15 декември 2019
Категории
  •  Космос
  •  Физика
  •  Науки за земята
  •  Биология
  •  Медицина
  •  Говорят медиците
  •  Математика
  •  Научни дискусии
  •  Разни
FACEBOOK

Алгебрични (динамични, нелинейни) фрактали

Комплексните числа. Множеството на Жюлиа и множеството на Манделброт

| ПОСЛЕДНА ПРОМЯНА 27 декември 2014 в 15:17109150

Теоретично, първият алгебричен фрактал - множеството на Жюлиа е описан за първи път през 1918 от френския математик Гастон Жюлиа , който по това време бил военна болница и се възстановявал от нараняванията си от Първата световна война.

По същото време работи и Пиер Фату, също по поведението на z → z2+c и двамата получават по същество едни и същи резултати, но скоро изследванията им са забравени, докато математикът от IBM, Беноа Манделброт не им вдъхва нов живот, благодарение на развиващата се компютърна техника. Интелектуалният подвиг на Джулия и Фату е особено забележителен, защото са разчитали само на своята способност за абстрактно мислене, а задачата без помощта на компютри е сериозно предизвикателство за човешките възможности.

Алгебричните фрактали възникват в изследването на нелинейни динамични системи, затова се наричат и динамични и нелинейни. Те са обект на особено внимание, защото възпроизвеждат огромно богатство от геометрични фигури само от един съвсем прост алгоритъм и са тясно свързани със съвременната теория на хаоса.

Тъй като.се развиват в комплексната равнина, нека си припомним какво представляваха комплексните числа.

Комплексните числа

За да се построи фрактала, например, на Манделброт имаме нужда от комплексни числа. Комплексните числа се състоят от две части - реална и имагинерна, а цялото комплексно число се означава така: z =a+bi , като i се нарича имагинерна единица, защото ако се повдигне на квадрат, получаваме -1, т. е. i2 = –1; a и b са реални числа,  като a се нарича реална, а b се нарича имагинерна част на числото.

Ако b = 0, то вместо a + 0i пишем просто a - т.е. реалните числа са частен случай на комплексни числа.

Събирането и изваждането стават по правилото (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение - по правилото (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (тук се използва, че i2 = –1). Тези действия ще се използват основно в разглежданите по-късно фрактали.

комплексни числа комплексни числа
z1 = 2+i; z2 = 3i; z3 = --3+2i; z4 = -1-i; |z1| = 5; |z2| = 3; |z3| = 13; |z4| = 2;

Комплексните числа може да се събират, изваждат, умножават, делят и всички останали алгебрични действия, но не могат да се сравняват. Комплексно число може да се представи като точка в Декартовата равнина, в която x координата е реалната част, а y е коефициентът на имагинерната част b.

Комплексните числа имат удобно и нагледно геометрично представяне - числото z = a + bi може да бъде изобразено и като вектор с координати на върха (a, b) . Сумата от две комплексни числа се представя като сумата на съответните вектори по правилото на успоредника. По теоремата на Питагор дължина на вектора с координати (a, b) е равна на 

Тази величина се нарича модул на комплексното число z = a + bi и се означава с |z|. Ъгълът, който този вектор сключва с положителната посока на ос х (отчетен обратно на часовниковата стрелка) се нарича аргумент на комплексното число z . Аргументът не е еднозначно определен, а точно само до добавянето на величина, кратна на 2π радиана (или 360°) - ясно е, че пълен оборот около началото на координатите няма да промени вектора.

Основни принципи

Има различни видове нелинейни фрактали, но в най-общия случай алгебричния фрактал се задава с итерации на полином

Нека f(z) е полином , а z0 комплексно число. Да разгледаме следната последователност:
z0, z1=f(z0), z2=f(f(z0))=f(z1), z3=f(f(f(z0)))=f(f(z1))= f(z2), ...

В зависимост от началната точки z0 , при изследване на поведението на тази последователност, когато n клони към безкрайност, тази последователност може да се държи по различен начин:

  • да клонни към безкрайност 
  • да клонни към крайно число, 
  • да проявява циклично поведение в някакви граници, например: z1, z2, z3,z1, z2, z3...
  • да се държи хаотично, т.е. да не показва нито един от горните три типа поведение.

