Математици откриват нов клас форми, които се срещат в природата

Математиците са описали нов клас форми, които характеризират форми, често срещани в природата - от камерите в емблематичната спираловидна черупка на наутилуса до начина, по който семената се подреждат в растенията.

В работата се разглежда математическата концепция за "плочките": как фигурите се подреждат върху дадена повърхност. Задачата за запълване на равнина с еднакви плочки е толкова задълбочено изследвана от древността, че е лесно да се предположи, че вече няма какво да се открие за нея. Но изследователите извеждат принципите на подреждането на плочките с помощта на нов набор от геометрични градивни елементи, които имат заоблени ъгли и които те наричат "меки клетки".

"Просто никой досега не е правил това", коментира Хаим Гудман-Строс (Chaim Goodman-Strauss), математик от Националния математически музей в Ню Йорк, който не е участвал в работата. "Наистина е невероятно колко много основни неща трябва да се вземат предвид."

От хилядолетия е известно, че само определени видове многоъгълни плочки, като квадрати или шестоъгълници, могат да бъдат подредени така, че да запълнят двуизмерно пространство без празнини. Плочките, които запълват пространството без периодично повтаряща се подредба, като плочките на Пенроуз, привличат интерес след откриването на непериодични структури, наречени квазикристали, през 80-те години на миналия век. Миналата година Гудман-Строс и неговите колеги обявиха първата квазипериодична плочка, в която липсва истинска периодичност и която използва само една форма на плочка.

Меки плочки: Примери за нови форми, наречени меки клетки, които се подреждат в равнина и имат извити ръбове.  Кредит: Soft cells and the geometry of seashells; Gábor Domokos, Alain Goriely, Ákos G Horváth, Krisztina Regős Author Notes; PNAS Nexus, Volume 3, Issue 9, September 2024, pgae311, https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311 

Избягване на ъглите

Математикът Габор Домокос (Gábor Domokos) от Будапещенския университет по технологии и икономика и неговите колеги се връщат към периодичните многоъгълни мозайки - но разглеждат какво се случва, когато някои от ъглите са заоблени. В две измерения не всички ъгли могат да бъдат заоблени, без да останат празнини. Но запълването на пространството става възможно, когато някои от ъглите се деформират в "остри форми". Тези ъгли имат вътрешни ъгли, равни на нула - краищата им се събират по допирателната като на капка и се вписват плътно до заоблените ъгли (вж. илюстрацията по-горе).

Домокос и колегите му са разработили алгоритъм за плавно преобразуване на геометрични плочки - двуизмерни полигони или триизмерни полиедри, като мехурчетата на пяната - в меки клетки и са изследвали обхвата на възможните форми, които тези правила позволяват.

В 2D вариантите са доста ограничени: всички плочки трябва да имат поне два ъгъла, наподобяващи ципи. Но в 3D въвеждането на мекота крие някои изненади. По-специално, тези меки клетки могат да запълват обемно пространство, без да имат никакви ъгли.

Изследователите са разработили количествена мярка за степента на "мекота" на такива 3D плочки, запълващи пространството, и са установили, че най-меките не са компактни форми, а вместо това развиват заоблени "крила" в краищата си, които обикновено излизат от седловидни повърхности на елементите.

Меките клетки на природата: Сегментите на наутилуса могат да се опишат с геометрията на 3D меки клетки. Кредит: Soft cells and the geometry of seashells; Gábor Domokos, Alain Goriely, Ákos G Horváth, Krisztina Regős Author Notes; PNAS Nexus, Volume 3, Issue 9, September 2024, pgae311, https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311 

Ръбовете струват скъпо

Домокос смята, че за всяка дадена начална полиедрична плочка има уникална плочка с възможно най-голяма мекота. Той също така подозира, че в реалните материали този оптимум ще се окаже максимален за някоя физична величина, свързана например с енергията на огъване в ръбовете или междуфазовото напрежение. Той признава, че в момента той и колегите му не разполагат с доказателства за това предположение за максимална мекота, но се надява, че "някой много по-умен човек ще се заеме с това и ще го докаже".

