Турбулентността е завладяващо, хаотично състояние на движение на течностите. Тя възниква в естествени и изкуствени условия, когато числото на Рейнолдс (определящо относителния размер на инерционните и вискозните сили в потока) е голямо. Посредством нелинейно свързване кинетичната енергия преминава каскадно от големи мащаби към все по-малки според изображението на мъглявината Тарантула горе, докато не се разсее от вискозните ефекти. Флуктуациите, които се възбуждат по време на този процес, играят решаваща роля в разнообразни проблеми, включително формирането на планети [1], образуването на дъждовни капки в облаците [2] и преноса на топлина в океаните [3].

Забележително е, че ново експериментално изследване на Кристиан Кюхлер (Christian Küchler) от Института за динамика и самоорганизация "Макс Планк" в Германия и неговите сътрудници предоставя убедителни доказателства, че в настоящите теоретични модели за това как флуктуациите се разпределят по различните мащаби липсват някои важни съставки [4].

Турбулентните потоци са сложни. Съответно количествените прогнози за техните свойства, които се извеждат директно от уравнението на Навие-Стокс, без ad hoc допускания, са оскъдни.

Повечето теоретични подходи по принуда са с феноменологични подходи, като най-известният от тях е новаторската теория на Андрей Колмогоров от 1941 г., наречена К41[5].

Тази теория на средното поле приема, че мултимащабните свойства на турбулентните флуктуации се управляват от средната каскада на кинетичната енергия, преминаваща през различните мащаби, и от вискозитета на флуида. В К41 Колмогоров предполага съществуването на инерционен диапазон, който съответства на междинен диапазон от мащаби, в който вискозните сили могат да бъдат пренебрегнати в сравнение с инерционните сили и където подробностите на едромащабното въздействие са без значение. Теорията предсказва, че статистическите свойства на флуктуациите се променят в зависимост от мащаба по степенен закон (англ. power law) от статистиката, показатели на който са "универсални", т.е. не зависят от числото на Рейнолдс.

Примерна Графика на степенния закон. Кредит: Wikimedia Commons

Въпреки че някои от предсказанията на К41 са доста точни, теорията не описва периодичните флуктуации, за които впоследствие е установено, че са повсеместни в малки мащаби и че нарушават универсалността. Последвалите опити да се обяснят прекъсващите колебания включват работата на самия Колмогоров [6] и мултифракталните модели [7]. Въпреки различията си, всички теории предвиждат, че статистиката на турбулентните флуктуации варира в зависимост от мащаба като степенен закон.

При най-малките мащаби на потока наистина се очаква поведение по степенния закон. Единственото, което се изисква, е полетата на потока да са гладки в тези мащаби, което би трябвало да е така поради дифузните ефекти на вискозните сили. Въпреки това в инерционния диапазон, където потоците не са непременно гладки, очакваният степенен закон не е толкова надежден. Единственото изключение е така нареченият закон 4/5 на Колмогоров за статистическия момент от трети ред на увеличението на скоростта (разликата в скоростта на флуида в две точки, разделени от разстояние r). Колмогоров извежда асимптотично решение за тази величина в инерционния диапазон от подходящо осреднена форма на уравнението на Навие-Стокс и то има формата на степенен закон.

За статистически моменти от всякакъв друг порядък обаче силата на степенния закон не е гарантирана. Независимо от това, експериментите и числените симулации на уравнението на Навие-Стокс са дали известна подкрепа за зависимостта на моментите от различен порядък от степенния закон. Резултатите никога не са показвали съвършени закономерности по степенния закон, но отклоненията от тях обикновено са се дължали на ефектите на критичното число на Рейнолдс. Това е така, защото теориите, които предсказват степенните закони, са изведени за асимптотичната граница на безкрайните числа на Рейнолдс.

Напоследък обаче се твърди, че отклоненията не се дължат просто на ефектите на критичното число на Рейнолдс, а сочат нещо, което липсва в сегашните ни теории за турбулентността [8]. За съжаление данните не се простират до достатъчно големи числа на Рейнолдс, за да се разкрие ясно естеството на отклоненията. Именно тук се появяват новите експерименти на Кючлер и съавторите му. Те използват модерен аеродинамичен тунел, съдържащ серен хексафлуорид - трасиращ газ, чийто нисък вискозитет в сравнение с въздуха улеснява достигането на високи числа на Рейнолдс. Чрез промяна на неговия вискозитет (чрез налягането в аеродинамичния тунел) и скоростта на потока, както и чрез контролиране на лопатките, които предизвикват турбуленцията, екипът постига стойности на числата на Рейнолдс от 413 до 5779 - безпрецедентно широк и висок диапазон.

