В момента молекулите във въздуха се движат около вас по хаотичен и непредсказуем начин. За да разберат такива системи, физиците използват закон, наречен разпределение на Болцман, който вместо да описва точно къде се намира всяка частица, описва шанса системата да бъде намерена във всяко от възможните ѝ състояния. Това им позволява да правят прогнози за цялата система, въпреки че движенията на отделните частици са случайни. Все едно хвърляте един зар: Всяко едно хвърляне е непредсказуемо, но ако продължавате да го хвърляте отново и отново, ще се появи модел (закономерност) от вероятности.
Разработено през втората половина на 19-ти век от Лудвиг Болцман, австрийски физик и математик, това разпределение на Болцман се използва широко днес за моделиране на системи в много области, вариращи от изкуствен интелект до икономика, където се нарича "многономиално (многочленно) логистично разпределение".
Сега икономистите са разгледали по-задълбочено този универсален закон и са стигнали до изненадващ резултат: разпределението на Болцман е единственият закон, който точно описва несвързани или несвързани системи, показва тяхното математическо доказателство.
Изследването, публикувано в списание Mathematische Annalen, е дело на двама икономисти и математици с опит във физиката: Омер Тамуз (Omer Tamuz), професор по икономика и математика в Калифорнийския технологичен институт, и Федор Сандомирски (Fedor Sandomirskiy), бивш постдокторант по Калифорнийски технологичен институт, който понастоящем е асистент по икономика в Принстънския университет.
"Това е пример за това как абстрактното математическо мислене може да свърже различни области – в този случай, свързвайки идеи от икономическата теория с физиката", коментира Тамуз. "Интердисциплинарната среда на Калифорнийския технологичен институт стимулира подобни открития."
За да разберем защо един учен би се интересувал от несвързани системи, представете си един икономист, който изучава как хората избират между две марки зърнени храни. При разработването на теория, която да опише това поведение, учените трябва да се уверят, че техният прост модел не прави безсмислени връзки. Например, ако моделът предскаже, че предпочитанието на човек към марка зърнени храни зависи от това кой препарат за миене на съдове е купил този ден или какъв цвят риза е носил в магазина, учените биха знаели, че нещо не е наред с модела.
"Предпочитаме да не проследяваме допълнителни избори, които изглеждат неподходящи, като например кой сапун е избрал купувачът от друга щанд", обяснява Тамуз. "Задаваме си въпроса: Кога включването на този привидно несвързан избор би оставило прогнозата на модела непроменена?"
Докато разпределението на Болцман точно описва такива несвързани системи, Тамуз и Сандомирски се питат: Има ли алтернативни теории, които могат да направят същото?
"Всички използват една и съща теория", отбелязва Тамуз. "Но кои други теории имат това хубаво свойство, което правилно да отразяват липсата на връзка между несвързаните поведения? Трябва ли да използваме тези теории, а не други? Ако има такива теории, те биха могли да бъдат полезни както в икономиката, така и във физиката. Ако няма, тогава ще научим, че разпределението на Болцман е единствената физическа теория, която не е безсмислена, и че многономиалното логистично разпределение е единственият икономически модел, който предсказва независими избори в несвързани ситуации."
Хвърляне на зар
За да открият други възможни теории, които биха могли да работят за несвързани системи, икономистите разработват нови начини за тестване на основната математика. Тамуз обича да използва зарове, за да обясни как са се справили с проблема. Всяко хвърляне на зар е случайно – може да се падне 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – и може да се разглежда като поведението на отделен човек или физическа система. Ако хвърляте зара много пъти, ще започнете да виждате как се появява закономерност – всеки резултат, числата от 1 до 6, ще се появи близо в една шеста от случаите. Това е разпределението на единичния зар.
Ако хвърлите два зара и запишете сумите на хвърлянията им, ще получите различно разпределение. Например, шансът да получите общ резултат 2 е 1/36, защото има само един начин да се хвърли 2 (1 и 1). Но шансът да се хвърли 8 е 5/36, защото има пет начина да се хвърли 8 (4 и 4, 3 и 5, 5 и 3, 2 и 6 и 6 и 2).
Важно е да се отбележи, че резултатът от единичния зар не съдържа информация за резултата от другия, тъй като това са две несвързани физически системи. Връщайки се към примера с икономиката, единият зар е като избора на зърнена закуска, а другият зар е като избора на препарат за миене на съдове. Случайните избори не би трябвало да си влияят взаимно.
За да разберем как изследователите са тествали алтернативни теории на разпределението на Болцман, трябва да въведем "сбъркан" чифт зарове, като например така наречените зарове на Зичърман, изобретени през 1977 г. от създателя на пъзели и ентусиаст по математика полковник Джордж Сичърман.
Чифт "сбъркани" или Сичърманови зарове, изобретени през 1977 г. от създателя на пъзели и ентусиаст по математика полковник Джордж Сичърман. Кредит: Caltech/Whitney Clavin
Тамуз (който всъщност държи чифт зарове Сихерман на бюрото си) обяснява, че числата на тези шестстранни зарове са странни, като единият зар от двойката има числата 1, 3, 4, 5, 6, 8, а другият - 1, 2, 2, 3, 3 и 4.
Въпреки че всеки зар е много различен от обикновения зар, ако хвърлите и двата и запишете само общата стойност, няма да можете да ги различите от обикновените зарове. Както при обикновените зарове, шансът да се хвърли сума от 2 със заровете на Зихерман е 1/36, а шансът да се получи 8 е 5/36. С други думи, разпределението на вероятностите за сумите на всеки вид зар е еднакво.
Тамуз и Сандомирски осъзнават, че могат да използват математиката, залегнала в основата на тези зарове на Сичерман, за да тестват алтернативни теории. Ако една теория води до това, че нормалните и сбърканите зарове имат еднакви вероятностни разпределения на сумите, тя преминава теста за точно описание на несвързани системи. Ако нормалните и сбърканите зарове имаха различни вероятностни разпределения на сумите (което е все едно да демонстрираме безсмисления пример за това как изборът на сапун влияе върху избора на зърнени храни), теорията се проваля.
Номерът за тестване на допълнителни алтернативни теории бе да се намерят още примери за сбъркани зарове освен заровете на Сичерман. Всеки допълнителен пример, който откриват, може да се използва за тестване на още теории. Съществува безкраен брой възможни теории, които те успяват да съпоставят с безкрайно много теоретични двойки сбъркани зарове. В крайна сметка те разработват математическо доказателство, което изключва всички алтернативни теории и показва, че изпитаното и вярно разпределение на Болцман, използвано пламенно в науката повече от век, е единственото, което работи.
Възможни общи резултати при хвърляне на зарове със стандартни зарове и зарове на Сичерман. Кредит: Wikimedia Commons
В математически термини изследването се свежда до полиноми, функции като f(x)=x + 3x² + x³ , които може да са познати от часовете по алгебра.
Всички разпределения, обсъдени по-горе, независимо дали са теории на Болцман или алтернативни теории, могат да бъдат представени чрез полиноми. Например, първият зар на Сичерман, със страни 1, 3, 4, 5, 6, 8, може да бъде представен от f(x) = x1 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8 .
Вторият зар на Зихерман, със страни 1, 2, 2, 3, 3, 4, е представен от g(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4 .
Произведението на тези полиноми, f(x) · g(x), е друг полином, който представлява разпределението на сумите. Това е същото като разпределението на сумите на два правилни зара, всеки от които е представен от h(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 . Следователно, произведението на h(x) и h(x) е същото като произведението на f(x) и g(x).
Тази математика представя независимостта на несвързаните системи. Окончателното математическо доказателство на изследователите изисква нови прозрения за такива полиноми.
"Не знаехме какво да очакваме, когато започнахме това", разказва Сандомирски. "Бяхме заинтригувани от тези парадоксални прогнози и се чудехме какво означава една теория да няма такива. В крайна сметка научихме, че това означава, че трябва да е теорията на Болцман. Открихме нов ъгъл върху концепция, която е основен учебник в продължение на повече от век."
Справка: Fedor Sandomirskiy et al, On the origin of the Boltzmann distribution, Mathematische Annalen (2025). DOI: 10.1007/s00208-025-03263-x
Източник: Economics Puzzle Leads to a New Understanding of a Fundamental Law of Physics, Whitney Clavin, California Institute of Technology
Коментари
Моля, регистрирайте се от TУК!
Ако вече имате регистрация, натиснете ТУК!
Няма коментари към тази новина !
Последни коментари
"Ад" на Данте описва удар на астероид 500 години преди съвременната наука
10-годишно момиче открива рядък мексикански аксолотъл. Какво знаем за тези животни
Хората с тъмни черти на характера са естествено склонни към лидерски роли, установява ново проучване
Хората с тъмни черти на характера са естествено склонни към лидерски роли, установява ново проучване