кутията, е нужно да се навие, така че едни сегменти се оказват паралелно стоящи спрямо други. При разтърсването и многократното преобръщане на кутията се кръстосват и се вплитат един в друг, отново и отново.
Ето и схематично изображение на модела:
Но това ли е всичко? Какво стои зад Теорията на възлите?
Строежът на материята
Както много свои колеги, ирландският физик сър Уилям Томсън, лорд Келвин (William Thomson, Lord Kelvin) през ХІХ век разсъждавал как е устроен светът и от какво се състои материята. В този момент съществуват две основни теории за това: корпускулярна и вълнова. Но Томсън предложил трети вариант – атомна теория, в която атомите представляват малки преплетени върви, тоест възли.
Той предположил, че различните топологични свойства на възлите съответстват на физическите и химическите свойства на атомите. Затова е нужно колкото се може по-бързо човечеството да съумее да класифицира възлите и да може да определя кога две нишки, на пръв поглед заплетени по различен начин, съответстват на една и съща топологическа конструкция. Теорията на Томсън не преживяла много, но началото било поставено.
Тривиален възел
В Теорията на възлите съществува една главна задача – да се разбере кога два на пръв поглед съвършено различни възела топологически представляват едно и също. С други думи, един възел да може да се получи от друг чрез прости непрекъснати деформации. Връвта, от която е възникнал възелът, може да бъде разтягана, свивана, заплитана, премествана в пространството, но не и прекъсвана или залепвана.
Съществува и друга разновидност на тази задача – разпознаване на тривиален възел. На пръв поглед тривиалният възел представлява затворена връв без възли. В Теорията на възлите обаче тривиален възел е всяко влагане на окръжност в евклидово пространство, което (влагане) може да бъде деформирано в стандартна окръжност без каквито и да е прекъсвания. Ето го като картинка, ако така става по-ясно:
Най-простият нетривиален възел е с три пресичания, съществува в две разновидности и се нарича трилистник – десен и ляв:
Идеята, която е в основата на Теорията на възлите, е, че възелът може да се представи като диаграма, като проекция върху някаква плоскост.
Първото, което е необходимо да се направи, е да се класифицират съответстващите плоски криви. Още от примера с тривиалния възел обаче е лесно да се забележи, че той може да бъде заплетен отново и пак ще си остане същият. Топологията му няма да се промени, но на диаграмата просто ще се добави поредното пресичане. На вид обаче той самият ще изглежда различно.
С други думи, в теорията на възлите са налице две свързани задачи: да се разпознае тривиалният възел и да се разбере дали две диаграми на възли представляват едно и също или не.
Движението на Райдемайстер
След 1860 г. тополозите многократно са се връщали към решението на тази задача, но действителният пробив бил отбелязан в Германия през 20-те години на ХХ век благодарение на работата на математика Курт Райдемайстер (Kurt Werner Friedrich Reidemeister, 1893 - 1971). Той се замислял над въпроса какво значи това, че два възела са еквивалентни, изотопни.
Разгледал внимателно диаграмите на всички възли близо до пресичанията (кръстовищата) и формулирал твърдението, че два възела са изотопни, ако техните диаграми могат да се преобразуват една в друга с помощта на три различни вида прости движения, например като тези, които човек извършва, когато завързва възли.
Всяко движение действа в ограничена област на диаграмата и принадлежи към един от следните видове:
1. Свиване и развиване в коя да е посока
2. Преместване на едната връв изцяло върху другата
3. Преместване на връвта изцяло под или над пресечната точка
Трябва да се отбележи, че останалите части на диаграмата не са изобразени на тези илюстрации, а също така, че номерацията на типа движения съответства на броя на вървите, с които се работи – например за движение ІІ са необходими минимум две нишки.
При всички тези движения един възел може да се получи от друг, но топологически процесите не се променят. Възлите са еквивалентни.
Движенията на Райдемайстер са необходими и достатъчни движения. На пръв поглед, задачата е решена. Но нека си представим, че е налице сложна диаграма на възел, който бива развързван с тези движения и помощта на компютър. В зависимост от неговата изчислителна мощ системата може да работи часове и дори дни и пак да не развърже възела. Означава ли това, че тези възли и тривиалният възел са нееквивалентни? Не, разбира се.