Екипът се фокусира върху момента от втория порядък на нарастване на скоростта - величина, която е свързана с разпределението на кинетичната енергия между мащабите на потока. Съгласно степенния закон в инерционния диапазон тази величина е пропорционална на разстоянието на разделяне r на степен ζ2, която не зависи от р.

Екипът се фокусира върху момента от втория порядък на нарастване на скоростта - величина, която е свързана с разпределението на кинетичната енергия между мащабите на потока. Съгласно предсказанието на степенния закон, в инерционния диапазон тази величина е пропорционална на разстоянието на разделяне r, повдигнато на независимия от r степенен показател ζ₂. Новите данни на екипа обаче показват, че в инерциалния диапазон ζ₂ не е независим от r, а по-скоро има ясна логаритмична зависимост от r за разстояния, достигащи до два порядъка на величината.

Нещо повече, тази логаритмична зависимост е независима от числото на Рейнолдс, с изключение на това, че тя се проявява в увеличиващия се диапазон от разстояния с увеличаване на числото на Рейнолдс.

Тези изводи представляват убедително доказателство, че прогнозите на степенния закон са неверни. Отклоненията от него вероятно не се дължат на критичните стойности на числото на Рейнолдс, а всъщност са универсална характеристика.

Аеродинамичният тунел на MPI-DS позволява да се генерират много високи степени на турбулентност при високо налягане за измерване на различни потоци. Кредит: Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation

Такива ясни доказателства за систематични отклонения от поведението според степенния закон са значими, тъй като показват, че нещо фундаментално липсва в настоящите теории за турбулентността. Откритието е значимо и поради факта, че параметризациите на турбулентните потоци, като например тези, използвани в атмосферните модели, се изграждат, като се приема, че поведението е по степенен закон. Следователно тези прогнози могат да съдържат значителни грешки.

Какво пропускат настоящите теории? Една от възможностите е по-доброто отчитане на детайлите на едромащабните ефекти, за които се приема, че са маловажни в инерционния диапазон. Може би тези ефекти се разпростират до мащаби, много по-малки, отколкото се смяташе досега.

Друга възможност са квазиравновесните допускания, приети в настоящите теории за справяне с ефектите на времевата зависимост на едромащабния поток, са погрешни. От друга страна, обхватът на мащабите, в които се наблюдават логаритмични корекции, изглежда се мащабира с вискозитета на флуида, което показва, че вискозните ефекти също трябва да играят някаква роля. Ако това е вярно, то би се оказало много изненадващо, тъй като логаритмичната област обхваща мащаби, които са на порядъци по-големи от мащабите, при които обикновено се смята, че вискозните ефекти са важни.

Справка:

1. A. Johansen et al., “Rapid planetesimal formation in turbulent circumstellar disks,” Nature 448, 1022 (2007).
2. G. Falkovich et al., “Acceleration of rain initiation by cloud turbulence,” Nature 419, 151 (2002).
3. R. Ferrari and D. Ferreira, “What processes drive the ocean heat transport?” Ocean Model. 38, 171 (2011).
4. C. Küchler et al., “Universal velocity statistics in decaying turbulence,” Phys. Rev. Lett. 131, 024001 (2023).
5. A. N. Kolmogorov, “The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers,” Proc. R. Soc. Lond. A 434, 9 (1991).
6. A. N. Kolmogorov, “A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number,” J. Fluid Mech. 13, 82 (1962).
7. U. Frisch, Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov (Cambridge University Press, Cambridge, 1995)[Amazon][WorldCat].
8. K. P. Iyer et al., “Oscillations modulating power law exponents in isotropic turbulence: Comparison of experiments with simulations,” Phys. Rev. Lett. 126, 254501 (2021).

Източник: Wind Tunnel Experiments Challenge Turbulence Theory, Andrew Bragg, Physics 16, 123

Още по темата

22/02/2023

Технологии

Може ли изкуственият интелект да помогне за прогнозиране на времето?

02/03/2020

Физика

Математици доказват универсален закон на турбулентността

19/11/2015

Математика

Нигерийски математик е заявил, че е намерил решението на задача за 1 млн долара

23/03/2023

Математика

Наградата Абел 2023 г: Математиката на промените и готварството на Луис Кафарели