Множество на Жюлиа

Да си представим комплексната равнина, цялата изпълнета с точки, съответстващи на комплексните числа. Да начертаем окръжност около началото на координатната системас радиус 1. Някои точки ще попаднат вътре в окръжността (червените), а други (зелените) - вътре. Да ги повдигнем на квадрат. фрактал
Резултатът от последователните итерации на повдигане на степен е, че червените точки остават вътре в окръжността, а зелените се разбягват далече от нея. Тази окръжност е запълнено множество на Жюлиа, получено от итерации, извършващи преобразувания повдигане на квадрат. Точните извън множеството на Жюлиа, след неограничени преобразувания повдигане на квадрат отиват в безкрая. фрактал

Ако алгоритъмът се промени на z → z2+c, където c е някакво комплексно число, за всяко различно c , очертанията на формата на множеството на Жюлиа започва да се променя. Колкото е по-голямо по модул c , толкова то силно се отклонява от формата на кръг. Добавянето на параметъра c към точките от комплексната равнина "ще запрати" някои от тях към безкрайността, а други ще насочи към центъра. Така ще се образуват нови разнообрази форми:

фрактал фрактал фрактал
фрактал фрактал фрактал
фрактал Симетрията в очертанията на запълненото множество на Жюлия говори за липса на имагинерна част, а завихрянията - за наличието й.

Полиномът f(z) може да се разглежда като запълнено множество на Жюлиа, множеството точки, които не се стремят към безкрайност. А множеството на Фату е дополнение на множеството на Жюлиа и ако последното е затворено множество, то множеството на Фату е отворено.

Точките, лежащи на границата между двете множества имат свойството при много малка промяна на позицията, характерът на поведението им драстично да се изменя. Границата на запълненото множество на Жюлиа има фрактални характеристи със самоподобни части, тя представлява обикновеното множество на Жюлиа.

Графичните интерпретации

фрактал

Това красиво оцветено изображение не е точно самото множество на Жюлиа, което всъщност се състои от само от точки и не може да бъде изрисувано така. На картинката се виждат точките от околността на множеството на Жюлиа и колкото е по-ярка точката, толкова е по-близко до множеството на Жюлиа и толкова повече итерации са й необходими за да се отдалечи.

Julia
julia
2 3 4 5 6
При c = i множеството на Жюлиа се превраща в дендрит - дървовидна структура, срещаща се в минералогията, и във физиологията, а тук напомня на светкавица (те също имат фрактална структура Как ще изглежда множеството на Жюлиа, ако се смени степента от формулата
z → z2+c вместо 2, с 3, 4, 5, 6.

Връзката между множествата на Жюлиа и множеството на Манделброт

Математиците Жюлиа и Фату открили, че за всеки параметър c се получават два вида фрактални изображения:

  1. Множеството на Жюлиа може да бъде едносвързана фигура или
  2. т.н. прах на Фату (хомеоморфен на праха на Кантор), който се състои от безкраен брой несвързани една с друга точки, разхвърлени подобно на прашинки и има размерност нула.

Понятията "едносвързано" и "хомеоморфно" са от областта на топологията и с тях може да се запознаете в темата "Хипотезата на Поанкаре".

Ако нанесем всяка точка от комплексната равнина със стойност параметъра c, за който множеството на Жюлиа е едносвързано и прескочим точките със стойности на c, които дават несвързани множества, резултатът ще бъде фракталът на Манделброт. На всяка точка (или координата) от множеството на Манделброт съответства някакъв фрактал Жюлиа.

Комплексното множество на Манделброт

Множеството на Манделброт, което било построено от Беноа Манделброт, навярно е първата асоциация, възникваща у хората, когато чуят "фрактал".

Този фрактал се генерира по същата прост алгоритъма като фрактала на Жюлиа

z → z2+c,

Но тук акцентът е другаде, защото множеството на Манделброт се състои само от точки, за които множеството на Жюлиа може бъде едносвързано.

Определяне на множеството на Манделброт. Критерий за едносвързаност на множеството на Жюлиа

Ако определим критерия за едносвързаност на множеството на Жюлиа, ще можем да изобразим и множеството на Манделброт. С определянето на този критерий са се справили и Жюлиа и Фату. Те са открили, че този този на пръв поглед труден проблем може да бъде решен с прости сметки.