Алгоритъм на развързването
В следващите години Теорията на възлите продължила да се развива, но по по-различен начин. За съставяне на диаграми и тяхното изследване вече се подбирали специлни форми, а не произволни проекции върху плоскост. Американският тополог от германски произход Волфганг Хакен (Wolfgang Haken, 1928) доказал, че за развързване на всички възли може да се изработи универсален алгоритъм. Но тъй като съвременният свят се стреми преди всичко към ефективност, хората се стараят да създадат все по-бързи и по-бързи алгоритми.
В качеството на измерител на скоростта се използва, например, броят пресичания. Ситуацията е съвършено различна в зависимост от това дали става дума за алгоритъм на развързване за експоненциално време или за линейно. Изначалната задача – да се създаде най-ефективният алгоритъм – е отново актуална. Това е алгоритмично направление на Теорията на възлите.
Полиномът на Конуей и полиномът на Александър
Нека пред нас стоят две изключително сложни възлови диаграми. Как да разберем дали те всъщност не са един и същи възел? Може, чрез определена алгебрична конструкция, да съпоставим всеки възел с другия така, че изразът да изглежда по различен начин за различните възли, а за изотопните – еднакво.
Един от първите учени, замислили се върху това, бил американският математик Джеймс Александър (James Waddell Alexander, 1888 - 1971), който през 1928 г. предложил Полинома на Александър. Но неговата конструкция не успяла да класифицира първите 84 топологически неизотопни възела, имащи не повече от 9 пресичания и известни по онова време.
Подобни идеи се развивали през целия ХХ век. Особено значение има работата на английския математик Джон Конуей (John Horton Conway, 1937), който през 1969 г. създал по-прецизен полином (многочлен), който сега се нарича Полином на Александър-Конуей. При него от едната страна всичко работи идеално – ако полиномът е построен правилно и ако полиномите изглеждат по различен начин за различните възли, следователно възлите са различни. Но от обратната страна, за съжаление, не се получава така.
А защо е по-прецизен? Просто полиномът на Конуей не различава всички различни възли, а този на Конуей различава и тези, които полиномът на Александър не може.
Защо всъщност математиците са се опитвали да решат тази задача с полином? Трябва да бъде описано как се променя този полином. Ако се измени видът на пресичането, то локално се променя възелът. И това, което всъщност е описано в полинома на Конуей - т.нар. "прехвърляне на Конуей" - действително е налице и в природата. Това бива изяснено, когато започва изучаването на структурата на ДНК молекулата. Независимо от това обаче, полиномът на Конуей не решава задачата – това дори е непълен инвариант.
След това са съставяни други инварианти с използване на общата теория на статистическата физика, но те също решават главната задача.
Инвариантите на Василев
Инвариантът представлява свойство на някакъв клас (множество) математически обекти, което остава непроменено и неизменно при преобразуване от даден вид. Концепцията за инвариантите е една от най-важните в матечатиката, защото тяхното изучаване е свързвано с задачата по класификация на обекти от един или друг вид. Всъщност, цел на всяка математическа класификация е построяването на цялостна система инварианти (по възможност най-проста), тоест такава, която разделя всеки нееквивалентен обект от разглежданата съвкупност.
Инвариантите се използват в различни области на математиката, като алгебра, геометрия и топология.
Главната революция в изследванвето на възлите дошла през 1990 г., когато руският тополог и специалист по теорията на катастрофите Виктор Василев предложил Инвариантите на Василев. Това е не един полином, а безкрайно семейство. Василев въвежда и правило, по което то може да се построява. Теорията на катастрофите е частен случай в теорията на особеностите. Теория на особеностите при възлите няма, но Василев решил да я въведе и разрешил самопресичането, въвеждайки само условието, че самопресичането е свързано с непресичащи се кръстовища.
Тази идея позволява да се погледне на проблема не от психологическа гледна точка, тоест индивидуално да се анализира сложността на всеки възел, а социологически: на възлите се гледа като на семейства. По-късно тази идея ефективно се прилагала в различните видове математика. Освен това, в момента съществува недоказана хипотеза, че Василев все пак е построил пълна система от инварианти. Работата продължава, и съществува надежда, че такъв подход ще позволи да се класифицират възлите в пълния смисъл на тази дума
Антон Оруш, Sandacite.bg – https://www.sandacite.bg
Източници:
Reidemeister move - https://en.wikipedia.org/wiki/Reidemeister_move
Многообразие - http://bse.sci-lib.com/article077287.html
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари