Сечения и разгъвки на четиримерни обекти

Да си представим ние, жителите на тримерния свят обекти от четиримерното пространство изглежда почти непосилна задача, но в темата "Платоновите тела и техните братовчеди от висшите измерения" вече ви запознахме с един от начините - метода на аналогията. Тук ще продължим и с други.

ПРОЧЕТЕТЕ ПРЕДИ ТОВА:

Църквата в четвъртото измерение

Четвъртото измерение: Истории от плоските светове

Платоновите тела и техните братовчеди от висшите измерения

Сечения

Може да обясним на двумерните плоски гущери на Ешер или на флатлендерите какво е тетраедър като го нарежем на "филийки". Този метод се използва в томографията: разглеждат се поредица от снимки на човешкото тяло в напречно сечение, а след това се получава триизмерна картина.

Погледнете последователността на тези напречни сечения:

Надявам се, че лесно ще разпознаете последователните сечения на куб. Да, но защото имаме опита на 3D същества.

Когато многостенът се премества в пространството и се пресича с равнината на флатлендерите, сечението му е многоъгълник. При движението на многостена, многоъгълникът се променя и в крайна сметка, изчезва в момента, когато тялото окончателно премине през равнината. Флатлендерите виждат само многоъгълници, но ги виждат в движение, могат да наблюдават променящите им се форми. След като понатрупат малко опит, възможно е в крайна сметка да получат една интуитивна представа за това какво е многостен, въпреки че не са в състояние да го видят в пространството.

Да си представим, че сме 2D същества, които си нямат никаква представа какво е е цилиндър. Ние няма как директно видим такъв обект, защото нашата ретина е само 1D, а е необходима 2D ретина, която да може адекватно да възприеме 3D обект. Да се проучим какво се случва, когато един цилиндър минава през нашия 2D свят:

Ако цилиндърът се спуска през нашия свят вертикално, ще видим поредица от кръгли напречни сечения, всички с еднакъв размер.

2D същества не могат да видят всъщност горното изображение директно; те могат да видят кръглото сечение само отстрани. Напречните сечения ще изглеждат като отсечки, които ще показват кривината, ако има околни светлинни източници. (Както ние, 3D- хората можем да разберем, че на по-горната картинка е цилиндър благодарение на светлосенките). 

Така или иначе, едно 2D същество може да заключи, че цилиндърът трябва да е нещо кръгло.

Да спуснем цилиндъра с една различна ориентация:

Този път 2D съществата няма да видят нищо кръгло, а само поредица от правоъгълни напречни сечения, които изглежда, че растат и се свиват като дължината им остава постоянна. От това те могат да заключат, че цилиндърът трябва да има нещо правоъгълно.

От тези две поредици сечения може да се извлече ценната и вярна информация, че един 3D цилиндър е нещо, което е едновременно кръгло и правоъгълно. 

Да, но ако сме 2D същества, трудно ще можем да проумеем как едно нещо може да бъде и кръгло, и правоъгълно едновременно. Като 2D същества, ние имаме опит само с 2D форми и никоя от тях не са едновременно кръг и правоъгълник.

Дали ако цилиндърът мине чрез нашия 2D свят под ъгъл от 45 градуса ще получим повече представа?

Получените напречни сечения са още по-озадачаващи - последователност от отсечени елипси:

Освен ако предварително не знаем, вероятно няма да можем да извлечем формата на цилиндър от тези сечения. 

Това илюстрира основна слабост на метода на напречните сечения - макар и да дават полезна информация, тя трудно се синтезира в един съгласуван модел на реалния обект. 

Няма да им е лесно на плоските флатлендери да познаят куба, виждайки шестоъгълно сечение, но ние като 3D същества, имаме известни познания на 3D геометрията, за да се досетим, че това е куб.

Aко проследите последователността на сечения на четиримерен обект с 3D пространството, може ли да разберем какво е тялото?

Вероятно не, освен ако не го знаем предварително, без интуитивно разбиране на 4D, ще е много трудно да възстановим оригиналния обект от тях.

Основният проблем с напречни сечения е, че ние не можем да видим изцяло обекта, а само "на парче". Важни характеристики, като например броя и формата на стените, броят на върховете (ъглите), както и цялостната форма на обекта, остават скрити. Ние ще трябва да анализираме тези сечения много внимателно, за да получим тази информация. 

Нека не забравяме, че "режем" с безкраен обект с размерност N-1 - т.е. режем 3D тяло с безкрайна 2D-равнина, а 4D-обекти - с безкрайно 3D - хиперравнина. Не бихме могли да разрежем 4D-обекти с обикновена равнина, както не можем да разрежем с линия 3D тела, можем да ги "пробием".

Разгръвка

Как да си сглобим тесеракт? Всеки може да си направи куб, а ето как трябва да се сгъне тесеракт: Опитайте се внимателно да залепите едноцветните страни на кубовете както е показано, като не забравяте, че ъглите остават прави, а кубовете не бива да се деформира! Успяхте ли?

 Този модел на тесеракт е толкова точен и близък до това, което е в действителност, колкото тази проекция на куб върху лист.

Но специално с проекциите ще се запознаем в друга тема.

Успоредна проекция

Всеки обект с N+1 размерност се образува от N-мерен като се транслира, нарасне (екструдне - не мога да намеря точен превод на думата extrude) в N+1 посока (вижте табличката с аналогиите).

Същото е и с 4D-обекта, например тесеракта (хиперкуба), само дето ни е малко трудно да го осъзнаем с разума си - вземаме един куб със страна L, екструдваме го по направление на 4-тата координатна ос W и получаваме тесеракт с обем L⁴.

"Ограден" е от 8 стени-тела с обем L³. Точно като куба и квадрата, всички ръбове в рамките на един тесеракт са с еднаква дължина и всички от ъглите са под прав ъгъл.  

Карл Сейгън за 4D-пространството

Ако още не сте "усетили" какво е 4-то измерение, изгледайте и това филмче, в което Карл Сейгън се опитва да даде разбиране на тази непосилна за разума ни главоблъсканица.

С това не завършват усилията ни да се разходим в по-висшите измерения. В следващата тема ще ви запознаем с още начини (проекции, завъртания, обвивки) и тълкувания.

Източници:

4D Visualization

wikipedia-Four-dimensional space

Dimensions

Introduction to the fourth dimension