Меките клетки на природата: Примери за меки клетъчни форми, открити в природата в лука, причинени от речна ерозия и във вътрешността на черупките.  Кредит: Soft cells and the geometry of seashells; Gábor Domokos, Alain Goriely, Ákos G Horváth, Krisztina Regős Author Notes; PNAS Nexus, Volume 3, Issue 9, September 2024, pgae311, https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311 

Изследователите са идентифицирали меки формации в природата в двуизмерните форми на островите в оплетените реки, напречните сечения на концентричните слоеве в лука и биологичните клетки в тъкани, както и в триизмерните отделения на спираловидните черупки, като тези на наутилуса - морско мекотело (вж.илюстрациите "Меките клетки в природата"). Те смятат, че природата като цяло се стреми да избягва ъглите, тъй като тези прегъвания струват скъпо, те имат висока енергийна цена при натоварване при деформация и могат да бъдат източник на слабост на структурата.

Изучаването на наутилуса "бе повратната точка" в тази работа, споделя Домокос. В напречно сечение отделенията на черупката приличат на двуизмерни меки клетки с два ъгъла. Но съавторът Криштина Регос (Krisztina Regős), също от Будапещенския университет по технологии и икономика, подозира, че реалната 3D камера изобщо няма ъгли.

"Това звучеше невероятно", си спомня Домокос. "Но по-късно установихме, че тя е била права."

Черупка на наутилус отблизао. Кредит: PickPik (Public Domain Certification)

Древна геометрия

Като се има предвид, че анализът използва математика, която е известна от векове, може да изглежда изненадващо, че никой досега не е формулирал понятието "меки клетки".

Но Гудман-Строс подозира, че "меките ръбове са достатъчна пречка за геометрите да не се замислят за това".

"Вселената на многоъгълните и полиедричните мозайки е толкова завладяваща и богата, че на математиците не им се е налагало да разширяват своята работна рамка", посочва Домокос.

Той подозира, че съществува общоприетото схващане, че свежите прозрения изискват напреднала математика или авангардни изчисления, а не просто утвърдени геометрични методи.

Центърът "Гайдар Алиев" в Баку е проектиран от архитектката Заха Хадид, чиито сгради използват меки клетки, за да избегнат или сведат до минимум ъглите. Кредит: Pexels

Гудман-Строс смята, че работата предлага "един вид описателен език на структурата", но може би все още не разкрива нови физични принципи, лежащи в основата на формирането на такива структури в природата. За да се разберат, да речем, речните брегове, казва изследователят, вероятно все още е необходимо да се разгледа физическият процес от първите принципи, като например ролята на дебита, преноса на седименти и ерозията.

Домокос и колегите му смятат, че архитекти като Заха Хадид отдавна използват интуитивно меки клетки, за да избегнат или минимизират ъглите по естетически или структурни причини. След завършването на статията Домокос и съавторът му Ален Гориели (Alain Goriely) от Оксфордския университет, Великобритания, си сътрудничат с архитекти от Калифорнийския колеж по изкуствата в Сан Франциско, които са разработили наградена структура, използваща елементи от меки клетки, направени - по подходящ начин - от яйчени черупки.

Справка:

1. Domokos, G., Goriely, A., Horváth, A. G. & Regős, K. PNAS Nexus 3, pgae311 (2024).

   Article  Google Scholar 

2. Smith, D., Myers, J. S., Kaplan, C. S. & Goodman-Strauss, C. Combinat. Theor. https://doi.org/10.5070/C64163843 (2024).

   Article  Google Scholar 

Източник: Mathematicians discover new class of shape seen throughout nature, nature

Още по темата

27/02/2024

Математика

Математици разкриват формите на "меките плочки" в мозайката на живите тъкани

27/03/2023

Математика

Пробив в геометрията: Непериодична мозайка с еднакви плочки (видео)

29/03/2015

Математика

Непериодичните мозайки – хаос и ред в забранени симетрии

17/03/2015

Математика

Периодичните мозайки. Задачи за плочкаджии и математици