За сферите
Всеки знае, че окръжността е геометрично място на всички точки в равнината, които се намират на еднакво разстояние от фиксирана точка в същата равнина. Ако обобщим за n-измерения, то n-сфера като геометрично място на всички точки в n-мерното пространство, които се намират на дадено разстояние от фиксирана точка в същото пространство.
Много от свойствата на хиперсферите съответстват напълно на свойствата на сферите от по-нисък ред. Окръжността се получава от ротация на точка около някаква централна точка, кълбото - ако въртим линия, а 4D-сферата се върти около централна равнина. В общия случай оста на въртящата се равнина има п—2 измерения. (4D-сферата може да извършва и едно особено двойно въртене, което няма аналог в двутримерното пространство: да се върти едновременно около две постоянни равнини, пресичащи се под прав ъгъл.)
Хиперсферите не могат да се видят, но свойствата им могат да се изследват чрез просто разширение на аналитичната геометрия за пространства с повече от три измерения. Формулата за окръжността в декартови координати е x2 + y2= r2, където r е радиусът. Формулата за сфера е x2 + y2 + z2 = r2, за 4D-сфера е x2 + y2 + z2 + w2= r2, и т. н. по стълбата на евклидовите хиперпространства. Повърхността на nD-сферата има (n-1) измерения. Повърхността на окръжността е отсечка с едно измерение, повърхността на кълбото е двумерна, а повърхността на 4D-сферата е тримерна. . 
| В едномерното пространство (права линия) S0-сферата се състои от две точки | В равнината S1 е окръжност | В тримерното пространство S2 е сфера | В 4-мерното пространство хиперсферата S3 е трудно въобразима и неотразима. |
|---|---|---|---|
| Проекцията на окръжността върху права е отсечка, но всяка точка върху тази отсечка с изключение на краищата й е образ на две точки от самата окръжност. | Проектирайте кълбо върху равнина: ще получите кръг, всяка точка от който (с изключение на точките по обиколката му) е образ на две точки от повърхността на кълбото | Да проектираме една 4D-сфера върху нашето тримерно пространство. Резултатът е плътна топка, всяка вътрешна точка на която отговаря на две точки от хиперповърхността на 4D-сферата. |
Случаят със сеченията е аналогичен. Разрежете една окръжност S1 с права линия; сечението е S0 или двойка точки. Разрежете сфера S2 с равнина — сечението е окръжност S1. Разрежете 4D сфера - S3 с тримерна хиперравнина —сечението е S2 - сфера. (4D-сфераta не може да се раздели на две части с 2D-равнина - както не може с линия да се раздели сфера - ще бъде само пробита) Представете си, че една 4D-сфера бавно се движи през нашето пространство. Ще я видим първо като точка, после като малка сфера, която все повече ще нараства, докато достигне максималното си сечение; след това сферата бавно ще започне да намалява и накрая ще изчезне.
Как да си представим обвивката на 4Dкълбо
Ще ви представя най-лесния метод, който срещнах в мрежата "да видим" S3 сфера.
Модел на двете топки
Първо, представете си, че сме флатлендери от двуизмерна вселена и ще трябва да си визуализиране една S2 - сфера от триизмерното пространство.
Ще си направим сферата от два плоски диска, превръщайки единия от тях в Северно полукълбо, а другия – в Южно. Залепваме ги по екватора и готово.
Да си представим плоския гущер на Ешер, пълзящ от Северния полюс по голямата окръжност, образувана от нулевия и 180-тия меридиан (вляво). Ако изобразим пътя му върху двата изходни диска (вдясно), ще видим, че влечугото се движи по права линия (1) към края на северния кръг (а) и след това пресича границата и попада в съответстващата точка на южния кръг и продължава да следва правата линия (2 и 3). След това гущерът отново стига края, преминава го и отново се оказва на северния кръг, устремен към началната точка – Северния полюс (4). Забележете, че по време на околосветското му пътешествие по 2D-сферата посоката на движение се сменя с противоположната й при прехода от един диск на друг.
Сега да разгледаме нашата 2D-сфера, заедно с нейния обем (тримерно кълбо) и да направим с него същото: да вземем две копия на кълбото и да им залепим целите им повърхности заедно. Нагледно да покажем, как кълбата ще се деформират в четвъртото измерение и превръщат в аналог на полукълба е невъзможно, а и не е нужно.
Достатъчно е да знаем, че съответстващите си точки на повърхностите, т.е. 2D-сферите, са съединени помежду си така, както в случая с окръжностите. Резултатът от съединяването на двете кълба е 3D-сфера (кълбо), която представлява повърхността на четиримерното кълбо. (В 4-мерното пространство, където съществуват 3D-сферата и 4D-кълбото, повърхността на обекта е 3D). Да наречем едното кълбо северно полукълбо, а другото – южно. По аналогия с дисковете, полюсите сега са в центъра на кълбата.
Да си представим, че тези кълба са огромни празни области от пространството. Да допуснем, че от Северния полюс излита ракета с космонавт. След време достига екватора (1), който сега е сфера, обгръщаща северното полукълбо. Пресичайки я, ракетата попада в южното полукълбо и се движи по права линия през неговия център – Южния полюс – към противоположната страна на екватора (2 и 3). Там отново прави преход в северното полушарие, и пътешественикът се завръща в Северния полюс, т.е. в началната точка (4). Такъв е сценарият на околосветското пътешествие по повърхността на 4-мерното кълбо!
Да обобщим: Ако залепим две n-кълба по обгръщащите ги (n–1)-сфери, то ще получим n-сфера, ограничена от (n+1)-кълбо.
Възможно ли е наша Вселена да е хиперповърхността на гигантска 4D-сфера? Мнозина от математиците и физиците от XIX в., са на това мнение. Алберт Айнщайн казва: "If you look into infinity what do you see? Your backside!" .Айнщайн предложил повърхността на една 4-сфера като модел на безкрайна, но ограничена Вселена. Както флатлендърите при движението си върху сфера могат да тръгнат в произволна посока по най-късия възможен път и пак да се върнат в началната точка, така и напусналият Земята космически кораб според предположението на Айнщайн ще може да се движи достатъчно далече в произволна посока, но накрая все пак ще се върне у дома.
Ако един флатлендър се опита да боядиса повърхността на сферата, върху която живее, разширявайки навън боядисаната област с помощта на концентрични пръстени, той ще стигне до момент, в който неговите кръгове ще започнат да намаляват; самият флатландец ще се намери вътре в тях и ще трябва да боядиса и себе си. Аналогично, ако космонавтите във Вселената на Айнщайн се опитат да покрият пространството с непрекъснато разширяващи се сфери, те ще затворят и себе си в малък кълбовиден глобус на противоположния край на хиперсферата.
Стереографична проекция на "паралелни сфери" на една хиперсфера.
Основни понятия и лексика
- Ротация
- Повърхност
- Сфера
- Кълбо
- Измерения
- Тримерна сфера (Хиперсфера)
- Флатландец
Източници:
Занимателна математика“ на М.Гарднер
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
24.01 2015 в 08:36
23.01 2015 в 22:08
Ротацията около линия не е ли цилиндър?
Последни коментари