Абеловата награда е присъдена за аритметична геометрия и доказателства на хипотезите на Мордел

Теоремата на Питагор. Кредит: Timandra Harkness

Теоремата на Питагор е диофантово уравнение: a² + b² = c². Целочислените решения за a, b и c се наричат ​​питагорови тройки. И има безкрайно много от тях, започвайки с 3, 4 и 5.

Но какво ще стане, ако вместо да се повдигнат на квадрат, a, b и c се повдигнат на куб? Не е толкова лесно за решаване. Всъщност, последната теорема на Ферма (която той е написал в полето на своя екземпляр от книгата на Диофант по аритметика) гласи, че няма диофантови решения за a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ, ако n е по-голямо от 2.

И наистина, в продължение на стотици години никой не е успявал да намери решения с цяло число, ако n е 3 или повече (ако уравнението е от степен 3 или по-висока). Различни математици, включително Ойлер, Мари-Софи Жермен, Дирихле и Адриан-Мари Льожандър, успяват да докажат, че последната теорема на Ферма е вярна за специфични случаи. Но са били нужни много години, от 1637 до 1995 г., докато носителят на наградата Абел Андрю Уайлс (Andrew Wiles) не докаже, че не може да има такива решения за никое n, по-голямо от 2.

Ляво: Портрет на Пиер дьо Ферма (1607–1665) от 1650 г. от художника Ролан Льофевр (1608–1677). Обществено достояние. Дясно: Андрю Уайлс (лауреат на Абеловата награда за 2016 г.). Кредит: Peter Badge / Typos1 for The Abel Prize (2016).

Един от начините математиците да разберат по-дълбоките модели на числата е да ги представят като геометрични фигури. Това е областта на аритметичната геометрия.

Уравненията могат да бъдат изразени като множества от точки, като уравнението се превърне във функция и решенията се изобразят като координати. Така уравнението x ² + y ² – 1 = 0 може да бъде изразено като f(x,y)=x ² + y ² -1 и след това търсим къде тази функция е равна на нула, или f(x,y)=0.

Ако начертаем това върху плосък лист хартия, ще получим окръжност, преминаваща през точките, където x = 1 или -1 и y = 0, и точките, където x = 0 и y = 1 или -1. Опитайте сами - поставете x ² + y ² – 1 = 0 в първото поле: https://www.desmos.com/calculator 

Всяка точка от тази окръжност ни дава стойности за x и y, които решават уравнението, но тези четири целочислени решения са очевидни или тривиални, както биха казали математиците. И те са единствените целочислени решения.

Но можем да намерим безкрайно много рационални числа x и y, които удовлетворяват това уравнение. Например, x = 3/5 (0,6) и y = 4/5 (0,8) е решение. Всъщност, ако сте готови да направите числителя и знаменателя достатъчно големи, има безкраен брой рационални точки на кривата.

Те се наричат ​​рационални числа не защото се държат по рационален ("разумен") начин, а защото могат да бъдат изразени като съотношение между две цели числа – известни още като дроби.

Но много повече от точките на тази крива са ирационални числа, наречени така, защото не могат да бъдат изразени като съотношение между две цели числа, въпреки че могат да бъдат апроксимирани с дроби, ако знаменателят е достатъчно голям. Това е диофантово приближение.

Ако това ви звучи странно, помислете за ирационалното число π: истинската му стойност не може да бъде изразена като дроб, но за практически цели можем да го приближим до 22/7 или 3,142 (3,142/1,000). Колкото по-близо искаме да се доближим до истинската му стойност, толкова по-големи трябва да станат числителят и знаменателят: например 104,348/33,215.

Така че уравнението, x² + y² – 1 = 0, има целочислени решения, рационални решения и ирационални решения. Но ако променим степента на три, x³ + y³ – 1 = 0, няма положителни рационални решения.

Сложните уравнения, включващи както умножение, така и събиране, могат да бъдат изразени като криви в числови полета. Полето е набор от числа с някои правила за това как се държат числата, когато ги събираме или умножаваме, или се опитваме да ги подредим в някакъв ред. Числовото поле ℚ, например, включва всички рационални числа – това е ℚ за частно. Комплексните числа, които включват i (квадратен корен от минус 1), образуват числовото поле ℂ.

Тор с две линии от окръжности на Виларсо. Кредит: Ag2gaeh / CC BY-SA 4.0

Полиномиалното уравнение включва различни степени на една и съща променлива - например x³ + 3x² – x +1 = 0. Колкото по- високи са степените, толкова по-голяма е степента на уравнението и от степента можем да определим рода – който ни казва колко дупки ще има в кривата.

Елиптичните криви се дават чрез кубични уравнения, като например y² = x³ + ax + b, така че имат степен 3. Това означава, че принадлежат към род 1, а кривата, дефинирана от f (x, y, z) = 0 за съответната функция f (x,y,z) = y²z – x³ – axz² – bz³, е тор и има една дупка. Андрю Уайлс използва елиптични криви, когато доказва Последната теорема на Ферма.

През 1922 г. Луис Дж. Мордел доказва, че рационалните точки на елиптична крива се генерират от крайна група от точки, които се държат по предвидими начини. Всъщност рационалните точки образуват абелева група, както е открито от Нилс Хенрик Абел, чиято работа продължава да се оказва централна за велики математически идеи и на когото е кръстена тази награда.

Но какво да кажем за кривите от род g = 2 или повече, описани от уравнения с по-високи степени? За съжаление, те не следват такива ясни правила.

Мордел предполага, че такива криви имат само краен брой рационални точки, но не успява да го докаже.