Да разгледаме последователността от стойности на zn, получени от формулата f(z)= z2 + c, когато точката в началото на координатната система z0 е равна на нула. Така можем да се фокусираме върху ключовия фактор, който контролира параметъра c. Получената последователност е:

0,  c c2 + c (c2 + c)2 + c,  ...

Ако тя не клони към безкрайност, то асоциираното със същата стойност на параметъра c множество Жюлиа ще бъде едносвързано и точката c ще принадлежи на множеството на Манделброт.

На всяка точка от множеството на Манделброт съответства фрактал на Жюлиа.

 

Как се изчертава множеството на Манделброт

За да построим този знаменит фрактал итерациите се изпълняват за всяка стартова точка C в правоъгълна или квадратна област - подмножество на комплексната плоскост. Итерационият процес продължава дотогава, докато Z[i] не излезе извън границите на окръжност с радиус 2, центърът на която лежи в точката (0,0), (това означава, че атракторът на динамичната система се намира в безкрайността), или след достатъчно голям брой итерации (например 200-500) Z[i] започне да клони към някаква точка от окръжността. В зависимост от количеството итерации, в течениe на които Z[i] остава вътре в окръжността, може да се определи цвета на точка C (ако Z[i] остава вътре в окръжността в течение на достатъчно количество итерации, итерационния процес се прекратява и тази точка се оцветява в черно). Към множеството на Манделброт принадлежат точки, които в течение на безкраен брой итерации не клонят към безкрайност (черни точки).

Точките, принадлежащи на границата множеството (именно там възникват сложни структури) клонят към безкрайност за крайно число итерации, а точките лежащи извън пределите на множеството, клонят към безкрайност след няколко итерации.

Приблизително самоподобие

Ако се изследва графиката на фрактала на Манделброт, ще забележите сред многообразието от цветове и форми, елементи, които ще ви напомнят и на фрагменти от множествата на Жюлиа, а и на самата фигура на фрактала на Манделброт. Тези ефекти на самоподобие се появяват, макар и не без деформации, на различни мащабни нива.

Mandelbrot 1 Mandelbrot 2
Рис 1. Множество на Манделброт. По хоризонталната ос са реалните стойности Cx, а по вертикалната ос - имагинерните стойности Cy Рис 2. Участък от границата на множеството на Манделброт, (на рис.1 е оградено в бял квадрат) увеличение 17 пъти.
Mandelbrot 1 Mandelbrot 2
Рис 3. Участък от множеството на Манделброт, (на рис.2 ограден в бял квадрат) увеличение 13 пъти Рис 4. Участък от множеството на Манделброт, симетричен спрямо реалната ос, (на рис.1 ограден от зелен квадрат) точно подобен на целия фрактал

Множество на Манделброт за различни степенни показатели

Множеството на Манделброт, което най-често се показва е множеството на Манделброт от 2-ра степен. Тук може да видите примери на множеството на Манделброт за различни значения на степенния показател.

1 1.2 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.3 2.5 3 3.5 4 5 6 7 10

Интерактивно изображение на множеството на Манделброт, Жюлиа и Нютон

Направено от Daniel Wolf

Основни понятия и лексика

  • Комплексни числа
  • Множество на Жюлиа
  • Връзката между множествата на Жюлиа и множеството на Манделброт
  • Критерий за едносвързаност на множеството на Жюлиа
  • Множество на Манделброт
  • Гастон Жюлиа
  • Пиер Фату
  • Беноа Манделброт

Източници:

Fractal Geometry, Yale University, Michael Frame, Benoit Mandelbrot (1924-2010), and Nial Neger

Введение во фракталы, Шабаршин А.А.

Fractals: Useful Beauty (General Introduction to Fractal Geometry)

Язык фракталов, ХАРТМУТ ЮРГЕНС, ХАЙНЦ-ОТТО ПАЙТГЕН, ДИТМАР ЗАУПЕ

Красивая жизнь комплексных чисел, Скляревский Е. С.

Тема: основы теории фракталов

Динамические фракталы, Евгений Епифанов

Комплексные числа, Евгений Епифанов


Препоръчани материали

Няма коментари към тази новина !

 
Още от : Математика
Всички текстове и изображения публикувани в OffNews.bg са собственост на "Офф Медия" АД и са под закрила на "Закона за авторското право и сродните им права". Използването и публикуването на част или цялото съдържание на сайта без разрешение на "Офф Медия" АД е забранено.