Още математически тухлички, скрити в таблицата за умножение

Таблиците за умножение датират от вавилонците от преди повече от 4000 години. Най-ранните десетични примери се появяват в Китай около 300 г. пр. н. е., конструирани с помощта на бамбукови ленти и могат да се използват за умножаване на цели и половин цели числа до 99,5. Един от най-ранните примери, които бихме разпознали, е Таблицата на Питагор, включена от Никомах в неговото "Въведение в аритметиката" отпреди около 100 г. сл. н.е.

Днес в училище таблицата за умножение е средство, което учениците използват, за да научат умножението чрез наизустяване. Въпреки че някои смятат, че овладяването на таблицата за умножение е само по себе си постижение, всъщност тя дава на учениците здрава основа за полагане на още математически тухлички. Нека се потопим в по-дълбоки води и да изследваме някои удивителни закономерности, които разкриват възможностите, скрити в таблицата за умножение.

Триъгълници и квадрати

В морето от цели числа червените числа по главния (от северозапад на югоизток) диагонал на таблицата за умножение очевидно са квадрати - естествените числа, повдигнати на степен 2.

Таблицата за умножение също ни показва и триъгълни числа. Триъгълно число е число, което може да бъде представено чрез шаблон от точки, подредени в равностранен триъгълник с еднакъв брой точки от всяка страна на еднакво разстояние една от друга. Например:

^{Първото триъгълно число е 1, второто е 1+2=3, третото е 1+2+3=6, четвъртото 1+2+3+4=10 и т.н.}

Сумирането на числата във всяка квадратна матрица на таблицата за умножение, започваща от ред 1 и колона 1, ни дава триъгълните числа на квадрат.

^{Сумирането на числата в квадратните матрици, започващи от ред 1 и колона 1, ни дава триъгълните числа на квадрат.}

Не само триъгълните числа могат да бъдат разкрити в таблицата за умножение, тя може да ни даде и квадрати на числата (точен квадрат).

Ако добавим ред 0 най-горе и колона 0 отляво в таблицата за умножение, тя пак ще си остане последователна и ще осигури хубава рамка. Ако в такава таблица за умножение се оцветят в синьо (вижте по-долу) кратни на числото k, сумата от числата в квадратна матрица, оградена от тези сини кратни, също включва триъгълно число.

Сумата от числата в квадратната матрица е равна на (2m-1)(2n-1)T²_k-1, където m и n определя мястото на квадратната матрица, като броите съответно отгоре и отляво, и T_k-1 е k-1-то по ред триъгълно число.

Можем да видим, че сумите на квадратните матрици, оградени от сините кратни на главния (северозапад към югоизток) диагонал (оцветени в жълто по-долу) също са квадрати на числа. Това може лесно да се докаже, като се вземе оригиналната формула за сумата от статията и се промени. Ще използваме само m във формулата, защото вертикалната и хоризонталната позиция са еднакви.

(2m-1)(2m-1)T²_k-1 = ((2m-1)T_k-1)²

Разделени квадрати

Ако навлезем в други квадратни матрици с различен размер и география в таблицата за умножение, можем да намерим повече квадрати на числа. Квадратна матрица, която е свързана с главния (от северозапад към югоизток) диагонал, изглежда винаги генерира съответно квадратно число въз основа на сумата от общите номера на колона и ред.

Например сумата от квадратната матрица, състояща се от единичния квадрат от ред 2, колона 2, е 2² =4. Числата в квадратната матрица в пресечната точка на редове и колони 3 и 4 се събират, за да дадат (3 + 4)² = 49, получено от сбора на 9+12+12+16, а сумата от числата в пресечната точка на редове и колони 5, 6 и 7 е (5 + 6 + 7)² = 324.

^{Таблицата за умножение с номерата за редовете, написани от лявата страна, и номерата за колоните, написани отгоре.}

Това дори изглежда важи, когато квадратна матрица е конструирана чрез пресичане на непоследователни редове и колони. Ако вземем пресечната точка на редовете и колоните 1, 4 и 8, сумата на (разделената) квадратна матрица е (1+4+8)² = 169.

Има някои математически прозрения защо това работи с три цели числа a, b и c, избрани от таблицата за умножение, за да дефинират матрицата, и математиците предлагат обща формула, която работи за всякакви три числа. В нашия пример по-горе сумата на числата в квадратната решетка е:

И по-общо

Сумата от числата в квадратната матрица, създадена чрез пресичане на един и същи набор от редове (a, b и c) със съвпадащия набор от колони (a, b и c), ни дава квадрат на сумата от номерата на редове/колони (a+b+c)²

Може ли това да важи за четири числа, пет числа и повече?

Квадрати на квадрати и квадрати на кубове

Благодарение на това знание можем да разкрием някои необикновени закономерности. Например можете бързо да покажете (може би с малко лего!), че сумата от последователни нечетни числа (започващи от 1) е равна на квадрат. Нека да разгледаме пресичащите се редове, обозначени с последователни нечетни числа със съответстващите колони.

Сумата от номерата на ред/колона ще бъде квадрат на число, тъй като това е сумата от последователни нечетни числа, за която знаем, че е квадрат. И квадратът на сумата от номерата на ред/колона ще бъде квадрат на квадратно число: това е число, повдигнато на четвърта степен. Така че можем да получим положителни цели числа, които са повдигнати на 4-та степен от таблицата за умножение, използвайки тази конкретна матрица.

Сумите на сините квадратчета в пресечната точка на последователно нечетните номерирани редове и колони ни дават числа, които са повдигнати на 4-та степен.

Може да получим друг интересен резултат, че кубично число (число, повдигнато на степен 3) може да бъде записано като сбор от последователни нечетни числа. Например 1³ = 1, 2³ = 8 = 3 + 5 и 3³ = 27 = 7 + 9 + 11.

Така че, ако изберем квадратни матрици, които са пресечната точка на тези последователни нечетно номерирани редове и колони, сумата от числата в тези квадратни матрици ще бъде квадрат на кубично число, което е число, повдигнато на степен 6. Зелените квадрати по-долу са пресечната точка на редове и колони 3 и 5, а сборът им е (3+5)² = (2³)² = 2⁶.

А жълтите квадрати са пресечните точки на редове и колони 7, 9 и 11, така че тяхната сума е (7+9+11)² = (3³)² = 3⁶.

Учителите по математика винаги търсят нови начини да въведат уениците в концепциите за умножение, степени и алгебра. Ако започнем да мислим неконвенционално, откриваме, че таблицата за умножение е нещо повече от просто стредство за запомняне. Ако решим да се потопим дълбоко в кристално сините води, ще открием много математически съкровища в нейното морско дъно.

Статията е превод на публикацията в списание Plus на Университет Кеймбридж.

Авторите са двама учители по математика:

	Тони Фостър (Tony Foster) помага на хора с психични заболявания да намерят цел в живота. Освен това е аматьор математик и интересите му включват триъгълника на Паскал, безкрайни редици и комбинаторика. Неговите открития са публикувани в Mathematics Teacher journal, Mathematical Gazette и Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
	Сай Венкатеш (Sai Venkatesh) е ентусиаст математик и страстен учител. Той преподава на ученици от прогимназиален и гимназиален клас в Step By Step School, Нойда, Индия. Той вярва, че учениците се наслаждават на математиката точно както се наслаждават на всяка друга форма на изкуство.

Още по темата

12/07/2017

Математика

Скритата красота на таблицата за умножение